一元二次方程导学案.doc
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一元二次方程1、 一元二次方程的概念学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点:由实际问题列出一元二次方程和理解一元二次方程的概念。难点:由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项系数以及一次项系数还有常数项。导学流程:一、自学课本导图,走进一元二次方程分析:现设雕像下部高x米,则可列方程 去括号得 你知道这是一个什么方程吗?你能求出它的解吗?想一想你以前学过什么方程,它的特点是什么?二、探究新知1、自学课本25页问题1、问题2(列方程、整理后与课本对照),并完成下列各题:2、一元二次方程的一般形式: ,其中 二次项, 是一次项, 是常数项, 二次项系数 , 一次项系数。三、自主探究: 自主学习P25-26页例题,完成下列练习:将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 (1) (2)四、【巩固练习】教材第27页练习五、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识?2、学习过程中用了哪些数学方法?3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么?六、作业(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程;(1)( )(2) ( )(3) ( ) (4) ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)3x2x=2; (2)7x3=2x2; (3)(2x1)3x(x2)=0 (4)2x(x1)=3(x5)4.3、判断下列方程后面所给出的数,哪些是方程的解;(1) 1 2; (2) 2, 4(B)1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。2、要使是一元二次方程,则k=_.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0,求m的值。2、一元二次方程的根学习目标: 了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重难点关键1、重点:判定一个数是否是方程的根;2、难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根学习过程一、自学教材: 针对目标自学教材27页28页内容,会规范解答28页练习题1、2.二、合作交流,解读探究先独立思考,有困难时请求他人帮助,10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目: 1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0 三、 应用迁移,巩固提高3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 四、总结反思,自查自省 (一)选择题1 方程x(x-1)=2的两根为( ) Ax1=0,x2=1 Bx1=0,x2=-1 Cx1=1,x2=2 Dx1=-1,x2=2 2方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是( ) Ax1=b,x2=a Bx1=b,x2= Cx1=a,x2= Dx1=a2,x2=b2 3已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b0),则=( ) A1 B-1 C0 D2 (二)填空题1 如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=_,x2=_ 2已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为_ 3方程(x+1)2+x(x+1)=0,那么方程的根x1=_;x2=_ (三)综合提高题 1如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值 2如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:-1必是该方程的一个根3、 配方法(一)学习目标:1、 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如=p(p0)或(mx+n)=p(p 0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的思想方法;3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。重点:掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。难点:理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。导学流程:一、自主探索 自学P30 问题1及思考解下列方程:(1)x220; (2)16x2250. (3)(x1)240; (4)12(2x)290.二、总结归纳 如果方程能化成=p或(mx+n)=p(p 0)形式,那么可得三、巩固提高 仿照例题完成P31页练习四、课堂小结 你今天学会了解怎样的一元二次方程?步骤是什么?五、达标测评1、解下列方程:(1)x2169; (2)45x20; (3)x2-12=0 (4)x2-2=0(5)2x2-3=0 (6)3x2-=0(7)12y2250; (8)x2+4x+4=0 (9)x2-6x+9=0 (10)x2+x+=04、配方法(二)学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;2、理解解方程中的程序化,体会化归思想。重点:用配方法解数字系数的一元二次方程;难点:配方的过程。导学流程一、自主学习 自学P31-32问题2、完成P33思考。二、精讲点拨 上面,我们把方程x2+6x-160变形为(x+3)225,它的左边是一个含有未知数的_式,右边是一个_常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 :配方.填空:(1)x26x( )(x )2; (2)x28x( )(x )2;(3)x2x( )(x )2;从这些练习中你发现了什么特点?(1)_(2)_三、合作交流 用配方法解下列方程:(1)x26x70;(2)x23x10.解(1)移项,得x26x_.方程左边配方,得x22x3_27_,即 (_)2_.所以 x3_.原方程的解是x1_,x2_.(2)移项,得x23x1.方程左边配方,得x23x( )21_,即 _所以 _原方程的解是: x1_x2_五、总结规律 用配方法解二次项系数是1的一元二次方程?有哪些步骤?六、深入探究 自学P33页例1,完成练习:用配方法解下列方程:(1) (2)七、巩固提高: 完成P34页练习八、课堂小结 你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程?有哪些步骤? 九、达标测评 用配方法解方程:1、x28x20 2、x2+2x30. 3、x2-x=6 4、x25x40 5、 x-2x-3=0 6、 2x+12x+10=0 7、x-4x+3=0 8、9x-6x-8=0 9、x+12x-15=0 10、 2x+1=3x 11、 3x+6x-4=0 12、 4x-6x-3=0 13. x+4x-9=2x-11 14. x(x+4)=8x+12十、拓展提高 已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?5、公式法学习目标 1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点:用公式法解简单系数的一元二次方程; 难点:推导求根公式的过程。导学流程一、复习提问: 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗? ax2bxc0(a0). 请你和同桌讨论一下.二、推导公式 用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0).因为a0,方程两边都除以a,得_0.移项,得 x2x_,配方,得 x2x_,即 (_) 2_因为 a0,所以4 a20,当b24 ac0时,直接开平方,得 _.所以 x_即 x_由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式:x ( b24 ac0)三、精讲点拨利用这个公式, 我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.四、合作交流 b24 ac为什么一定要强调它不小于0呢?如果它小于0会出现什么情况呢?五、展示反馈 学生在合作交流后展示小组学习成果。 当b24ac0时,方程有个的实数根;(填相等或不相等) 当b24ac0时,方程有个的实数根x1x2 当b24ac0时,方程实数根.六、巩固练习 1、做一做:(1)方程2x-3x+1=0中,a=( ),b=( ),c=( )(2)方程(2x-1)=-4中,a=( ),b=( ),c=( ).(3)方程3x-2x+4=0中,=(),则该一元二次方程( )实数根。(4)不解方程,判断方程x-4x+4=0的根的情况。七、深入探究:自学P36页例2,完成下列特别各题:应用公式法解下列方程:(1) 2 x2x60; (2) x24x2; (3) 5x24x120; (4) 4x24x1018x. 八、提高: 完成P37页练习九、小结 1、一元二次方程的求根公式是什么?2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么?十、测评 1、应用公式法解方程:(1) x26x10 (2)2x2x6 (3)4x23x1x2 (4)3x(x3) 2(x1) (x1) (5)(x-2)(x+5)8 (6)(x1)22(x1)6、因式分解法学习目标:1会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性重点:应用分解因式法解一元二次方程 难点:灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.【课前预习】 阅读教材P38 40 , 完成课前预习1:知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= 因式分解的方法: 解下列方程 (1)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法)2:探究 :仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗?3、归纳:(1)对于一元二次方程,先因式分解使方程化为_ _的形式,再使_,从而实现_ _ ,这种解法叫做_。(2)如果,那么或,这是因式分解法的根据。如:如果,那么或_,即或_。练习1、说出下列方程的根:(1) (2)练习2、用因式分解法解下列方程:(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】 活动1:预习反馈 活动2:典型例题例1、 用因式分解法解下列方程(1) (2) (3) (4) 例2、 用因式分解法解下列方程(1)4x2-144=0 (2)(2x-1)2=(3-x)2(3) (4)3x2-12x=-12活动3:随堂训练 1、用因式分解法解下列方程(1)x2+x=0 (2)x2-2x=0 (3)3x2-6x=-3 (4)4x2-121=0(5)3x(2x+1)=4x+2 (6)(x-4)2=(5-2x)22、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。活动4:课堂小结 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:1、将方程右边化为 2、将方程左边分解成两个一次因式的 3、令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程4、解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解【课后巩固】 1方程的根是 2方程的根是_3方程2x(x-2)=3(x-2)的解是_ 4方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2,且x1x2,则x1-2x2的值等于_5若(2x+3y)2+2(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为_6已知y=x2-6x+9,当x=_时,y的值为0;当x=_时,y的值等于97方程x(x+1)(x-2)=0的根是( )A-1,2 B1,-2 C0,-1,2 D0,1,28若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为( )A(x+5)(x-7)=0 B(x-5)(x+7)=0 C(x+5)(x+7)=0 D(x-5)(x-7)=09方程(x+4)(x-5)=1的根为( )Ax=-4 Bx=5 Cx1=-4,x2=5 D以上结论都不对10、用因式分解法解下列方程:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x(x-5)=011补充练习(1)(2011浙江省嘉兴,2,4分)一元二次方程的解是( )(A) (B)(C)或(D)或(2)(2011甘肃兰州,10,4分)用配方法解方程时,原方程应变形为ABCD(3)(2011江苏泰州,3,3分)一元二次方程x2=2x的根是 Ax=2 Bx=0 Cx1=0, x2=2 Dx1=0, x2=2(4)(2011安徽,8,4分)一元二次方程x(x2)=2x的根是( )A1B2C1和2 D1和2(5)(2011湘潭市)一元二次方程的两根分别为 ( )A. 3, 5 B. 3,5 C. 3,5 D.3,5(6)(2011浙江省舟山,2,3分)一元二次方程的解是( )(A) (B)(C)或 (D)或(7)(2011山东泰安,21 ,3分)方程2x2+5x-3=0的解是 。(8)(2011浙江衢州,11,4分)方程的解为 .*思考题:解方程:8、习题课学习目标 能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程,培养探究问题的能力和解决问题的能力。重点:选择合理的方法解一元二次方程,使运算简便。难点:理解四种解法的区别与联系。复习提问:(1)我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?(2)请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?精讲点拨观察方程特点,寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为:直接开平方法、 因式分解法 、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法,其中,公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙,适用于任何一元二次方程;因式分解法和直接开平方法是特殊方法,在解符合某些特点的一元二次方程时,非常简便。练习一:分别用三种方法来解以下方程(1)x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0 练习二:你认为下列方程你用什么方法来解更简便。 (1)12y2250; (2)x22x0; (3) (4)x26x10; (5)3x24x1; (6) 3x24x. 对应训练1、解下列方程(1); (2); (3)x22x80; (4)3x24x1; (5); (6).2、当x取何值时,能满足下列要求?(1)3x26的值等于21;(2)3x26的值与x2的值相等.3、用适当的方法解下列方程:(1)3x24x2x;(2) (3)x2(1)x0;(4); (5); (6);4、已知y12x27x1,y26x2,当x取何值时y1y2?课堂小结:根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通常你是如何选择的?和同学交流一下.拓展提高 1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,则 x2+y2 的值是( )(A)3或-2 (B) -3或2 (C) 3 (D)-22、试求出下列方程的解:(1) (2)3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本3000元,售价每套30元服装厂向24名家庭贫困学生免费提供经核算,这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润问这批演出服共生产了多少套?7 、一元二次方程根的判别式学习目标1、了解什么是一元二次方程根的判别式;2、知道一元二次方程根的判别式的应用。重点:如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况;难点:根的判别式的变式应用。导学流程复习引入 :一元二次方程ax2bxc0(a0)只有当系数a、b、c满足条件b24ac_0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况: 当b24ac0时,方程有个的实数根;(填相等或不相等)当b24ac0时,方程有个的实数根x1x2当b24ac0时,方程实数根.精讲点拨 这里的b24ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2x10,可由b24ac0直接判断它实数根;合作交流 方程根的判别式应用1、不解方程,判断方程根的情况。(1)x22x80; (2)3x24x1;(3)x(3x2)6x20;(4)x2(1)x0;(5)x(x8)16;(6)(x2)(x5)1;2说明不论m取何值,关于x的方程(x1)(x2)m2总有两个不相等的实数根.解:把化为一般形式得b24ac拓展提高 应用判别式来确定方程中的待定系数。(1)m取什么值时,关于x的方程x2-2xm20有两个相等的实数根?求出这时方程的根. (2)m取什么值时,关于x的方程x2-(2m2)xm2-2m20没有实数根?课堂小结 1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项?2、列举一元二次方程根的判别式的用途。达标测评(A)1、方程x2-4x40的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根; B.有两个相等的实数根; C.有一个实数根; D.没有实数根.2、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) Ax210 B. x2+x-10 C. x2+2x30 D. 4x2-4x103、若关于x的方程x2-xk0没有实数根,则( )A.k B.k C. k D. k 4、关于x的一元二次方程x2-2x2k0有实数根,则k得范围是( )A.k B.k C. k D. k (B)5、取什么值时,关于x的方程4x2-(2)x0有两个相等的实数根?求出这时方程的根.6、说明不论取何值,关于x的方程x2(2)x0总有两个不相等的实根.一元二次方程的根的判别式练习1、方程2x2+3xk=0根的判别式是 ;当k 时,方程有实根。2、关于x的方程kx2+(2k+1)xk+1=0的实根的情况是 。3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。4、关于x的方程(k2+1)x22kx+(k2+4)=0的根的情况是 。5、当m 时,关于x的方程3x22(3m+1)x+3m21=0有两个不相等的实数根。6、如果关于x的一元二次方程2x(ax4)x2+6=0没有实数根,那么a的最小整数值是 。7、关于x的一元二次方程mx2+(2m1)x2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。8、已知一元二次方程x26x+5k=0的根的判别式=4,则这个方程的根为 。9、若关于x的方程x22(k+1)x+k21=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k1 B.k1 C.k1 D.k-110、设方程(xa)(xb)cx=0的两根是、,试求方程(x)(x)+cx=0的根。11、不解方程,判断下列关于x的方程根的情况:(1)(a+1)x22a2x+a3=0(a0) (2)(k2+1)x22kx+(k2+4)=012、m、n为何值时,方程x2+2(m+1)x+3m2+4mn+4n2+2=0有实根?13、求证:关于x的方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。14、已知关于x的方程(m21)x2+2(m+1)x+1=0,试问:m为何实数值时,方程有实数根?15、 已知关于x的方程x22xm=0无实根(m为实数),证明关于x的方程x2+2mx+1+2(m21)(x2+1)=0也无实根。16、已知:a0,ba+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。17、m为何值时,方程2(m+1)x2+4mx+2m1=0。(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个实数根;(3)有两个相等的实数根;(4)无实数根。18、当一元二次方程(2k1)x24x6=0无实根时,k应取何值?19、已知方程(x1)(x2)=m2(m为已知实数,且m0),不解方程证明:这个方程有两个不相等的实数根;19、不解方程判别根的情况 . x20.4+0.6=0;2x24x+1=0; 4y(y5)+25=0; (x4)(x+3)+14=0;20、试证:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+2(a2)=0一定有两个不相等的实数根。21、若a1,则关于x的一元二次方程2(a+1)x2+4ax+2a1=0的根的情况如何?22、若a6且a0,那么关于x的方程ax25x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若 此方程一定有两个不相等的实数根,是否一定满足a6且a0?23、.a为何值时,关于x的一元二次方程x22ax+4=0有两个相等的实数根?24、已知关于x的一元二次方程ax22x+6=0没有实数根,求实数a的取值范围。25、已知关于x的方程(m+1)x2+(12x)m=2。m为什么值时:(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?26、分别根据下面的条件求m的值:(1)方程x2(m+2)x+4=0有一个根为1; (2)方程x2(m+2)x+4=0有两个相等的实数根;(3)方程mx23x+1=0有两个不相等的实数根; (4)方程mx2+4x+2=0没有实数根;(5)方程x22xm=0有实数根。27、已知关于x的方程x2+4x6k=0没有实数根,试判别关于y的方程y2+(k+2)y+6k=0的根的情况。28、m为什么值时,关于x的方程mx2mxm+5=0有两个相等的实数根?29、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。一元二次方程根与系数的关系一、学习目标:1理解并掌握根与系数关系:,;2会用根的判别式及根与系数关系解题.二、重点:理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点:会用根的判别式及根与系数关系解题;三、前置学习一元二次方程的一般式: 一元二次方程的解法: 一元二次方程的求根公式: 四、展示交流1.探究1:完成下列表格方 程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=025x2+3x-10=0-3问题:你发现什么规律?x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .2.探究2:完成下列表格方 程x1x2x1+x2x1x22x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01问题:上面发现的结论在这里成立吗?请完善规律;ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .3.利用求根公式推导根与系数的关系(韦达定理)ax2+bx+c=0的两根x1= , x2= (前提条件是 )4.练习:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根和与两根积:x2-3x-1=0 2x2+3x-5=0 五、达标拓展 1.例1:不解方程,求下列方程的两根和与两根积:x2-6x-15=0 3x2+7x-9=0 5x-1=4x22.例2:已知方程2x2+kx-9=0的一个根是 -3 ,求另一根及k的值。4.拓展应用已知,是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 (1) (2) (3)已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是_ _ .六、巩固提高1.方程2x2-3x-1=0,则x1+x2= ,x1x2= _ _2.若方程x2+px+2=0的一个根2,则它的另一个根为_ _ _ p=_ _ 3.若0和-3是方程的x2+px+q=0两根,则p+q= _ _ 4.在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x=4与x=-2,你认为方程中的p= ,q= .5.两根均为负数的一元二次方程是 ( )A. 7x2-12x+5=0 B. 6x2-13x-5=0 C. 4x2+21x+5=0 D. x2+15x-8=06.若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0,那么 ( )A p=q=0 B P=0,q0 C p0,q=0 D p0, q07.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:x2-5x-10=0 2x2+7x+1=0 3x2-1=2x+5 x(x-1)=3x+78.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 .9.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是 .10. (2012,湖北孝感,24,12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;(2)若x1,x2是原方程的两根,且,求m的值,并求出此时方程的两根(8分)9、 实际问题与一元二次方程(1)教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决实际问题重点:用“倍数关系”建立数学模型 难点与关键:用“倍数关系”建立数学模型教学过程 一、复习引入 (学生活动)问题1:列一元一次方程解应用题的步骤? 审题,设出未知数. 找等量关系. 列方程, 解方程, 答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好,这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型,那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢?请同学们完成下面问题 (学生活动)探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析: 开始有一人患了流感,第一轮的传染源 ,他传染了x人,第一轮传染后共有 人,第二轮的传染源 ,他传染了 人,第二轮传染后共有 人。 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意列方程得 1+x+x(x+1)=121 x2+2x-120=0解方程,得x1=-12, x2=10根据问题的实际意义,x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?四.巩固练习.1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支, 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?五、归纳小结 本节课应掌握:1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验检验方程的解是否符合题意,将不符合题意的解舍去。(6)答10、实际问题与一元二次方程(2)教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。重难点关键:1重点:如何解决增长率与降低率问题。2难点与关键:解决增长率与降低率问题的公式a(1x)n=b,其中a是原有量,x增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量。教学过程探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得 5000(1-x)2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?(经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.)小结:类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1x)n=b(中增长取+,降低取)二、巩固练习(列出方程) 1某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米?2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_3公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率4. 某种细菌,一个细菌经过两轮繁殖后,共有256个细菌,每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?三、应用拓展 例2某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率 四、课堂检测一、选择题12005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是( ) A100(1+x)2=250 B100(1+x)+100(1+x)2=250 C100(1-x)2=250 D100(1+x)22一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ) A(1+25%)(1+70%)a元 B70%(1+25%)a元 C(1+25%)(1-70%)a元 D(1+25%+70%)a元3某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为( ) A Bp C D二、填空题1某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_kg,第三年的产量为_,三年总产量为_2某糖厂2002年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计2004年的产量将是_3我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价30%后,2001年降价70%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是_ 五、体验中考(1)(2012山东莱芜, 16,4分)为落实“两免一补”政策,某市2011年投入教育经费2500万元,预计2013年要投入教育经费3600万元,已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长,则2012年要投入的教育经费为 万元.(2)2012江苏泰州市,4,3分)某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是36(1x)2362536(12x)2536(1x)225 36(1x2)25(3)(2012黑龙江省绥化市,9,3分)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品,甲超市连续两次降价20;乙超市一次性降价40;丙超市第一次降价30,第二次降价10,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是 (4)(2012广东汕头,18,7分)据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;w w w .x k b 1.c o m(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?11、 实际问题与一元二次方程(3) 教学目标 1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题重难点关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题导学流程:一、复习引入 说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 (学生口答,老师点评) 二、探索新知 现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题 例1某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 例2如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?思考: (1)本体中有哪些数量关系? (2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解? (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程? ()你有几种解法?解法一:设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有:解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm。 三、课堂检测 (一)、选择题1直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为( ) A B5 C D72有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是( ) A第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m; B第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长10m,宽18m; C第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长7m,宽13.5m; D以上都不对3从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( ) A8cm B64cm C8cm2 D64cm2 图22-10(二)、综合提高题1如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为多少? 2在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?3谁能量出道路的宽度:如图22-10,有矩形地ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度? 五、体验中考(1)(2012山东省青岛市,12,3)如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为 .(2)(2011江苏宿迁,16,3分)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m若矩形的面积为4m2,则AB的长度是 m(可利用的围墙长度超过6m)(3)(2010山东济南)如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用- 配套讲稿:
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