2020届高三数学上学期月考试题

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1、学 2020 届高三数学上学期月考试题一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）若集合，则A.B.C. 2 ， D.在公差d 不为零的等差数列中，且，成等比数列，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知，则A. B. C. D.若直线过点，则的最小值等于A. 9 B. 8 C. D.已知 a ， b ， c ，则下列命题中必然成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则已知点 P 为双曲线 C ：上的动点，点，点若，则A. 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21已知菱形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则A. B. C

2、. 6 D.已知函数，若，则实数m 的取值范围是A.B.C.D.已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.已知抛物线的焦点为F ，准线为l ， P 是 l 上一点， Q 是直线PF 与抛物线 C 的一个交点，若，则A. 3 或 4 B. 或 8 C. 8 或 2 D. 8定义在 R 上的运算：，若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围是A.B.C.D.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）已知的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且，则的面积为 已知圆C ：和点，P 是圆上一点

3、，线段BP 的垂直平分线交 CP于 M 点，则 M 点的轨迹方程是已知，将a ， b ， c 按从小到大的顺序排列 已知双曲线C ：的右焦点为F ， A ， B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段AF 的中点 M 落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）若数列的前n项和为，且，.求数列的通项公式；设，求数列的前n项和.在中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知.求角B的大小；若，求的周长的取值范围.如图，在直角梯形ABCD中，过A点作，垂足为E,现 将沿AE折叠，使得，如图.求证：平面平面DAE;求二面角的大小.已知抛物

4、线C ：上一点到其焦点 F 的距离为 5 求 p 与 m 的值；设动直线与抛物线C 相交于 A ， B 两点，问：在x 轴上是否存在与 k 的取值无关的定点 M ，使得？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由已知椭圆 C ：的左，右焦点分别为，且经过点求椭圆 C 的标准方程；若斜率为 2 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，求面积的最大值为坐标原点已知函数，若，函数在点处切线方程为，求实数a 的值；证明时，数学试卷答案和解析1 . 【答案】 C【解析】解：， 1 ， 2 ，故选： C 可以求出集合A ， B ，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性

5、，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题2 . 【答案】 D【解析】解：由题意，成等比数列，即，整理，得，解得故选： D 本题先根据等差数列的概念写出，然后根据等比中项的性质有，代入即可解出 d 的值本题主要考查等差数列的基本知识和等比中项的性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题3 . 【答案】 B【解析】解：设，则，且，则，故选： B 利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行化简即可本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法，结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键比较基础4 . 【答案】 A【解析】解：直线过点，则，当且仅当时取等号，故选： A 利用 1 的巧妙代换，利用基

6、本不等式求出即可考查基本不等式的应用， 1 的巧妙代换，中档题5 . 【答案】 C【解析】解：对于选项A ：当时，不等式不成立，故错误对于选项 B ：由于，但是不确定a ， b ， c ， d 的符号，故错误对于选项C ：成立，故正确对于选项D ，若，则，故错误故选： C 直接利用不等式的应用和性质的应用求出结果本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型6 . 【答案】 A【解析】解：双曲线C ：，点，点可知 AB 是双曲线的焦点坐标，点 P 为双曲线 C ：上的动点，点，点若，所以 P 在双曲线的左支，则故选：A.判断AB是双曲线的焦点坐

7、标，利用双曲线的定义转化求解即 可.本题考查双曲线的简单性质的应用，判断 P的位置是解题的关 键，是易错题.7 .【答案】C【解析】解：如图, 点E是BD上靠近D的四等分点，菱形 ABCD的边长为2,故选：C.可画出图形，根据点E是BD上靠近D的四等分点可得出，从 而根据向量加法、减法的几何意义及向量的数乘运算可得出， 然后进行数量积的运算即可.本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和 数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.8 .【答案】D【解析】解：根据题意，函数，其定义域为 R, 且有，即函数为奇函数，又由，易得在R上为增函数，即，解可得：，即实数m的取值范围是；故选：D

8、.根据题意，分析可得函数为奇函数且在 R上为增函数，进而可 得，变形可得，解可得 m的取值范围，即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解 法，属于基础题.9 .【答案】B【解析】解：三棱锥中， 所以：，故：，且，则平面ABD ,由于，利用勾股定理，解得.由于，所以，整理得，设球心为O,球的半径为R,所以, 所以.如图所示：故选：B.首先利用线面的垂直的应用求出球心的位置，进一步利用勾股 关系式求出球的半径，最后求出球的表面积.本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球心的 确定和求的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型.10

9、.【答案】D【解析】解：焦点，准线方程，所以焦点到准线的距离为：2,由题意过Q做于M,因 厂1UU为，由抛物线的性质知，J所以，设直线PQ的倾斜角为，则，所以由 三角形相似可得：，所以，故选：D.由抛物线的性质得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距 离，再由相似三角形可得对应比成比例可得结果.考查抛物线的性质，属于中档题.11 .【答案】A【解析】解：由题意得，不等式对恒成立，即不等式对恒成立，即，；而在上单调递减，故，都有；,解得或；故选：A.根据定义，不等式等价于对恒成立，即，解出 a的范围即可.本题考查了函数的恒成立问题，注意转化为最值问题解决；同 时还考查了一元二次不等式的解法，属于

10、中档题.12 .【答案】D【解析】解：由题意，当时，.则函数大致图象如下：根据二次函数的对称性，可知，即.根据题意及图，可知，解得故选：D.本题的解题关键是画出函数大致图象，然后根据二次函数的对 称性可得的值，再依据图象可计算出的取值范围，即可得到的 取值范围.本题主要考查函数与方程的综合，考查了数形结合法的应用以 及指数不等式的计算，本题属中档题.13 .【答案】【解析】解：因为的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且，整理可得可得：，故由余弦定理可得，由于，故 C由于，可得，则为等腰三角形，所以故答案为：首先利用余弦定理求出 cosC 的值，进而可求 C 的值，进

11、一步判定三角形为等腰三角形，进一步即可利用面积公式求出结果本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14 . 【答案】【解析】解：由圆的方程可知，圆心，半径等于 6 ，设点 M 的坐标为，的垂直平分线交 CQ 于点 M ，又，依据双曲线的定义可得，点 M 的轨迹是以 B、 C 为焦点的双曲线，且，故双曲线方程为故答案为：.根据线段中垂线的性质可得，又半径 6,故有，根据双曲线 的定义判断轨迹双曲线，求出a、b值，即得双曲线的标准方 程.本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，得出，是解题的 关键和难点.15 .【答案】

12、【解析】解：， 故答案为：.根据指数函数和募函数的单调性即可得出，根据对数函数的单 调性即可得出，从而可得出a, b, c的大小关系.本题考查了指数函数、对数函数和募函数的单调性，指数函数 的值域，考查了推理能力，属于基础题.16 .【答案】2【解析】解：如图，由题知，则，点M是线段AF的中点，则,故，则，所以.故答案为：2.由题意可得，运用三角形的中位线定理可得，由对称性可得, 可得渐近线的斜率，进而得到所求离心率.本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率,考查三角形的中位线定理和化简运算能力，属于基础题17 . 【答案】解：数列的前 n 项和为，且，当时，解得，当时，得，即常数

13、，故数列是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以由于，所以，所以，得，整理得【解析】数列的前n 项和为，且，当时，推出数列是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，然后求解通项公式化简，利用错位相减法，转化求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题18 . 【答案】解：中，内角 A， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c,已知.所以，故，由于解得由余弦定理，得，即，由，得，解得：，当且仅当时取等号；又得；所以，所以周长的取值范围为.【解析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得，结合范围 可求B的值.由余弦定理，基本不等式可求

14、，又利用三角形两边之和大于第 三边可得，即可得解周长的取值范围.本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不 等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应 用，考查了转化思想，属于基础题.19.【答案】解：证明：，*又，平面DAE ,平面DAB ,平面平面DAE.以E为原点，EA为x轴，EC为y轴，ED为z轴，建立空间 直角坐标系，设，则 0 ，0 ，0 ，2 ，设平面 DAB 的法向量，则，取，得，平面 ABE 的法向量，设二面角的大小为，则， 二面角的大小为【解析】关键是证明，进而可得平面 DAE ，再由面面垂直的判定得出结论；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利

15、用向量公式求解即可本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题20. 【答案】解：根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，得，抛物线方程为：，当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，当 k 不存在时，与x 轴垂直，与抛物线有两个交点，显然成立；当时，令，设存在点满足条件，即：，即，整理得：，整理得，解的，因此存在点满足题意【解析】由抛物线性质可知：，解得p 值，求出抛物线方程，然后求解m 即可分类讨论k 的取值，当时，令，设存在点满足条件，由已知得，整理得；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关

16、系代入解得 a 的值本题主要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题21. 【答案】解：由椭圆的定义，可知解得又所以椭圆 C 的标准方程为设直线 l 的方程为，联立椭圆方程，得，得设，点到直线 l ：的距离，当即，时取等；所以面积的最大值为【解析】由焦点坐标及过的点和 a ， b ， c 之间的关系求出椭圆 方程；设直线AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而弦长AB ，再求原点到直线的距离，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题22. 【答案】解：由题意得，所以，则由，解得；证明：时，下证：令；可得：当时

17、，单调递增；当时，单调递减；所以，所以；即 而， 所以，得证【解析】表示出，求导，利用导数的几何意义容易得解； 即证，构造函数，易得证本题考查导数的几何意义及利用证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题学 2020 届高三数学上学期月考试题一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）若集合，则A.B.C. 2 ， D.在公差d 不为零的等差数列中，且，成等比数列，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知，则A. B. C. D.若直线过点，则的最小值等于A. 9 B. 8 C. D.已知a, b, c,则下列命题中必然成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则已知点 P

18、 为双曲线 C ：上的动点，点，点若，则A. 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21已知菱形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则A. B. C. 6 D.已知函数，若，则实数m 的取值范围是A.B.C.D.已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为A.B.C.D.已知抛物线的焦点为F,准线为l, P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若, 则A. 3 或 4 B. 或 8 C. 8 或 2 D. 8定义在 R 上的运算：，若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围是B.A.C.D.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是A.B.C

19、.D.二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）已知的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且，则的面积为.已知圆 C ：和点， P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于 M 点，则 M 点的轨迹方程是已知，将a, b, c按从小到大的顺序排列 .已知双曲线C ：的右焦点为F ， A ， B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段AF 的中点 M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为 三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）若数列的前n 项和为，且，求数列的通项公式；设，求数列的前n 项和在中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知.

20、求角 B 的大小；若，求的周长的取值范围如图，在直角梯形ABCD 中，过A 点作，垂足为E ，现将沿AE 折叠，使得，如图求证：平面平面DAE ；求二面角的大小已知抛物线C:上一点到其焦点F的距离为5.求p与m的值；设动直线与抛物线C相交于A, B两点，问：在x轴上是否存在与k的取值无关的定点M,使 得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.已知椭圆C:的左，右焦点分别为，且经过点.求椭圆C的标准方程；若斜率为2的直线与椭圆C交于A, B两点，求面积的最大值为坐标原点.已知函数，.若，函数在点处切线方程为，求实数 a的值;证明时，.数学试卷答案和解析1 .【答案】C【解析】解：，1,2,

21、2 , .故选：C.可以求出集合A ， B ，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题2 . 【答案】 D【解析】解：由题意，成等比数列，即，整理，得，解得故选： D 本题先根据等差数列的概念写出，然后根据等比中项的性质有，代入即可解出 d 的值本题主要考查等差数列的基本知识和等比中项的性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题3 . 【答案】 B【解析】解：设，则，且，则，故选： B 利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行化简即可本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法，结合三角函数的诱导公式是解决本题的

22、关键比较基础4 . 【答案】 A【解析】解：直线过点，则，当且仅当时取等号，故选： A 利用 1 的巧妙代换，利用基本不等式求出即可考查基本不等式的应用， 1 的巧妙代换，中档题5 . 【答案】 C【解析】解：对于选项 A ：当时，不等式不成立，故错误对于选项B ：由于，但是不确定a， b， c， d 的符号，故错误对于选项C ：成立，故正确对于选项D ，若，则，故错误故选： C 直接利用不等式的应用和性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能 力，属于基础题型.6 .【答案】A【解析】解：双曲线C:，点，点可知AB是双曲线的焦点坐标，

23、 ， ， ，点P为双曲线C:上的动点，点，点若，所以P在双曲线的左支，则.故选：A.判断AB是双曲线的焦点坐标，利用双曲线的定义转化求解即可.本题考查双曲线的简单性质的应用，判断 P的位置是解题的关键，是易错题.7 .【答案】C【解析】解：如图，j 点E是BD上靠近D的四等分点，菱形ABCD的边长为2,恒故选：C.可画出图形，根据点E是BD上靠近D的四等分点可得出，从而根据向量加法、减法的几何 意义及向量的数乘运算可得出，然后进行数量积的运算即可.本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能 力，属于基础题.8 .【答案】D【解析】解：根据题意，函数，其定义

24、域为 R,且有，即函数为奇函数，又由，易得在R上为增函数，即，解可得：，即实数m的取值范围是；故选：D.根据题意，分析可得函数为奇函数且在 R上为增函数，进而可得，变形可得，解可得 m的取 值范围，即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.9 .【答案】B【解析】解：三棱锥中，所以：，故：，且，则平面ABD ,由于，利用勾股定理，解得.由于，所以，整理得，设球心为O,球的半径为R,所以, 所以.如图所示：故选：B.首先利用线面的垂直的应用求出球心的位置，进一步利用勾股关系式求出球的半径，最后求出 球的表面积.本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用

25、，球心的确定和求的半径的求法，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.10 .【答案】D【解析】解：焦点，准线方程，所以焦点到准线的距离为：2,由题意过Q做于M,因为，由抛物线的性质知，所以，设直线PQ的倾斜角为，则，所以由三角形相似可得：，所以，故选：D.由抛物线的性质得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再由相似三角形可得对应比成比例可得结果.考查抛物线的性质，属于中档题.11 .【答案】A即，；而在上单调递减，故，都有；,解得或；故选：A.根据定义，不等式等价于对包成立，即，解出 a的范围即可.本题考查了函数的包成立问题，注意转化为最值问题解决；同时还考查了一元

26、二次不等式的解 法，属于中档题.12 .【答案】D【解析】解：由题意，当时，.则函数大致图象如下：根据二次函数的对称性，可知，即.根据题意及图，可知，解得故选：D.本题的解题关键是画出函数大致图象，然后根据二次函数的对称性可得的值，再依据图象可计 算出的取值范围，即可得到的取值范围.本题主要考查函数与方程的综合，考查了数形结合法的应用以及指数不等式的计算，本题属中 档题.13 .【答案】【解析】解：因为的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且，整理可得可得：，故由余弦定理可得，由于，故C.由于，可得，则为等腰三角形，所以.故答案为：.首先利用余弦定理求出cosC的值，进而可求C的值，

27、进一步判定三角形为等腰三角形，进 步即可利用面积公式求出结果.本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型.14 .【答案:1 .【解析】解：由圆的方程可知，圆心，半径等于 6,设点M的坐标为，的垂直平分线交CQ于点M ,又，依据双曲线的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，且，故双曲线方程为.故答案为：.根据线段中垂线的性质可得，又半径 6,故有，根据双曲线的定义判断轨迹双曲线，求出a、b值，即得双曲线的标准方程.本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，得出，是解题的关键和难点.15 .【答案】【解析】解：一

28、故答案为：.a,根据指数函数和幕函数的单调性即可得出，根据对数函数的单调性即可得出，从而可得出b, c的大小关系.本题考查了指数函数、对数函数和幕函数的单调性，指数函数的值域，考查了推理能力，属于 基础题.16 .【答案】2【解析】解：如图，由题知，则，点M是线段AF的中点，则，故，则，所以.故答案为：2.由题意可得，运用三角形的中位线定理可得，由对称性可得, 可得渐近线的斜率，进而得到所求离心率.本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率,考查三角形的中位线定理和化简运算能力，属于基础题.17 .【答案】解：数列的前n项和为，且，当时，解得，当时，得，即常数，故数列是以 1 为首项

29、， 2 为公比的等比数列，所以由于，所以，所以，得，整理得【解析】数列的前n 项和为，且，当时，推出数列是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，然后求解通项公式化简，利用错位相减法，转化求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题18 . 【答案】解：中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知所以，故，由于解得由余弦定理，得，即，由，得，解得：，当且仅当时取等号；又得；所以，所以周长的取值范围为【解析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得，结合范围可求B 的值由余弦定理，基本不等式可求，又利用三角形两边之和大

30、于第三边可得，即可得解周长的取值范围本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题19.【答案】解：证明：，又，平面DAE ,平面DAB ,平面平面DAE.以E为原点，EA为x轴，EC为y轴，ED为z轴，建立空间 直角坐标系，设，则 0, , 0, , 0, , 2,设平面DAB的法向量，则，取，得，平面ABE的法向量，设二面角的大小为，则，二面角的大小为.【解析】关键是证明，进而可得平面 DAE,再由面面垂直的判定得出结论； 建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可.本题考查面面垂

31、直的判定及利用空间向量求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.20. 【答案】解：根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，得，.抛物线方程为：，当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，当k不存在时，与x轴垂直，与抛物线有两个交点，显然成立；当时，令，设存在点满足条件，即：，即，整理得：，整理得，,解的，因此存在点满足题意.【解析】由抛物线性质可知：，解得 p值，求出抛物线方程，然后求解 m即可.分类讨论 k 的取值，当时，令，设存在点满足条件，由已知得，整理得；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得 a 的值本题主

32、要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题21. 【答案】解：由椭圆的定义，可知解得又所以椭圆 C 的标准方程为设直线 l 的方程为，联立椭圆方程，得，得设，点到直线 l ：的距离，当即，时取等；所以面积的最大值为【解析】由焦点坐标及过的点和 a, b, c之间的关系求出椭圆方程；设直线 AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而弦长AB ，再求原点到直线的距离，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题22. 【答案】解：由题意得，所以，则由，解得；证明：时，下证：令；可得：当时，单调递增；当时，单调递减；所以，所以；即而，所以，得证【解析】表示出，求导，利用导数的几何意义容易得解；即证，构造函数，易得证本题考查导数的几何意义及利用证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题