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1、十三、概率与统计变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲） 审校人 张志红1（人教A版选修2-3第66页例4）某射手每次射击击中目标的概率是 ，求这名射手在 10 次射击中，（1）恰有 8 次击中目标的概率；（2）至少有 8 次击中目标的概率 ？变式1：某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为 【解析】：他能及格则要解对道题中解对道或道：解对道的概率为：，解对4道的概率为：，且A与B互斥，他能及格的概率为变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1） 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概
2、率； （2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率【解析】（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3. 这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为 恰有两人命中目标的概率为 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44（II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为 答：他恰好命中两次的概率为0.441.变式3：在2020年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据
3、以往战况，中国女排在每一局赢的概率为 已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：(1) 中国女排在这种情况下取胜的概率；(2) 求本场比赛只打四局就结束的概率（均用分数作答）【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，中国女排取胜的概率为(2) 变式4： 一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求.【解析】设正面向上的概率为P,依题意:,1-P=2P,解得:,硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:.2（人教
4、A版选修2-3第77页例4）随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差。变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为，现在连续射击次，求击中目标的次数的概率分布【解析】击中目标的次数可能为0，1，2，3，4。当=0时，当=1时，当=2时，当=3时，当=4时，所以的分布列为：01234P变式2：袋中有个大小规格相同的球，其中含有个红球，从中任取个球，求取出的个球中红球个数的概率分布【解析】的所有可能的取值为：0，1，2当=0时，当=1时，当=2时，012P评述：+=1变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数. （1）求的分布列；（2
5、）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.【解析】（1）可能取的值为0，1，2。 所以，的分布列为012P（2）由（1），的数学期望为（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【解析】（）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：0123P甲答对试题数的数学期望E=0+1+2+3=.（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(
6、A)=，P(B)=.因为事件A、B相互独立，方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=1)(1)=.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1P()=1=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.3（人教A版选修2-3第86页B组2）若 ，求 。变式1：随机变量服从正态分布N（0，1），如果P（1）=0.8413，求P（10）.【解析】N（0，1），P（10）=P（05）=1P（x5）=1F（5）=
7、1（）=1（1）=11（1）=（1）=0.8413.对第二个方案，有xN（6，22），于是P（x5）=1P（x5）=1F（5）=1（）=1（0.5）=（0.5）=0.6915.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.9192
8、0.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.9812
9、0.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857【解析】：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力【解答】（）设参赛学生的分数为，因为N(70，100)，由条件知，P(90)1P（90）1F(90)11(2)10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）（）假定设奖的分数线为x分，则P(x)1P（x）1F(x)10.0951，即0.9049，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分4（人教A版选修
10、2-3第100页例2）一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 与 之间的回归方程。温度21232527293235产卵数个711212466115325变式1：为了对2020年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表， 学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z6772768084879092(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；(2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；(3) 求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考数据：，.解答：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是. 3分(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是、. 5分可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 6分(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是、.根据所给的数据，可以计算出，. 10分所以y与x和z与x的回归方程分别是、. 11分又y与x、z与x的相关指数是、.13分故回归模型比回归模型的拟合的效果好. 14分
高中数学新教材变式题13概率与统计
