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1、2018届山东省德州市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把正确答案涂在答题卡上1. 在复平内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由，得，则，即的共轭复数对应的点位于第一象限.故选A.2. 设集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，且，即，所以.故选A.3. 已知直线：，：，若：；，则是的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因
2、为直线：，：，所以或，即是的必要不充分条件.故选C.点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：已知直线，.则或；.4. 设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A. B. -2 C. D. 【答案】A【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最小值.故选A.5. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程
3、序框图描述，如图所示，则输出的行值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】程序框图，得，,，结束循环，即输出的值为4.故选A.6. 如图所示的阴影部分是由轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得矩形区域的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式，得在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为.故选A.7. 若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为，则且，则，即，
4、则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.故选B.点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点：且；（2）作差；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系.8. 已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令，所以有两个零点，因为，所以，且当时，当时，当时，选项C满足条件.故选C.点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从
5、定义域、奇偶性（对称性）、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.9. 一个几何本的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为，底面是以4为底、3为高的矩形）半个圆柱（半径为2，高为3）组合而成，则该几何体的体积为.故选D.10. 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，则该双曲
6、线的离心率为.故选C.11. 设偶函数定义在上，其导函数为，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时，所以在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为.故选C.点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.12. 已知函数的定义域为，若对于，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下列四个函数为“三角形函数”的是（ ）A. ；
7、 B. ；C. ； D. 【答案】B【解析】由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增，无最大值和最小值，故排除A，符合“三角形函数”的条件，即B正确，单调递增，最大值为4，最小值为1，故排除C，单调递增，最小值为1，最大值为，故排除D.故选B.点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13. 已知向量，若向量与垂直，则_【答案】【解
8、析】因为，所以，由向量与垂直，得，解得.14. 已知呈线性相关的变量，之间的关系如下表所示：由表中数据，得到线性回归方程，由此估计当为时，的值为_【答案】【解析】由表格得，又线性回归直线过点，则，即，令，得.点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用；求线性回归方程是常考的基础题型，其主要考查线性回归方程一定经过样本点的中心，一定要注意这一点，如本题中利用线性回归直线过中心点求出的值.15. 展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为_【答案】【解析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为
9、）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.16. 已知函数 的图象关于点，对称，记在区间的最大值为，且在上单调递增，则实数的最小值是_【答案】【解析】因为关于点对称，所以，又，所以，即，当时，,，即，令，即，当时，即实数的最小值是.三、解答题：本大题共6小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的前项相为，且满足（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）利用求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（）先利用对数的运算得到，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析:（）当时， -得：；即，又；
10、得：，数列是以为首项，为公比的等比数列，即，（），点睛：本题考查的应用、裂项抵消法；（1）利用解题时，要注意其是一个分段函数，一定要验证是否满足第二段的表达式；（2）裂项抵消法是一种常考的求和方法，适用题型主要有：； ；.18. 已知四棱锥中，平面，底面为菱形，是中点，是的中点，是上的点（）求证：平面平面；（）当是中点，且时，求二面角的余弦值【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出
11、相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.试题解析：（）连接，底面为菱形，是正三角形，是中点，又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面解：（）由（）得，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则则，设是平面的个法向量，则，取，得，同理可求，平面的个法向量，则观察可知，二面角的平面角为锐角二面角的平面角的余弦值为19. 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市名男生的身高服从正态分布现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分组：，得到的频率分布直方图如图所示（）试评估该
12、校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（）求这名男生身高在以上（含）的人数；（）在这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全市前名的人数记力，求的数学期望参考数据：若，则，【答案】（1）高于全市的平均值（2）.【解析】试题分析：（）利用频率分布直方图进行求解；（）利用频率分布直方图得到后三组的频率，再求出人数即可；（）先确定人中以上的有人，写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布得到每个变量的概率，利用期望公式进行求解.试题解析：（）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 ，高于全市的平均值（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为，比较接
13、近全市的平均值）（）由频率分布直方图知，后三组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人（），所以，全市前名的身高在以上，这人中以上的有人随机变量可取，于是，20. 已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合（）求椭圆的方程；（）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，试判断是否为定值，若是，证明你的结论若不是，举反例说明【答案】(1) (2) 是定值为【解析】试题分析：（）写出的方程，利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解；（）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次
14、方程，利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.试题解析:（）方程为：即为：由题意得整理得：，（舍） 椭圆：（）设直线：，令得 方程为：令得 设，则且 即：所以是定值为21. 已知（）当时，求的极值；（）若有2个不同零点，求以的取值范围；（）对，求证：【答案】(1) ，无极大值(2) (3)见解析【解析】试题分析：（）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（）求导，讨论的取值，研究导函数的符号变换，得到函数单调性和极值，再通过零点的个数确定极值的符号；（）作差构造函数，求导，利用导数求其最值即可证明.试题解析：（）当时 ，为减函数，为增函数，无极大值；（
15、）当时，只有个零点当时，为减函数，为增函数而当，使当时， 取，函数有个零点当时，令得，即时当变化时 ，变化情况是函数至多有一个零点，不符合题意时，在单调递增至多有一个零点，不合题意当时，即以时当变化时，的变化情况是，时函数至多有个零点综上：的取值范围是（）令 令行禁止 为增函数取，存在唯一使，即，即，为减函数，即，为增函数对有即请考生在第2223题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同已知曲线的极坐标方程为，（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参
16、数）的距离最短，写出点的直角坐标【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行求解；（）消参得到直线的直角坐标方程，确定最优解，利用直线的斜率公式和两条直线垂直进行求解.试题解析:（）由，可得曲线的直角坐标方程为（）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为，与相离，设点，且点到直线：的距离最短，则曲线在点处的切线与直线：平行，又（舍）或，点的坐标为.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数（）若的解集为，求的值；（）若，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）若化为，可得3，-1是方程 的两根，根据韦达定理可得结果；（2），要不等式恒成立只需，解绝对值不等式即可得结果.试题解析：即，平方整理得：，所以-3，-1是方程 的两根， 由根与系数的关系得到， 解得.（2）因为所以要不等式恒成立只需 当时，解得当时，此时满足条件的不存在综上可得实数的范围是.【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立()或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题（2）是利用方法 求得的范围的.
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