复变函数论第三版课后习题答案[1]
《复变函数论第三版课后习题答案[1]》由会员分享,可在线阅读,更多相关《复变函数论第三版课后习题答案[1](10页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
第一章习题解答(一)1设,求及。解:由于所以,。2设,试用指数形式表示及。解:由于所以。3解二项方程。解:。4证明,并说明其几何意义。证明:由于 所以 其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5设z1,z2,z3三点适合条件:,。证明z1,z2,z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证 由于,知的三个顶点均在单位圆上。因为 所以, ,又 故 ,同理,知是内接于单位圆的一个正三角形。6下列关系表示点的轨迹的图形是什么?它是不是区域。(1) ;解:点的轨迹是与两点连线的中垂线,不是区域。(2);解:令由,即,得故点的轨迹是以直线为边界的左半平面(包括直线);不是区域。(3)解:令,由,得,即;故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面(不包括虚轴);是区域。(4);解:令由,得,即故点的轨迹是以直线为边界的梯形(包括直线;不包括直线);不是区域。(5);解:点的轨迹是以原点为心,2为半径,及以为心,以1为半径的两闭圆外部,是区域。(6);解:点的轨迹是位于直线的上方(不包括直线),且在以原点为心,2为半径的圆内部分(不包括直线圆弧);是区域。(7);解:点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形(不包括边界),是区域。(8)解:令由,得故点的轨迹是两个闭圆的外部,是区域。7证明:z平面上的直线方程可以写成(a是非零复常数,C是实常数)证 设直角坐标系的平面方程为将代入,得令,则,上式即为。反之:将,代入得则有;即为一般直线方程。8证明:平面上的圆周可以写成其中A、C为实数,为复数,且。证明:设圆方程为其中当时表实圆;将代入,得即其中且;反之:令代入得其中即为圆方程。10求下列方程(t是实参数)给出的曲线。(1); (2);(3); (4),解(1)。即直线。(2),即为椭圆;(3),即为双曲线;(4),即为双曲线中位于第一象限中的一支。11函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线?(1); (2)解 ,可得(1)是平面上一直线;(2),于是,是平面上一平行与v轴的直线。13试证在负实轴上(包括原点)不连续,除此而外在z平面上处处连续。证 设,因为f(0)无定义,所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时,即,有所以不存在,即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14 设()+=,0,623yxxyzf 求证在原点处不连接。证 由于可知极限不存在,故在原点处不连接。16. 试问函数f(z) = 1/(1 z )在单位圆| z | 1内是否连续?是否一致连续?【解】(1) f(z)在单位圆| z | 1内连续因为z在C内连续,故f(z) = 1/(1 z )在C1内连续(连续函数的四则运算),因此f(z)在单位圆| z | 1内连续(2) f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续令zn = 1 1/n,wn = 1 1/(n + 1),nN+则zn, wn都在单位圆| z | 0,故 f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 x )在(0, 1)不一致连续来说明,只要把这个实函数看成是f(z)在E = zC | Im(z) = 0, 0 Re(z) 0,$NN+,使得n N,有| zn - z0 | e此时有| xn - x0 | | zn - z0 | e;| yn - y0 | | zn - z0 | 0,$N1N+,使得n N1,有| xn - x0 | N2,有| yn - y0 | N,有n N1且n N2,故有| zn - z0 | = | (xn - x0) + i (yn - y0) | | xn - x0 | + | yn - y0 | 0,$KN+,使得n K,有| zn - z0 | K时,有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | = | (z1 - z0) + (z2 - z0) + . + (zn - z0) |/n ( | z1 - z0 | + | z2 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n = ( | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |)/n + ( | zK +1 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n M/n + (n - K)/n (e /2) M/n + e /2因lim n (M/n) = 0,故$LN+,使得n L,有M/n K时,有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | M/n + e /2 e /2 + e /2 = e所以,lim n (z1 + z2 + . + zn)/n = z0(2) 当z0 时,结论不成立这可由下面的反例看出例:zn = (-1)n n,nN+显然lim n zn = 但kN+,有(z1 + z2 + . + z2k)/(2k) = 1/2,因此数列(z1 + z2 + . + zn)/n不趋向于这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都是一样的2如果,试证明(1); (2)解 (1)(2)4设,试证。证 由于及 有 6. 设| z | = 1,试证:| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1(z*表示复数z的共轭)【解】此题应该要求b* z + a* 0| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | | z | = | (a* z* + b*) z | = | a* z* z + b* z | = | a* | z |2 + b* z | = | b* z + a* |故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 18. 试证:以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为= 0【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)例如我们将采用下述的观点来证明:以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是:将它们的一对对应顶点都平移到原点后,它们只相差一个位似旋转记f1(z) = z - z1 (将z1变到0的平移);f3(z) = z - w1 (将0变到w1的平移);那么,三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z,使得f2 ( f1(zk) = f3(wk),(k = 2, 3),其中z0C0存在z0C0,使得z0(zk - z1) = wk - w1,(k = 2, 3)(w2 - w1)/(z2 - z1) = (w3 - w1)/(z3 - z1)= 0= 0= 0证完9. 试证:四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)为实数【解】在平面几何中,共线的四个点A, B, C, D的交比定义为(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)这是射影几何中的重要的不变量类似地,在复平面上,(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为z1z2, z3z4 = (z1 z3)/(z2 z3) : (z1 z4)/(z2 z4)本题的结论是说:复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数() 分两种情况讨论(1) 若(z1 z4)/(z1 z2)为实数,则(z3 z4)/(z3 z2)也是实数设(z1 z4)/(z1 z2) = t,tR则z4 = (1 t)z1 + t z2,故z4在z1, z2所确定的直线上,即z1, z2, z4共线因此,同理,z1, z2, z3也共线所以,z1, z2, z3, z4是共线的(2) 若(z1 z4)/(z1 z2)为虚数,则(z3 z4)/(z3 z2)也是虚数故Arg (z1 z4)/(z1 z2) kp,Arg (z3 z4)/(z3 z2) kp而Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = kp注意到Arg (z z4)/(z z2) = Arg (z4 z)/(z2 z)是z2 z到z4 z的正向夹角,若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2),则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧,且它们对z2, z4所张的角的大小相同,故z1, z2, z3, z4是共圆的若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2) + p,则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧,且它们对z2, z4所张的角的大小互补,故z1, z2, z3, z4也是共圆的() 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的,则存在s, tR0, 1,使得z4 = (1 s)z3 + s z2,z4 = (1 t)z1 + t z2,那么,z3 z4 = s (z3 z2),即(z3 z4)/(z3 z2) = s;而z1 z4 = t (z1 z2),即(z1 z4)/(z1 z2) = t,所以,(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = t/sR(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的,若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧,那么,Arg (z4 z1)/(z2 z1) = Arg (z4 z3)/(z2 z3)因此(z4 z1)/(z2 z1) : (z4 z3)/(z2 z3)是实数也就是说(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)是实数若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧,则Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p,故Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) + Arg (z3 z2)/(z3 z4)= Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p,所以,(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)仍为实数证完这个题目写的很长,欢迎同学们给出更简单的解法11. 试证:方程| z - z1 |/| z - z2 | = k ( 0 k 1,z1 z2 )表示z平面的一个圆周,其圆心为z0,半径为r,且z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2),r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线当比值不等于1时,轨迹是一个圆,这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆设0 0 | (1 - z)/(1 + z) | 0 点z在y轴右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧 点z到点-1的距离大于点z到点1的距离 |1 + z | | 1 - z | | (1 - z)/(1 + z) | 1不用几何意义可以用下面的方法证明:设z = x + i y,x, yR| (1 - z)/(1 + z) | | 1 - z | |1 + z |2 | 1 - z |2 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2 - 2Re(z) Re(z) 0由本题结论,可知映射f(z) = (1 - z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出,映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题:f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射?f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射?$-abcdefghijklmnopqrstuvwxyz FY NZQSDPTEHRCK#DSGFLWmN+,$mN+, a1, a2, ., an lim n,+ne 0, un, n 1 un,mR,e 0,$d 0,【解】0, 2p l 2 dx,f(x) = (-, +)-p, p1 k n un,0, 2p- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 第三 课后 习题 答案
装配图网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文