恒成立、能成立、存在数学题
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恒成立、能成立、恰成立、任意与存在一、知识归纳:1恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上2能成立问题(有解问题、存在性问题)若在区间上存在实数x使不等式成立(即在D上有解),则等价于在区间上;若在区间上存在实数x使不等式成立(即在D上有解),则等价于在区间上的.对于,有解3 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为;若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.4.任意与存在设函数的定义域为A,值域为B; 的定义域为C,值域为D对任意的都有成立,则.对任意的,均有,则对任意的,存在,均有,则对任意的,存在,均有,则存在,使得,则对任意的,存在,使得成立,则存在, 对任意的,使得成立,则存在, ,使得,则二、注意点:1“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题,而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法,在具体解决问题时又有两条基本思路:将“参数”与“变量”分离在不等号的两边,然后变量形成的函数的最值;“参数”与“变量”不分离,将整个式子看成一个函数,并求它的最值.2必须注意,如果在定义区间D上没有最大或最小值,而只有上限或下限,则最后的结果可能要将“()”改为“()”.3在具体的问题中,“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意总有”,“无论都有”等等;而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”,“集合 ”等多种形式,注意总结经验.三、例题例1不等式|x-2|x+4|a有解,则a的取值范围为_如已知不等式在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围_不等式|x-2|x+4|a恒成立,则a的取值范围为_.解题策略:数形结合能将抽象的问题直观化.形象化,能使问题灵活直观地获解,在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想.分析:就自变量x的范围讨论去掉绝对值,将函数表示为分段函数,画出分段函数的图象,由图象即可得y的范围 函数的图象如图,由图象即可得y-6,6.所以a-6例2.设关于x的不等式在区间上有解,求a的取值范围答:在上等价于,在区间上有解,则 所以, a的取值范围例3.已知是实数,函数.如果函数在区间-1,1上有零点,求的取值范围.【解析】若,则,令,不符题意, 故 当在 -1,1上有一个零点时,此时 或 解得或 当在-1,1上有两个零点时,则 解得即 综上,实数的取值范围为. (别解:,题意转化为知求的值域,令得转化对号函数问题.)例4对,使,则的取值范围是 例5.设函数的定义域为D,如果对于任意,存在唯一的,使(c为常数)成立,则称函数在D上均值为c,给出下列五个函数:,满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 作业1.若使得不等式成立,则实数x的取值范围是 。2.若使得不等式成立,则实数a的取值范围是 。3. 若使得不等式成立,则实数x的取值范围是 。4已知函数的值域为,函数,总,使得成立,则实数的取值范围是 。5对于函数y=f(x),xD,若存在常数c,使对任意x1D,存在唯一的x2D,满足,则称函数f(x)在D上的均值为c,现已知函数: y=2x, y=x5, y=2sinx, y=lgx,则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是_(填上所有符合要求的函数的序号)。6已知函数,若存在,使(1,2)为的最小值,为的最大值,则此时数对为 。7已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围。8若存在,使得不等式成立,则实数x的取值范围是_9存在的取值范围是 。- 配套讲稿:
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