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1、数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、 复习总结：名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标 准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：常数的关 系 ，渐 近 线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、 知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的
2、点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为.分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴
3、的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率5椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线6.椭圆的焦半径公式：椭圆焦半径公式:， 其中是离心率 其中分别是椭圆左右焦点 焦点在轴上的椭圆的焦半径公式： 其中是离心率 其中分别是椭圆的下上焦点焦半径
4、公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距) 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.2. 椭圆两焦半径与焦距构成三角形的面积:3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到A，若l与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的
5、路程是(D ) A.4b B.2(a-c) C.2(a+c) D.4a 4.椭圆的的内外部:（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.5.椭圆的切线方程:(1) 椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）椭圆与直线相切的条件是 .8双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9双曲
6、线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,) (2)有关系式成立，且 其中与的大小关系:可以为10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a，x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值
7、也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.（2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为, 叫做半实轴长 虚轴：长为，叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）
8、渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 13共渐近线的双曲线系如果双曲线与有公共渐近线，可设为以下14-17点要求不高，或者不要求.14双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率15双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式： （分别是左、右焦点）焦点在
9、y轴上的双曲线的焦半径公式： （分别是下、上焦点）17双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：18双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积.（4）焦点到渐近线的距离总是.（5）双曲线的切线方程: (1)双曲线上一点处的切线方程是. (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程
10、是. （3）双曲线与直线相切的条件是.19 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 20抛物线的准线方程：(1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向
11、在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 21抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，
12、叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=122抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线，抛物线， 抛物线， 抛物线，23直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）焦点弦公式： 抛物线， （识记）抛物线， 抛物线， 抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦（5）若已知过焦点的直线倾斜角（识记这条结论）则（6）常用结论：和和 （7） 若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（8） 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，则24抛物线的参数方程：（t为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法： 设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系： 推导：
人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
