湖南省四大名校高三3月联考数学理试题解析版

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1、2016届湖南省四大名校高三3月联考数学（理）试题一、选择题1已知集合,则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因或,故,应选A.【考点】集合的交集运算.2下列命题中, 是真命题的是（ ）ABC已知为实数, 则的充要条件是D已知为实数, 则是的充分条件【答案】D【解析】试题分析：因,故是的充分条件,应选D.【考点】命题的真假及判定.3以下四个命题中：在回归分析中, 可用相关指数的值判断的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好；两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近；若数据的方差为,则的方差为； 对分类变量与的随机变量的观测值来说, 越小,判断“与有关系”的把握程度越大.其中

2、真命题的个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：因回归分析中的值越小,则模型的拟合效果越好,故是错误的;若的方差为,则的方差为,故是错误的.不难验证都是正确的,故应选B.【考点】统计中的有关知识及运用.4已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析：因,令,故,所以,应选C.【考点】双曲线的几何性质.5已知,则的大小关系为（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：因,故应选B.【考点】定积分及运算.6 在平行四边形中, 与交于点是线段的中点的延长线与交于点.若,则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由向量的平行四边形法则可得

3、,解之得.又因为所以,即,所以,故应选C.【考点】向量的几何形式及运算.7将函数的图象向左平移个单位,得到函数 的图象,则的表达式可以是（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：因向左平移后为,所以,故应选A.【考点】三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先将向左平移个单位后的表达式求出来,即,再确定函数的解析表达式为,然后在四个选择支中选择出正确的答案A.解答时先借助左平移个单位这一信息,运用平移方法求出其解析表达式为,从而与比较进而确定得到.8某程序框图如图所示,现将输出值依次记为：若程序运行中输出

4、的一个数组是,则数组中的（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由于,共进行了五次运算,因此,故应选A.【考点】算法流程图的识读和理解.【易错点晴】算法是新教材中的重要内容之一.本题考查的是算法流程图的阅读和理解,及运用流程图中提供的信息进行分析问题和解决问题的能力.解答本题的关键是正确理解题设中提供的和输出的一个数组是这些重要信息. 然后按照题设中的要求逐一验算,然后通过计算发现共经过了次运算,从而进一步确定了的值,获得了应选正确答案A.按题设条件分析验证是解答好本题的关键之所在,要特别注意,这也是许多同学感到困难的地方.9在直角坐标系中,点的坐标为是第三象限内一点, 且,则点的横坐

5、标为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题设可设,则,所以,所以,故应选A.【考点】三角函数的定义与单位圆.10某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：从三视图可以推断几何体的形状如图,故其体积为,应选B.【考点】三视图的识读和几何体体积的计算.11现定义,其中为虚数单位,为自然对数的底,且实数指数幂的运算性质对都适用,若，,那么复数（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：因，是复数的实部和虚部,即,故应选A.【考点】新定义的复数概念和指数运算法则.12已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（ ）A B C D【答案

6、】B【解析】试题分析：由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于,故,而且不难验证当时,单调递减；当时,单调递增,所以,因此,由于且,所以,故应选B.【考点】导数在研究函数的最值及单调性方面的运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和最值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先将参数从不等式中分离出来,然后构造函数,将问题化为求的最小值问题.最后通过求函数的最小值,并借助分析推证求出.本题的难点在于无法求出导函数的零点,即函数的极值点,具有一定的难度.二、填空题13若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,

7、则 【答案】【解析】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故,故应填.【考点】抛物线和双曲线的几何性质及运用14已知实数、满足,则目标函数的最大值为 【答案】【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如图,结合图形可知,当动直线经过点时,在轴上的截距取最大值,故应填.【考点】线性规划的知识及运用【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域,进而移动动直线,结合图形可以看出当该直线经过点时,目标函数在轴上的截距最大,的最大为值为.在这个解答过程中,充满了化归转化的思想和数形结合的数学思想.15若函数在上单调递增,则实数的取值范围是 【答

8、案】【解析】试题分析：由题设可得,而两个二次函数的对称轴分别为和,所以当时,即时满足题设,故应填.【考点】二次函数的图象和性质的综合运用16已知平面四边形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧),且,则平面四边形面积的最大值为 【答案】【解析】试题分析：设,在中运用余弦定理可得；在中运用余弦定理可得.所以.又四边形的面积,即.联立和并两边平方相加可得,化简变形得,所以当时,最大,即.故应填.【考点】三角变换的公式及正弦定理余弦定理的综合运用【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先两个具有

9、公共对角线的三角形中运用余弦定理构建方程,然后再运用三角形的面积公式构建四边形的面积关系为,最后通过联立方程组并消去内角的正弦和余弦,建立了目标函数求出最大值为.解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.三、解答题17已知数列与满足.（1）若数列的通项公式；（2）若且对一切恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的定义求解；(2)借助题设条件运用分离参数的方法求解.试题解析：（1）,所以,是等差数列,首项为,公差为,即.（2）, 当时, 当时, 符合上式, 由得，所以，当时，取最大值，故的取值范围为.【考

10、点】等差数列的通项公式求和公式等有关知识的综合运用18如图,四棱锥中,与都是等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设条件运用空间向量的数量积公式求解.试题解析：（1）取的中点,连接,则为正方形过作平面,垂足为连,由和都是等边三角形可知,即点为正方形对角线的交点, 故,从而平面,是的中点, 是的中点, 因此.（2）由（1）可知, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向, 建立如图所示的直角坐标系,设,则,设平面的法向量,取,得,即,因为平面,设平面的法向量为,取.由

11、图象可知二面角的大小为锐角, 所以,二面角的余弦值为.【考点】空间的直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用19“根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在(不含)之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在(含)以上时,属醉酒驾车.”，年,“夕”晚时开始,长沙市交警队在解放路一交通岗前设点,对过往的车辆进行抽查,经过个小时共查出喝过酒的驾车者名,下图是用酒精测试仪对这名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（1）求这名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点,不包括右端点) （2）求这名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布

12、直方图中的七组从左到右依次命名为第一组,第二组,第七组,在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为、,则事件的概率是多少？【答案】(1)人；(2)；(3)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用频率与频数的关系求解；(2)借助题设条件运用平均数计算公式求解；(3)依据题设条件借助组合数公式和古典概型的计算公式求解.试题解析：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在(含)以上者, 共有人.（2）由图知名驾车者血液的酒精浓度的平均值.(3) 第五组和第七组的人分别有：人, 人. 即选的两人只能在同一组中.【考点】频率分布直方图和频率频数之间的关系及古典概型的计算公式等有关知识的

13、综合运用20（本小题满分12分）如图,在平面直角坐标系中, 已知分别是椭圆的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点,为线段的中点, 且. （1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点(异于点),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立？若存在,求出的值；若不存在,说明理由.【答案】(1)；(2)存在，【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的相等建立方程组求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系联立坐标方程求解.试题解析：（1）,化简得,点为线段的中点, 从而,左焦点,故椭圆的方程为. （2）存在满足条件的常数.设,则

14、直线的方程为,代入椭圆方程整理得,.,从而,故点.同理,点.因为三点、共线，所以,从而.从而,故,从而存在满足条件的常数.【考点】直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用已知条件求出了,求得椭圆的方程为;第二问的求解过程中,先将的方程设为,然后代入消去变量建立了以其交点横坐标为主元的二次方程,通过研究坐标之间的关系式,再借助题设条件,求出,.最后借助三点、共线,探究出了方程,最后推证出存在满足条件的常数,使得问题获解.本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高,有一定难度和区分度.21已知函数为自

15、然对数的底数)（1）若,求函数的单调区间；（2）若,且方程在内有解,求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为,递减区间为；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.试题解析：（1）当,所以, 时, 的单调递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为.（2）由得.由得,设,则 在内有零点. 设为在内的一个零点, 则由、知在区间和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点, 即在上至少有两个零点.当时, 在区间上递增,不可能有两个及以上零点；当时, 在区间上递减,不可能有两个及以

16、上零点；当时, 得所以在区间上递减, 在上递增, 在区间上存在最小值,若有两个零点, 则有：.,设,则,令,得,当时, 递增, 当时, 递减, 恒成立.由,得.当时, 设的两个零点为,则在递增, 在递减, 在递增, 所以,则在内有零点.综上,实数的取值范围是.【考点】导数在研究函数的单调性和极值最值等方面的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间问题,由于,因此解答时先求导后对参数进行讨论,判定导函数值的符号,确定函

17、数的单调性,进而求出的单调区间；第二问运用,将两个参数变为一个,然后构造函数,进而将问题进行等价转化,最后借助题设条件求出参数的取值范围是.22选修4-1：几何证明选讲如图, 交圆于两点, 切圆于为上一点且,连接并延长交圆于点,作弦,垂直,垂足为.（1）求证：为圆的直径；（2）若,求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用圆中的有关定理进行推证；（2）借助题设条件运用相似三角形的性质分析推证.试题解析：（1）为切线, 为圆的直径.（2）连接为圆的直径, 在与中, 为直角,为圆的直径, 为圆的直径,.【考点】圆幂定理等有关知识的综合运用23选修4-

18、4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.【答案】(1) ；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用求解；(2)借助题设条件将极坐标化为直角坐标来求解.试题解析：（1）因为圆的极坐标方程为,又,所以圆的普通方程为.（2）设,由的方程为,所以圆的圆心是,半径是,将代入得又直线过,圆的半径是,所以,即的取值范围是.【考点】极坐标和参数方程等有关知识的综合运用24选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为,求实数的值；（2）在（1）的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件绝对值的几何意义求解；(2)借助题设条件运用分类讨论的数学思想求解.试题解析：（1）由得,即.（2）由（1）知,令,则,的最小值为,故实数的取值范围是.【考点】绝对值不等式的有关知识和综合运用