麦克斯韦方程分析

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1、麦克斯韦方程分析麦克斯韦方程分析图1-1 电荷三种密度的示意图 LVlqsqqLSd d d ，2.2.电流电流电荷的流动电荷的流动( (或场的变化或场的变化) )电流定义：电荷的宏观定向运动电流方向：正电荷宏观运动方向 静电的产生与电荷的关系？飞机特制接地轮胎，油罐车接地铁链静电的产生与电荷的关系？飞机特制接地轮胎，油罐车接地铁链)A C/s ( lim0或dtdqtqIt(1-1-5)第1页/共48页第2页/共48页电流的分类：传导电流：在电导率为 的导电媒质中，如果存在电场作用，自由电子将发生定向运动形成电流，这种电流称为传导电流。EJ(1-1-11) 电导率的单位是电阻率单位( m)的

2、倒数，叫做每米西门子，通常用符号记做(S/m)。运流电流：气态媒质、真空器件中的电流，不遵从欧姆定律和焦耳定律。在气体或真空中，在电场的作用下自由电荷将发生定向运动形成电流，这种电流称为运流电流。它由自由电荷密度和电荷的平均运动速度 来确定。（真空电子管中由阴极发射到阳极的电子流 ） vvJv (1-1-12) EJ(1-1-11) 电导率的单位是电阻率单位( m)的倒数，叫做每米西门子，通常用符号记做(S/m)。运流电流：气态媒质、真空器件中的电流，不遵从欧姆定律和焦耳定律。在气体或真空中，在电场的作用下自由电荷将发生定向运动形成电流，这种电流称为运流电流。它由自由电荷密度和电荷的平均运动速

3、度 来确定。（真空电子管中由阴极发射到阳极的电子流 ） EJ(1-1-11)EJ(1-1-11)第3页/共48页1867年德国的韦纳西门子发现用电磁铁代替永久磁铁，同样可以发电。西门子兄弟四人都是出色的发明家。韦纳在柏林被称为 “柏林的西门子”，而威廉在英国被称为 “伦敦的西门子”，弗里德里希是 “德累斯顿的西门子”，而小弟卡则是 “俄罗斯的西门子”。 第4页/共48页 第一台电子管计算机（ENIAC)占地170平方米，重30吨，有1.8万个电子管，用十进制计算，每秒运算5000次 第一台电子管计算机（ENIAC)占地170平方米，重30吨，有1.8万个电子管，用十进制计算，每秒运算5000次

4、 第5页/共48页 真空管具有抗辐射能力强、抗宇宙射线、线性放大区域宽等特点，在航空航天领域、高保真音响等方面还有应用。 第6页/共48页电流密度矢量 ： 趋肤效应体电流密度矢量 ： J) A/m ( lim),(20sInzyxJsdSnJSdJI表面电流密度矢量 ：SJ位移电流：是为说明变化的电场能产生磁场而引入的。 电容的隔直流通交流特性 (1-1-6) (1-1-7) ) A/m ( lim),(0lInzyxJsS(1-1-8) 两种电流密度的关系：hJJShJlIhnlhInzyxJSls)(A/mlimlim),(200(1-1-10) 第7页/共48页特别注意： 体电流密度是垂

5、直通过单位横截面的电流，因此它的单位是每平方米安培(A/m2)，而不是每立方米安培(A/m3)；在一个厚度可以忽略的薄层内所形成的电流称为表面电流,表面电流密度矢量单位是每米安培(A/m)，而不是每平方米安培(A/m2)。 图1-2（体）电流密度矢量模型 图1-3 表面电流模型 第8页/共48页第9页/共48页3.电流连续方程反映电荷与电流的关系（重要） 根据电荷守恒定律，有 VdVdtddtdqSdJ这是电流连续性方程的积分形式(1-1-15)二、场和场量 如果某个物理量是空间位置的函数，这个空间就确定了该物理量的一个场；如果空间位置的函数是矢量，相应的场就是矢量场；如果空间位置的函数是标量

6、，相应的场就是标量场。例如电场是矢量场，电位是标量场。 第10页/共48页rerqqrrrqqF4141200200)( 41200mVCNerqqFEr或90110 ( F/m )361.电场强度矢量库仑定律：由此可得静电场电场强度矢量（单位正电荷受的电场力） (1-1-16)真空的介电常数E2.电位移矢量D电偶极子：由两个相距很近的等值异号点电荷组成。由电偶极矩表示其方向与大小，定义为（ 的方向为 指向 ）：lqql qp（c.m） 第11页/共48页第12页/共48页极性分子：整体是中性，但分子正、负电荷中心不重合，即使无外加电场，就具有偶极矩，称为固有电偶极矩。非极性分子：正、负电荷中

7、心重合，无外加电场时，偶极矩为零；当有外加电场时，正、负电荷中心被拉开，获得偶极矩，称为感应电偶极矩。介质的极化：介质在外加电场的作用下，出现了电偶极矩。为了描述介质的极化状态，引入电极化强度矢量 。P20/limmCpP (1-1-19) 电介质中的分子可分为极性分子与非极性分子。 电介质：即绝缘体。第13页/共48页EPr10在各向同性电介质中，电极化强度矢量与电场强度矢量成正比 (1-1-20) 图图1-4 1-4 均匀电场中的介质板均匀电场中的介质板电介质真空真空E0E0Ep0 称为电介质的相对介电常数。束缚电荷：在均匀外加电场中，介质内部相邻偶极矩的正负电荷互相抵消，结果在介质表面产

8、生正电荷层或负电荷层，出现在表面的电荷称为束缚电荷或极化电荷。如图1-4所示。 r介质受电场的作用产生束缚电荷，束缚电荷反过来也要影响电场的分布。总电场为自由电荷与束缚电荷产生电场的之和。为讨论介质中电场和介质中高斯定理，引进电位移矢量。 00rDEEP (1-1-21) 第14页/共48页 介电常数决定了电信号在该介质中传播的速度。电信号传播的速度与介电常数平方根成反比。介电常数越低，信号传送速度越快。我们作个形象的比喻，就好想你在海滩上跑步，水深淹没了你的脚踝，水的粘度就是介电常数，水越粘，代表介电常数越高，你跑的也越慢。 PCB板（FR-4）4.5 相对介电常数r可以用静电场用如下方式测

9、量:首先在其两块极板之间为空气的时候测试电容器的电容C0。然后，用同样的电容极板间距离但在极板间加入电介质后侧得电容Cx。然后相对介电常数可以用下式计算 r=Cx/C0 第15页/共48页固有磁矩：分子中电子绕原子核旋转和电子自旋会产生电子磁矩，分子中所有电子磁矩的总和为固有磁矩。磁偶极矩： ， 为电流环的面积矢量，I 为电流环上电流。3.磁感应强度矢量B（高斯计）计算公式：毕奥萨伐尔定律0033dd()d44|LLLIIlRlrrBBRrr单位：1特斯拉（T）1韦伯/米2(Wb/m2)104高斯 FqvB4.磁场强度矢量磁介质：讨论媒质与磁场相互作用时，称媒质为磁介质。磁偶极子：任意形状的小

10、电流环。洛伦磁力：(1-1-22)mISS第16页/共48页咖啡炉 1mG 电饭锅 40mG传真机 2mG 复印机 40mG电熨斗 3mG 吹风机 70mG录像机 6mG 手机 100mGVCD 10mG 电脑 100mG音响 20mG 电须刀 100mG电冰箱 20mG 电热毯 100mG空调 20mG 吸尘器 200mG电视机 20mG 无绳电话 200mG洗衣机 30mG 微波炉 200mG第17页/共48页磁 化：外磁场使分子内电子运动状态发生变化导致分子磁矩发生变化的现象。磁化强度：无外加磁场时，磁介质在总体上不产生磁场，但被磁化以后，各个分子的磁矩 的矢量和不再是零。单位体积内分子

11、磁矩的矢量 和称为磁介质的磁化强度。mm0lim ( A/m ) mM (1-1-23)在各向同性磁介质中，磁化强度与磁感应强度成正比：r0r1 MB为了分析问题方便，引入磁场强度：0 (A/m)BHM70410H m真空的磁导率其中 是相对磁导率 r所以(1-1-25)(1-1-28)HMHBr00第18页/共48页磁环第19页/共48页5.矢量场的通量和环量通量的定义：矢量场 沿有向曲面S的曲面积分，即 AdA A S 例如有磁通量B、电通量E、磁场强度通量H和电位移通量D，通常把磁通量记为。 环量的定义：矢量场 沿有向闭合曲线 的线积分，即 AlLAl dA(1-1-29) (1-1-3

12、0) 环量A= 0，矢量场为无旋场；环量A 0，矢量场为有旋场 例如，安培环路定理 Ll dHI (1-1-31) 第20页/共48页1-2 麦克斯韦方程组的积分形式 第21页/共48页)/(10311101800202000smcdstEcdsJdtdcIdlBdstBdtddlEdsBdqdsEELBLV物理意义！第22页/共48页James Clerk Maxwell（1831-1879） 麦克斯韦电磁场理论是19世纪物理学中最伟大的成就，它的地位相当于牛顿定律，没有它，现在的通信广播无从谈起。 将教材中(1-2-1)式麦克斯韦方程（必须牢牢记住）可改写为 0 LLVBE dldStDH

13、 dlJ dSdStD dSdB dS 法拉第电磁感应定律全电流定律高斯定理 磁通连续性原理 (1-2-1) 第23页/共48页StDJdsJJdstDdtdsDddtdsEddsJdtdqDSDCSSSSC0)()(qCJDJdtdcdstEIdstDdtdIEDDD20001看式1-2-1第一式第24页/共48页讨论 上面第一式是推广的法拉第电磁感应定律，所谓推广就是该定律可用于任何媒质；该式表明时变磁场可以产生电场这一重要事实。第二式是修正的安培环路定律，所谓修正是指添加了位移电流。该式表明电流和时变电场可产生磁场。前两个式子是麦克斯韦方程的核心，说明时变电场和时变磁场互相激发，形成电磁

14、波，麦克斯韦导出了波动方程，表明电磁波的传播速度与已测出的光速是一样的。他推断光是一种电磁波，并预言存在与可见光不同的其它电磁波。1887年德国物理学家赫兹(Hertz)的实验证实了这一预见，根据这预见马可尼（Marconi，意大利）在1895年和波波夫（A.C. Popov，俄罗斯）在1896年成功地进行了无线电报传送实验。 第25页/共48页 第3式是电场的高斯定理，对时变电荷与静止电荷都成立；该式表明电场是有源的场。第四式表明磁通的连续性，磁力线没有起点也没有终点，或者说空间不存在磁荷。 例1-2-1 电源u(t)=U0sin(t) 接在平板电容器C的两端，见图1-2-2。(1)证 电容

15、器C中的位移电流ID与导线中的传导电流I相等；(2) 求导线MN周围的磁场强度H(忽略其它导线的影响)解：(1) 导线中的传导电流为 0d ( ) cos( )du tICCUtt极板面积为A，极板间距为d，介电常数为 为的电容器的容量为 ACd第26页/共48页电容器中的电场E = u/d，电位移矢量强度和位移电流分别为 000 sin( )dcos( )cos( )DUDEtdAIUtCUtItdDS(2) 在与导线垂直的平面上，以导线中心为圆心取一个半径为r的圆形的平面，平面上的磁力线都是同心圆。在这个环面的周界L上磁场处处相等，因此有 d2LIrH Hl电容器极板外的磁场强度为 0co

16、s( )22ICHUtrr第27页/共48页例1-2-2 已知某良导体的电导率为 = 107 S/m，相对介电常数 r = 1.0。如果导体中的电场为E = E0cos( t)，试求位移电流密度的振幅值 JD与传导电流密度的振幅值 J 之比。 解：由已知条件可求得位移电流、传导电流分别为 00( )sin( ) ( ) cos( )DDJtEtJ tEtt ，可以看出，导体中位移电流超前于传导电流90相角918r0070121.010365.556 1010DfEJfJE 在良导体内的位移电流远远小于传导电流。 第28页/共48页1-3 麦克斯韦方程组的微分形式zkyjxi哈米尔顿算子 可视为

17、矢量，表示为：推导散度公式 VPQRPdydzQdxdzRdxdydVxyz高斯公式：kAjAiAAzyxdxdykdxdzjdydziSd矢量：矢量：面元：面元： dxdyAdxdzAdydzAdxdykdxdzjdydzikAjAiASdAzyxzyx 积分形式的麦克斯韦方程组表示某一范围内的电磁场量的之间的相互关系，微分形式的麦克斯韦方程组则表示某一点的电磁场量之间的相互关系。 第29页/共48页在一个包含点 的封闭面上的通量为 0MkAjAiAAzyxVzAyAxAdVzAyAxAdxdyAdxdzAdydzASdAMzyxVzyxzyxyxzMAAAVxyz由此可得通量体密度： 点的

18、散度： 趋于 的通量体密度极限。记为 0M0MVAzAyAxAzAyAxAVAzyxMMzyxMV00limdiv 第30页/共48页散度的物理解释：矢量场中单位体积所发散出来的矢量通量。 显然有： VdVASdA推导旋度公式斯托克斯公式： lSRQPRQPPdxqdyRdzdydzdxdzdxdyyzzxxy dzAdyAdxAdzkdyjdxiAkAjAil dAzyxzyxdzkdyjdxil ddSndxdykdzdxjdydziSd， 0M在围绕着点 的小闭合回路上的环量为： 第31页/共48页SnRdSnRSdyAxAkxAzAjzAyAidxdyyAxAdxdzxAzAdydzz

19、AyAdzAdyAdxAl dAMSSxyzxyzSxyzxyzlzyxlMnRS最后一步由积分中值定理得到， 是闭合回路包围的面积，M是 内的某一点, 为 法向单位矢量。由此得环量面密度： SSn S第32页/共48页当 趋于M0时，表示M0处与方向 垂直的单位面积上的环量值： Sn 00limMMSnRSAyAxAkxAzAjzAyAiRxyzxyz 方向为该矢量环量面密度最大的方向；模为该矢量最大环量面密度的值。显然，这个物理量就是 ，它就是矢量 在 点的旋度。RA0M记为 AArotSlSdAl dA显然有： 根据以上推导，可将麦克斯韦方程积分形式改为微分形式。 分析 与 的关系，可得

20、旋度定义。n R矢量旋度的定义：第33页/共48页0LLVBE dldstDH dlJ dsdstD dsdB ds 0VVVBE dsdstDH dsJdstDddBd 0BDtDJHtBE 物理意义：略 第34页/共48页说明：麦克斯韦方程组4个方程式中，两个旋度方程可以认为是独立的；而两个散度方程不是独立的，它们分别可以由相应的旋度方程导出来。在推导中应用条件： 。请自行验证！推导时均采用微分形式，由第一式可以推出第四式；由第二式，再代入电流连续性方程，可以推出第三式。另外，电流连续性方程也可以由麦克思伟方程组推出。推导电流连续性方程的微分形式VdVdtddtdqsdJ电流连续性方程的积

21、分形式根据高斯公式，有 VdVJsdJ由此可得电流连续性方程的微分形式 ： tJ0 A第35页/共48页1-4 物质的电磁特性 本构方程：描述媒质特有规律，取决于考察点邻域内媒质性质。电磁场的本构方程：)( , )(BHHEDD 麦克斯韦方程组中有 4个矢量，相当于12个标量，而麦克斯韦方程组只有两个独立方程，仅能分解成六个标量方程。而加上本构方程后，就可以达到12个方程，这样就可解出12个标量。BHED , , ,理想介质： 的媒质。理想导体： 的媒质。导电媒质： 介于0和之间的媒质。 0媒质参数主要是指 ， ， 。各种媒质的定义如下： 第36页/共48页线性(Linear)媒质：媒质参数与

22、场强的大小无关，否则称为非线性媒质。各向同性(Isotropic)媒质：媒质参数与场强的方向无关，否 则称为各向异性媒质。均匀(Homogeneous)媒质：媒质参数与位置无关，否则称为非均匀媒质。色散(Dispersive)媒质：媒质参数与场强频率有关，否则称为非色散媒质。简单媒质：线性、均匀、各向同性的媒质。 第37页/共48页BHED001 , 二、各向同性介质中的本构方程BHED1 , 各向同性介质：在给定空间，所考察点邻域之内,各个方向上的物质的电磁特性均相同。 xxyyzzxxyyzzDEDEDEBHBHBH，第38页/共48页三、各向异性介质中的本构方程 电位移矢量 的任何一个坐

23、标分量不仅与电场强度矢量 相应的坐标分量有关，而且还与其他两个坐标分量有关；磁感应强度矢量 的任何一个坐标分量不仅与磁场强度矢量 相应的坐标分量有关，而且还与其他两个坐标分量有关。各向异性介质的介电常数 不再是一个数值，磁导率 也不再是一个数值，它们都成了用矩阵表示的张量。 HB ED第39页/共48页一、边界条件的概念边界条件：场矢量越过不同媒质的分界面时所满足的方程。表示由介质2指向介质1的分界面法向单位矢量。在理想导体内，电场和磁场都为0。, , 0LLVBDE dldsH dlJ dsdsttD dsdB ds 第40页/共48页二、法向分量的边界条件1.电位移矢量的法向分量边界条件

24、由麦克斯韦方程高斯定理积分形式，考虑到 ，可得：0h SdVSSSdSV)(2121DDnnDnDSD12SnDD21nnSDD两种理想介质分界面： 21nnD = D理想导体与理想介质分界面： Sn DnSD或 第41页/共48页由麦克斯韦方程积分形式第四式，考虑到 ，可得：2. 磁感应强度矢量的法向分量边界条件0h 0)(2121SBBSBSBdnnnSB两种理想介质分界面：120nBB或 或 21nnB= B2211nnH=H理想导体与理想介质分界面： 0Bn或 0nB 第42页/共48页11 22 hlm n t三、切向分量的边界条件 在两种媒质的分界面上作一无限小的矩形回路，如图1-

25、5-2，其侧边 。 分别是矩形回路面的单位法向矢量、分界面的单位法向矢量、矩形长边的单位矢量。0htnm、， nttnm三者满足：nmt1.磁场强度矢量的切向分量边界条件AB CBCACABB CACABABC矢量公式： 第43页/共48页llldLhtHHtHtHlH)(lim21210左边lmJlmJlhmtDJSdtDJSShhlimlim00右边SJmtHH)(21SJmnmnm)()(2121HHHH由此可得： 两种理想介质分界面： 由麦克斯韦方程积分形式第二式: 理想导体与理想介质分界面： 1212 SSttJHH或JnHH12120 ttnHHHH或 SStJH或JnH难点说明：

26、当分界面无面电流时， 为有限值， ，回路面积趋于零，则方程右边为零；分界面上有面电流，则 时， 可变换为 ，方程右边不为零。由此可得： 0h 0h SJJtD 第44页/共48页2.电场强度矢量的切向分量边界条件 同理由麦克斯韦方程积分形式第一式得到电场强度切向分量边界条件的矢量形式和标量形式： 120 nEE，12ttEE 两种理想介质分界面： 12ttEE理想导体与理想介质分界面： =0 0tE或nE0z 0z 解： 例 设 的平面为空气与理想导体的分界面， 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为求理想导体表面上的面电流密度矢量、面电荷密度以及分界面处的电场强度。 )cos()sin(, 0 ,0aytaxHityxH第45页/共48页 由题意可知导体表面上法线单位矢量为： nk)cos()sin()cos()sin(00aytaxHjaytaxHikHnJS根据电流连续性方程： tJ = -)sin()sin( )cos()sin(00aytaxaHaytaxHjyjxiJtSSS0sin()cosSaHaxtayC由边界条件： ，且 ，可得 Sn D nk00sin()cosaHx,y, ,taxtayCDk000sin()cosaHx,y, ,taxtayCEk第46页/共48页作业：作业：2,4,6,72,4,6,7第47页/共48页