辽宁省凌源市第二中学高二数学下学期期末考试试题理含解析

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1、凌源二高中2020高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】B=x|2x1，A=2，1，0，1，2；AB=1，0故选：B【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算2.“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值

2、范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出【详解】函数f（x）=x22ax2=（xa）2a22在区间（，2内单调递减，2a“a3”是“函数f（x）=x22ax2在区间（，2内单调递减”的充分非必要条件故选：A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件2等价法：利用 与非非， 与非非， 与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3.下列说法中正确的是（ ）A. “” 是“函数是奇函数”的充要条件B. 若：，则：，C. 若为假命题，则

3、均为假命题D. “若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】试题分析：对于A中，如函数是奇函数，但，所以不正确；B中，命题，则，所以不正确；C中，若为假命题，则，应至少有一个假命题，所以不正确；D中，命题“若，则”的否命题是“若，则”是正确的，故选D考点：命题的真假判定4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【详解】函数，解得，即x1，f（x）的定义域为x|x1故选：C【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函

4、数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)5.二项式的展开式中的系数为，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出【详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：Tr+1=（ax）r，令r=5，则T6=a5x5x5的系数为，a5=，解得a=1则x2dx=x2dx=故选：A【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积

5、分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6.已知是周期为4的偶函数，当时，则（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可【详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x0，2时f（x）=，则f（2020）+f（2020）=f（2020+2）+f（20201）=f（2）+f（1）=log22+1+12=3故选：D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A. B. 3C. D.

6、【答案】C【解析】作出三棱锥PABC的直观图如图所示，过A作ADBC，垂足为D，连结PD.由三视图可知PA平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,.，.三棱锥PABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流

7、量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）100102108114116浓度（微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（ ）参考公式：，；参考数据：，；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果【详解】由题意，b=0.72，a=840.72108=6.24，=0.72x+6.24，故选：B【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回

8、归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72 B. 120 C. 144 D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种。选B.【此处有视频，请去附件查看】10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为( )A. B. 4 C. D. 9【答案】A【解析】【分析】题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实

9、轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值【详解】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2a2，由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，又PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=4c2，2+2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，将代入，得a12+a22=2c2，4e12+e22=+2=故选：A【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项

10、的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11.设函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，再通过换元法解题【详解】f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，令t=log2x，所以，=t，则不等式f（log2x）+f（）2可化为：f（t）+f（t）2，即2f（t）2，所以，f（t）1，又f（1）=2+=1，且f（x）在0，+）上单调递减，在R上为偶函数，1t1，即log2x1，1，解得，x，2，故选：B【

11、点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由f（x）=1f（1x），得 f（1）=1，确定f（）=，利用f（x）是奇函数，即可得出结论【详解】由f（x）=1f（1x），得 f（1）=1，令x=，则f（）=，当x0，1时，2f（）=f（x），f（）=f（x），即f（）=f（1）=，f（）=f（）=14，f（）=f（）=14，对任意的x1，x21，1，均有（x2x1）（f（x2）f（x1）0f（）=，同理f（）=f（）=f（）=f（x）是奇函数，f

12、（）+f（）+f（）+f（）=f（）+f（）+f（）+f（）=，故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若幂函数的图像过点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】将点代入解析式，求出a，再求f（4）即可【详解】由题意f（2）=，所以a=，所以f（x）=，所以f（4）=故答案为：【点睛】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查14.在中，则的面积等于_.【答案】【解析】【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可【详解】设AB=c，在ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC22A

13、BBCcosB，即7=c2+422ccos60，c22c3=0，又c0，c=3SABC=ABBCsinB=BCh，可知SABC=32=故答案为：【点睛】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题15.若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_【答案】【解析】【分析】由题意可得当x=时，4x =log2ax，由此求得a的值【详解】关于x的不等式4xlog2ax（a0，且a）的解集是x|0x，则当x=时，4x =log2ax，即 2=log2a，（2a）2=，2a=，a=，故答案为：【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题1

14、6.已知函数，若，则实数的取值范围为_.【答案】.【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可【详解】作出函数f（x）的图象如图：设f（a）=f（b）=t，则0t，ab，a1，b1，则f（a）=ea=t，f（b）=2b1=t，则a=lnt，b=（t+1），则a2b=lntt1，设g（t）=lntt1，0t，函数的导数g（t）=1=，则当0t时g（t）0，此时函数g（t）为增函数，g（t）g（）=ln1=2，即实数a2b的取值范围为（，2，故答案为：（，2【点睛】本题主要考查分段函

15、数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键综合性较强三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，函数，记集合.（I）求集合； （II）当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）由g（x）0得42x522x+1+160，然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；（）化简函数f（x），然后利用换元法求解即可得答案【详解】解：（I）即，令，即有得 ，解得；（II），令则，二次函数的对称轴， 【点睛】本题考查了指、对数不等式的解法，考查了会用换元法解决数学问题，属于中档题

16、18.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）数学期望为. 【解析】【分析】（）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此

17、能求出结果（）可取1，2，3，4分别求出对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：() 为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数;为偶函数；为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为，故所求概率. () 可取 ；; ； 故的分布列为.的数学期望为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机

18、变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，已知长方形中，为的中点将沿折起，使得平面平面（I）求证： ；（II）若点是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求线段的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（I）推导出AMBM，从而BM平面ADM，由此能证明ADBM（II）以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过O作OA的垂线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE的长【详解】（I）证明：长方形中，为的中点，故 . （II）建立如图所示的直角坐标系，则平面的一个法向量，设 ，设平面

19、AME的一个法向量为 取，得 得，而则，得，解得因为，故.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆 的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.（I）求直线的方程；（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析

20、】（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出解法二：利用焦半径公式可得（II） II）设l2的方程为与椭圆联立：假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）OTP=OTQ，再利用根与系数的关系即可得出【详解】解：（I）设的方程为与椭圆联立得直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，解得，的方程为或；解2：由焦半径公式有，解得.（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，假设存在点符合要求，设，韦达定理： ，点在直线上有，即， ，解得.【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”其步骤为：假设满足条件的元素(点、

21、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在21.设函数，(其中).（1）时,求函数的极值; （2）证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.【答案】(1) ；;(2)见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，求出f（x）的单调区间，求出满足条件的m的范围，从而证出结论即可【详解】解：（I）当时, , 令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值 由表可知,；（II

22、）设，若要有解，需有单减区间，则要有解，由，记为函数的导数则 ，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：当时，在上，单增，故单增，无解；当，时，因为单增，在上，在上当时， （i）若，即时，单增，无解；（ii）若，即，在上，单减；，在区间上有唯一解，记为；在上，单增 ，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在上，在上，当时，取得最小值，此时若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有联立两式解得.综上，当时，【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、函数恒成立问题，是一道综合题22.已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐

23、标系（I）求直线与圆的交点的极坐标；（II）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值【答案】（1）,.（2）【解析】【分析】（I）由圆C的参数方程为（为参数），利用cos2+sin2=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r【详解】解：（I）直线:,圆: 联立方程组,解得或对应的极坐标分别为,. （II）设,则,当时,取得最大值.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数，不等式的解集为.（I）求实数m的值；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）3（2）或【解析】【分析】（I）问题转化为5mxm+1，从而得到5m=2且m+1=4，基础即可；（II）问题转化为|xa|+|x3|3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可【详解】解：（I）由已知得，得，即 （II）得恒成立（当且仅当时取到等号）解得或 ，故的取值范围为 或【点睛】恒成立问题的解决方法:(1)f(x)m恒成立，须有f(x)maxm恒成立，须有f(x)minm；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解