二次函数图像与性质总结
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1 二次函数的图像与性质 一 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2yxc 上加下减 3 的性质 2yaxh 左加右减 4 的性质 2yaxhk 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0 轴y时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小值 y 0 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值xx 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0c 轴y时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小值 y c 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值x0 x 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小值 y 0 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值yxxh 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小值 y k 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值yxxh 2 二 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2yaxhk hk 保持抛物线 的形状不变 将其顶点平移到 处 具体平移方法如下 2yax h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿 轴平移 向上 下 平移 个单位 变成cbxay 2ymcbxay 2 或 mcbxa 2 沿轴平移 向左 右 平移 个单位 变成cxy2 cxy2 或 ba mxbxy 2 三 二次函数 与 的比较 2yaxhk ac 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过2yxb 配方可以得到前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 四 二次函数 图象的画法2c 五点绘图法 利用配方法将二次函数 化为顶点式 确2yaxbc 2 yaxhk 定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我 们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及 关于对称轴对称的点 0 0 与 轴的交点 若与 轴没有交点 则取两组关于对称轴 2hc x 1x 2 对称的点 k 3 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴的交点 xy 五 二次函数 的性质2yaxbc 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0 2bxa 24bac 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 当2bxa yx yx 时 有最小值 24acb 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当0a 2bxa 24bac 时 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 2bx yx y2x 有最大值 y24ac 六 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2yxbc abc0a 2 顶点式 为常数 ahk hk 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12x0 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以 写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以40bac 用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 七 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 二次函数 中 作为二次项系数 显然 2yxbc a0a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越0 大 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越a 大 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决aa 定开口的大小 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在 的前提下 0 当 时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 02 y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 b a 当 时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 0 02 y 4 在 的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当 时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 b 02a y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 当 时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 0b 02a y 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 b 的符号的判定 对称轴 在 轴左边则 在 轴的右侧则 aax2 0 aby0 ab 概括的说就是 左同右异 总结 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 总之 只要 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解 析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情 况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 八 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有四种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2yabc x 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 xhk hk 2 关于 轴对称y 关于 轴对称后 得到的解析式是 2abc y 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 yxhk hk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2abc 2yaxbc 5 关于原点对称后 得到的解析式是 2yaxhk 2yaxhk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2bc 22bca 关于顶点对称后 得到的解析式是 yaxhk yaxhk- 配套讲稿:
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