《导数各种题型及解法总结》---教师
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知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 1 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 导数各种题型及解法总结 基础知识梳理 1 常见题型 一 小题 1 函数的图象 2 函数的性质 单调性 奇偶性 周期 性 对称性 3 分段函数求函数值 4 函数的定义域 值域 最值 5 函数的零点 6 抽象函数 二 大题 1 求曲线 在某点处的切线的方程 yfx 2 求函数的解析式 3 讨论函数的单调性 求单调区间 4 求函数的极值点和极值 5 求函数的最值或值域 6 求参数的取值范围 7 证明不等式 8 函数应用问题 2 在解题中常用的有关结论 需要熟记 1 曲线 在 处的切线的斜率等于 且切线方程为 yfx 0 0 fx 000 yfxfx 2 若可导函数 在 处取得极值 则 反之 不成立 x 3 对于可导函数 不等式 的解集决定函数 的递增 减 区间 f f f 4 函数 在区间 I 上递增 减 的充要条件是 恒成立 不恒为 0 fx xI 0 fx 5 函数 非常量函数 在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值 则可等价转化为方程 f 在区间 I 上有实根且为非二重根 若 为二次函数且 I R 则有 0 6 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数 进而得到 或f fx f 0 在 I 上恒成立x 7 若 恒成立 则 若 恒成立 则 f min0 xI f max f 8 若 使得 则 若 使得 则 0 0 xax f0 0fxin0 9 设 与 的定义域的交集为 D 若 D 恒成立 则有 fg fg minx 10 若对 恒成立 则 1I 2xI12 fg minax fx 若对 使得 则 xin 若对 使得 则 12f axaxfg 11 已知 在区间 上的值域为 A 在区间 上值域为 B f1I I 若对 使得 成立 则 x 21 f2gA 12 若三次函数 f x 有三个零点 则方程 有两个不等实根 且极大值大于 0 极小值小于 0 0 x 12 13 证题中常用的不等式 ln ln x 1xe 1xe x 22 3 解题方法规律总结 1 关于函数单调性的讨论 大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数 因此 讨论 函数单调性的问题 又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题 要结合函数图象 考虑判别式 对称轴 区间端点函数值的符号等因素 2 已知函数 含参数 在某区间上单调 求参数的取值范围 有三种方法 子区间法 分离参数法 构造函数法 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 2 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 3 注意分离参数法的运用 含参数的不等式恒成立问题 含参数的不等式在某区间上有解 含参数的方程在某区间上有实根 包括根的个数 等问题 都可以考虑用分离参数法 前者是求函数的最值 后者是求函数的值域 4 关于不等式的证明 通常是构造函数 考察函数的单调性和最值 有时要借助上一问的 有关单调性或所求的最值的结论 对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等 式 对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明 先观察通项 联想基本不定式 上 述结论中的 13 确定要证明的函数不定式 往往与所给的函数及上一问所得到的结论 有关 再对自变量 x 赋值 令 x 分别等于 1 2 n 把这些不定式累加 可得要证 的不定式 5 关于方程的根的个数问题 一般是构造函数 有两种形式 一是参数含在函数式中 二 是参数被分离 无论哪种形式 都需要研究函数在所给区间上的单调性 极值 最值以 及区间端点的函数值 结合函数图象 确立所满足的条件 再求参数或其取值范围 一 基础题型 函数的单调区间 极值 最值 不等式恒成立 1 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令 得到两个根 第二步 画两图或列表 第三步 由图表可知 0 xf 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题 2 常见处理方法有三种 第一种 分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 0 0 0 第二种 变更主元 即关于某字母的一次函数 已知谁的范围就把谁作为主元 例 1 设函数 在区间 D 上的导数为 在区间 D 上的导数为 若在区间 D 上 yfx fx f gx 恒成立 则称函数 在区间 D 上为 凸函数 已知实数 m 是常数 0gx yfx4326mf 1 若 在区间 上为 凸函数 求 m 的取值范围 yf 0 2 若对满足 的任何一个实数 函数 在区间 上都为 凸函数 求 的最大值 fx abba 解 由函数 得 432 16xxf 32 f 2 3gxm 1 在区间 上为 凸函数 则 在区间 0 3 上恒成立 y 0 20 解法一 从二次函数的区间最值入手 等价于 max 0 309g 解法二 分离变量法 当 时 恒成立 0 x 2 3gxm 当 时 恒成立3 0 等价于 的最大值 恒成立 2 3x 而 是增函数 则 hx 03x ma 2h m 2 当 时 在区间 上都为 凸函数 则等价于当 时 恒成m f ab 2 30gx 立 变更主元法 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 3 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 再等价于 在 恒成立 视为关于 m 的一次函数最值问题 2 30Fmx 2m 2 0301Fxx 2ba 例 2 设函数 1 3231 2Rbaxaxf 求函数 f x 的单调区间和极值 若对任意的 不等式 恒成立 求 a 的取值范围 f 二次函数区间最值的例子 解 22 43faxa 01a 令 得 的单调递增区间为 a 3a 0 xf xf 令 得 的单调递减区间为 a 和 3a 当 x a 时 极小值 当 x 3a 时 极大值 b f 43b xf 由 a 得 对任意的 恒成立 xf 2 1 x2243a 则等价于 这个二次函数 的对称轴 gmain g 2 43gxa 2xa 放缩法 01 即定义域在对称轴的右边 这个二次函数的最值问题 单调增函数的最值问题 x 上是增函数 2243 1 gaxa min 4 于是 对任意 不等式 恒成立 等价于 241 1 5gaa 又 0 15 点评 重视二次函数区间最值求法 对称轴 重视单调区间 与定义域的关系 第三种 构造函数求最值 题型特征 恒成立 恒成立 从而转化为第一 二种题型 xgf 0 xgfxh 例 3 已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 32a 1 Pb326 10tgxtt 求 的值 当 时 求 的值域 ab 4 x fx 当 时 不等式 恒成立 求实数 t 的取值范围 4 fg 解 解得 2 3fxa 13ba 32ab 2 2 3aa f a 3a2xa 1 2 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 4 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 由 知 在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递减 fx 1 0 0 2 2 4 又 的值域是 1 4 0 24 6f f fx16 令 231 4thfgx 思路 1 要使 恒成立 只需 即 分离变量 x 0h 2 t 思路 2 二次函数区间最值 二 题型一 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1 转化为 在给定区间上恒成立 回归基础题型 0 xff或 解法 2 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增或减区间 然后让 所给区间是求的增或减区间的子集 做题时一定要看清楚 在 m n 上是减函数 与 函数的单调减区间是 a b 要弄清楚两 句话的区别 前者是后者的子集 例 4 已知 函数 Ra xaxxf 14 21 3 如果函数 是偶函数 求 的极大值和极小值 g f 如果函数 是 上的单调函数 求 的取值范围 f 解 4 41 2 axxf 是偶函数 此时 1 xxf312 341 2 xf 令 解得 0 xf 3 x 列表如下 2 2 2 2 2 2 f 0 0 x 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知 的极大值为 的极小值为 f 34 f fx34 f 函数 是 上的单调函数 在给定区间 R 上恒成立判别式法21104fxax 则 解得 2 a 02a 综上 的取值范围是 例 5 已知函数 321 1 fxx I 求 的单调区间 II 若 在 0 1 上单调递增 求 a 的取值范围 子集思想f I 2 faa 1 当且仅当 时取 号 单调递增 20 0 afx 当 时 恒 成 立 1x fx 在 2 122 x 当 时 由 得 且 单调增区间 a 单调增区间 1 II 当 则 是上述增区间的子集 0 f 在 上 单 调 递 增 0 1 1 时 单调递增 符合题意a x在a 1 1 fx 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 5 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 2 0 1 a 10a 1a 综上 a 的取值范围是 0 1 三 题型二 根的个数问题 题 1 函数 f x 与 g x 或与 x 轴 的交点 即方程根的个数问题 解题步骤 第一步 画出两个图像即 穿线图 即解导数不等式 和 趋势图 即三次函数的大致趋势 是先增后减 再增 还是 先减后增再减 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 主要看极大值和极小值与 0 的关系 第三步 解不等式 组 即可 例 6 已知函数 且 在区间 上为增函数 23 1 xkxf kxg 31 f 2 1 求实数 的取值范围 k 2 若函数 与 的图象有三个不同的交点 求实数 的取值范围 fg 解 1 由题意 在区间 上为增函数 xkx 1 2 f 2 在区间 上恒成立 分离变量法 0 2 f 即 恒成立 又 故 的取值范围为 k 1k1 k 2 设 32 3 xxgfxh1 2 k 令 得 或 由 1 知 0 k1 当 时 在 R 上递增 显然不合题意 k0 2 x xh 当 时 随 的变化情况如下表 h k k 1 k 1 0 x 极大值 3263 极小值 2 由于 欲使 与 的图象有三个不同的交点 即方程 有三个不同的实根 故021 k fg 0 xh 需 即 解得36 3 0 12 kk 212k31 k 综上 所求 的取值范围为k3 根的个数知道 部分根可求或已知 例 7 已知函数 321 fxaxc 1 若 是 的极值点且 f的图像过原点 求 fx的极值 2 若 2 gbd 在 1 的条件下 是否存在实数 b 使得函数 gx的图像与函数 fx的 图像恒有含 x 的三个不同交点 若存在 求出实数 的取值范围 否则说明理由 高 1 考 1 资 1 源 2 网 解 1 f的图像过原点 则 0 fc 2 3fa 又 是 的极值点 则 3121aa 2 332 fx 23 1 fx 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 6 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 3 12fxf 2 37fxf 2 设函数 g的图像与函数 的图像恒存在含 1x 的三个不同交点 等价于 有含 的三个根 即 fx 1 2fgdb 整理得 32211 xb 即 恒有含 的三个不等实根 0 x 1x 计算难点来了 有含 的根 32 0hxbb 1x 则 必可分解为 故用添项配凑法因式分解 hx1 32 21 x 1 0 xbb 221 x 十字相乘法分解 10 xb 21 2xb 恒有含 的三个不等实根3211 0 xbxb 等价于 有两个不等于 1 的不等实根 2 22 1 4 1 0b 1 3 b 题 2 切线的条数问题 以切点 为未知数的方程的根的个数0 x 例 7 已知函数 在点 处取得极小值 4 使其导数 的 的取值范围为32 fxac 0fx 求 1 的解析式 2 若过点 可作曲线 的三条切线 求实数 的取 3 1 Pm y m 值范围 1 由题意得 3 fxbaxa 在 上 在 上 在 上 0 1 0f 3 0fx 因此 在 处取得极小值fx 4 4abc 2fc 276fbc 由 联立得 69abc 32 69fxx 2 设切点 Q tf yftt23231 y t 21 69txtt 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 7 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 过22 319 6 txtt 1 m 3m32190gttm 令 60gttt 求得 方程 有三个根 g 需 102 1294 61 故 因此所求实数 的范围为 6m 题 3 已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数 0 的根的个数 fx 解法 根分布或判别式法 例 8 解 函数的定义域为 当 m 4 时 f x x3 x2 10 x R13 72 x 2 7x 10 令 解得 或 f 0fx 5 令 解得0 5 可知函数 f x 的单调递增区间为 和 5 单调递减区间为 2 2 5 x 2 m 3 x m 6 要使函数 y f x 在 1 有两个极值点 x 2 m 3 x m 6 0 的根在 1 f 根分布问题 则 解得 m 3 2 3 4 6 0 1 fm 例 9 已知函数 1 求 的单231 xaxf 0 aR xf 调区间 2 令 x4 f x x R 有且仅有 3 个极值点 求 a 的取值范围 g1 解 1 2 axf 当 时 令 解得 令 解得 0 a0 f 01 0 xf 01 x 所以 的递增区间为 递减区间为 f a a 当 时 同理可得 的递增区间为 递减区间为 xf a 2 有且仅有 3 个极值点4321 gx 0 有 3 个根 则 或 23 1 aa 0 x 210 x 2 方程 有两个非零实根 所以2024 a 1 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 8 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 或2a 而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点 ygx 其它例题 1 最值问题与主元变更法的例子 已知定义在 上的函数 在R32 fxaxb 0 a 区间 上的最大值是 5 最小值是 11 2 求函数 的解析式 fx 若 时 恒成立 求实数 的取值范围 1 t 0 txf x 解 32 2 34 34 abfa 令 0 得 fx 140 1 因为 所以可得下表 2 0 0 1 fx 0 极大 因此 必为最大值 因此 0 f 50 fb 2 165 1 2faff 即 162 aa 23x 等价于 xxf43 2 0 txf 04 t 令 则问题就是 在 上恒成立时 求实数 的取值范围 tg g t x 为此只需 即 0 1 52 解得 所以所求实数 的取值范围是 0 1 0 xx 2 根分布与线性规划例子 1 已知函数 32 fabc 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行 求x1 0 1 30 xy 的解析式 xf 当 在 取得极大值且在 取得极小值时 设点 所在平面区 0 12 x 2 1 Mba 域为 S 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1 3 的两部分 求直线 L 的方程 解 由 函数 在 时有极值 2fxab f 20a 又 在 处的切线与直线 平行 11c 0 3xy 故 7 分03f 231fx 解法一 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值 2 xaxb f 12 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 9 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 即 令 则 0 12ff 0248ba Mxy21xbya 故点 所在平面区域 S 为如图 ABC aybx 06 xy 易得 20 A 1 B 2 C 0 1 D 3 0 2E2ABCS 同时 DE 为 ABC 的中位线 所求一条直线 L 的方程为 3DEABES 四 边 形 0 x 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1 3 的两部分 设直线 L 方程为 它与yk AC BC 分别交于 F G 则 0k 1四 边 形 GF 由 得点 F 的横坐标为 2ykx 2xk 由 得点 G 的横坐标为 460641G 即 OEFDSS 四 边 形 DEGF13221kk 2650k 解得 或 舍去 故这时直线方程为 12k58kyx 综上 所求直线方程为 或 12 分0 xyx 解法二 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值 2 fab f 0 1 12 即 令 则 0 1 2ff 480 Mxyxbya 故点 所在平面区域 S 为如图 ABC aybx 26xy 易得 20 A 1 B 2 C 0 1 D 3 0 2E2ABCS 同时 DE 为 ABC 的中位线 所求一条直线 L 的方程为 3DEABES 四 边 形 0 x 另一种情况由于直线 BO 方程为 设直线 BO 与 AC 交于 H 2yx 由 得直线 L 与 AC 交点为 120yx 1 2 ABCS 12DECS 12HABOHSS 所求直线方程为 或 xyx 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 10 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 3 根的个数问题 已知函数 的图象如图所示 32f x ab c3ab xd a0 求 的值 cd 若函数 的图象在点 处的切线方程为 f f23xy10 求函数 f x 的解析式 若 方程 有三个不同的根 求实数 a 的取值范围 05 8 解 由题知 23axb c 3a 由图可知 函数 f x 的图像过点 0 3 且 0 1f 得 d d 依题意 3 且 f 2 5 f 解得 a 1 b 6 所以 f x x3 6x2 9x 312432865ab 依题意 f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 3ax2 2bx 3a 2b 由 0 b 9a f f 若方程 f x 8a 有三个不同的根 当且仅当 满足 f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 a 3 1 所以 当 a 3 时 方程 f x 8a 有三个不同的根 12 分1 4 根的个数问题 已知函数 32 xR 1 若函数 在 处取得极值 且 求 的值及 的单调区间 fx12 1 a fx 2 若 讨论曲线 与 的交点个数 a fx25 216ga 解 1 2 f a 112 x 2211244xx 022 fxax 令 得 令 得0f 或 f 的单调递增区间为 单调递减区间为 5 分 1 2 由题 得 即 fxg32215 6xaxax 3211 06xa 令 6 分31 6 令 得 或 7 分2 0 a 当 即 时a a 1 此时 有一个交点 9802 当 即 时 a 1a x 2 a 2 2 1 a 0 x2 2 1 98a 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运 学习成就未来 第 11 页 共 11 页 胸中有了超越的目标 就会充满激情 学习就会充满动力 生活就会充满活力 培英堂教育 个性化课外辅导 x 982a 21 3 6a a 当 即 时 有一个交点 21306 980 9 当 即 时 有两个交点 且 6 当 时 有一个交点 02a a 综上可知 当 或 时 有一个交点 当 时 有两个交点 916 19016a- 配套讲稿:
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