高一数学《三角函数与平面向量》精讲精练.doc
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第三讲 三角函数与平面向量【知识网络】任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用 第1课 三角函数的概念考试注意:理解任意角的概念、弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 掌握终边相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义 掌握三角函数的符号法则 知识典例: 1角的终边在第一、三象限的角平分线上,角的集合可写成 2已知角的余弦线是单位长度的有向线段,那么角的终边 ( ) A在x轴上 B在y轴上 C在直线y=x上 D在直线y=x上 3已知角的终边过点p(5,12),则cos ,tan= 4 的符号为 5若costan0,则是 ( )A第一象限角 B第二象限角 C第一、二象限角 D第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P( ,m),且sin= m,求cos与tan的值 分析 已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义解题,由P的坐标可知,需求出m的值,从而应寻求m的方程 解 由题意知r= ,则sin= = 又sin= m, = m m=0,m= 当m=0时,cos= 1 , tan=0 ;当m= 时,cos= , tan= ;当m= 时,cos= ,tan= 点评 已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法(三角函数的定义)解决 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等;已知角的终边上一点的坐标,求三角函数值往往运用定义法;注意运用三角函数线解决有关三角不等式1 已知是钝角,那么 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一与第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的终边过点P(4k,3k)(k0,则cos的值是 ( ) A B C D 3已知点P(sincos,tan)在第一象限,则在0,2内,的取值范围是 ( ) A( , )(, ) B( , )(, ) C( , )(,) D( , )( ,) 4若sinx= ,cosx = ,则角2x的终边位置在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5若46,且与 终边相同,则= 6 角终边在第三象限,则角2终边在 象限7已知tanx=tanx,则角x的集合为 8如果是第三象限角,则cos(sin)sin(sin)的符号为什么? 9已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 掌握同角三角函数的基本关系式:sin 2+cos2=1, =tan,tancot=1, 掌握正弦、余弦的诱导公式能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题)解题 1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ( ) A B C D 2已知sin(+)=,则 ( ) Acos= Btan= Ccos= Dsin()= 3已tan=3, 的值为 4化简= 5已知是第三象限角,且sin4+cos4= ,那么sin2等于 ( ) A B C D 例1 化简 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称,若能减少它们的个数,则式子可望简化 解 原式= = = =1 点评 将不同角化同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法 例2 若sincos= ,( ,),求cossin的值 分析 已知式为sin、cos的二次式,欲求式为sin、cos的一次式,为了运用条件,须将cossin进行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ,), cossin cossin= 变式1 条件同例, 求cos+sin的值 变式2 已知cossin= , 求sincos,sin+cos的值 点评 sincos,cos+sin,cossin三者关系紧密,由其中之一,可求其余之二 1在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数 2注意1的作用:如1=sin 2+cos2 3要注意观察式子特征,关于sin、cos的齐次式可转化成关于tan的式子 4运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题 1sin600的值是 ( ) A B C D 2 sin(+)sin()的化简结果为 ( ) Acos2 Bcos2 Csin2 D sin2 3已知sinx+cosx=,x0,则tanx的值是 ( )A B C D或4已知tan=,则 = 5 的值为 6证明 = 7已知=5,求3cos2+4sin2的值 8已知锐角、满足sin+sin=sin,coscos=cos,求的值 第3课 两角和与两角差的三角函数(一) 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题1cos105的值为 ( ) A B C D 2对于任何、(0,),sin(+)与sin+sin的大小关系是 ( ) Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具体值而定3已知,sin2=a,则sin+cos等于 ( ) A B C D4已知tan=,tan=,则cot(+2)= 5已知tanx=,则cos2x= 例1 已知sinsin= ,coscos=,求cos()的值 分析 由于cos()=coscos+sinsin的右边是关于sin、cos、sin、cos的二次式,而已知条件是关于sin、sin、cos、cos的一次式,所以将已知式两边平方 解 sinsin=, coscos= , 2 2 ,得22cos()= cos()= 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异 例2 已知:sin(+)=2sin求证:tan=3tan(+) 分析 已知式中含有角2+和,而欲求式中含有角和+,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+,=(+), sin(+)+=2sin(+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若cos(+)0 ,cos0,则3tan(+)=tan 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将+看成一个整体 1已知0,sin=,cos(+)=,则sin等于 ( ) A0 B0或 C D0或2 的值等于 ( ) A2+ B C2 D 3 ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则C的大小为 ( ) A B C 或 D 或4若是锐角,且sin()= ,则cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=,tan=,且、都是锐角求证:+=45 7已知cos()=,cos(+)= ,且()(,),+(,2),求cos2、cos2的值 8 已知sin(+)= ,且sin(+)= ,求 第四课 平面向量基本概念一、1.向量是既有 又有 的量。 几何表示:有向线段 符号表示:用有向线段的记法表示4.向量的模是指向量的 ,向量的模记为 。5.零向量与单位向量 模为 的向量叫零向量,规定零向量的方向是任意的,记作: 。 模为 的向量叫单位向量,(有个单位向量)6.向量间关系 相等向量:是指方向 且模 的向量,所有相等的非零向量都可用同一条 有向线段表示而与起点无关,向量与 相等记为 。 自由向量:数学中的向量只有两要素 、 ,它可以平移到以空间任意 一点为起点而向量不变,本章研究平面自由向量。 平行向量:也称共线向量,是指方向 或 的非零向量 (平行向量可以平移到同一条直线上,故称共线向量)(零向量与任意向量平行)二、设=,=,则叫做 的和,记作 。+ =+ =向量加法运算的交换律: , 结合律: .求作两个向量和的方法有 法则和 法则.三、与向量 的向量,叫做的相反向量,记作 , 零向量的相反向量是 。-(-)= ,+(-)= 。BAO若、是相反向量,则= ,= ,+= 。向量加上的相反向量,叫做 , 既:-= 。=,=,则= 。四、1.实数与向量的积还是一个 ,记作 ;2.的长度与方向规定如下(R) |= , 当0时,的方向与的方向 ,当0时,的方向与的方向 ; 0= , = ;3. 实数与向量的积满足结合律与分配律,设、为实数,则 ()=();(+)= ;(+)= .4.向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数,使得= .五、向量、是同一平面内两个不共线的向量, 为这个平面内任一向量,则向量,可用、表示为= ,其中 , 为惟一存在的一组实数; 另外不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的其中一组 。在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量 、作为基底.对平面内任意一个向量,有且只有 一对实数x、y,使得= (向量的分量表示) 记作=( , )(向量的坐标表示),其中x叫做的 坐标 ,y叫做的 坐标,向量、的坐标表示分别是=( , ),=( , ),=( , )若=(x,y),那么与相等的向量的坐标为 若=(x,y1),=(x2,y2),则,.若点A、B的坐标分别为(x,y1), (x2,y2),那么的坐标为 .六、若向量,则()的充要条件是:存在唯一实数,使 若=(x1,y1),=(x2,y2),且()则的充要条件是 七、设点P是直线P1P2上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数使 , 叫做点P分有向线段所成的比,点P是有向线段的分点。设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)且=(-1);则x= ,y= . 若点P在线段P1P2的中点时,x= ,y= .八、1.平面向量的数量积的定义及几何意义 向量的夹角:已知两个非零向量和,作=,=,则AOB=(0) 叫做向量与的夹角。= , = . 平面向量的数量积的定义:已知两个非零向量和,它们的夹角为,则数量 |cos叫做与的数量积(或内积、点乘),记为:= . 规定:零向量与任一向量的数量积为 . 的几何意义: 数量积等于的长度|与在的方向上投影|cos的乘积.第五课 平面向量数量积的坐标表示一、复习引入:1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与,作,则AB()叫与的夹角.2平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量|cosq叫与的数量积,记作,即有 = |cosq,().并规定与任何向量的数量积为0 3向量的数量积的几何意义:数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积4两个向量的数量积的性质:设、为两个非零向量,是与同向的单位向量1 = =|cosq;2 = 03当与同向时, = |;当与反向时, = -| 特别的 = |2或4cosq = ;5| |5 平面向量数量积的运算律交换律: = 数乘结合律:() =() = ()分配律:( + ) = + 二、讲解新课:平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量,试用和的坐标表示设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么,所以又,所以这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2.平面内两点间的距离公式(1)设,则或(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设,则4.两向量夹角的余弦() cosq =三、讲解范例:例1 设 = (5, -7), = (-6, -4),求解: = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2例2 已知(1, 2),(2, 3),(-2, 5),求证:ABC是直角三角形证明:=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)=1(-3) + 13 = 0 ABC是直角三角形例3 已知 = (3, -1), = (1, 2),求满足 = 9与 = -4的向量 解:设= (t, s), 由 = (2, -3)例4 已知(,),(,),则与的夹角是多少?分析:为求与夹角,需先求及,再结合夹角的范围确定其值.解:由(,),(,)有(),记与的夹角为,则cos又,评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.例5 如图,以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC,使 = 90,求点和向量的坐标解:设点坐标(x, y),则= (x, y),= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即:x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29由点坐标或;=或 例6 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一个内角为直角, 求k值解:当 = 90时,= 0,21 +3k = 0 k = 当 = 90时,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C= 90时,= 0,-1 + k(k-3) = 0 k = 四、课堂练习:1.若=(-4,3),=(5,6),则3|( )A.23 B.57 C.63 D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5),则为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量,则等于( )A.或 B.或C.或 D.或4.=(2,3),=(-2,4),则(+)(-)= .5.已知(3,2),(-1,-1),若点P(x,-)在线段的中垂线上,则x= .6.已知(1,0),(3,1),(2,0),且=,=,则与的夹角为 .六、课后作业:1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为( )A. B. C. D.2.已知=(,),=(-3,5)且与的夹角为钝角,则的取值范围是( ) A. B. C. D.3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),则x等于( ) A.23 B. C. D. 4.已知|=,=(1,2)且,则的坐标为 .5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若,则 .6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为,则k的值为 .7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x=9与x=-4的向量x.8.已知点A (1,2)和B (4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使ABC90,若不能,说明理由;若能,求C点坐标.9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x与y间的关系式;(2)满足(1)问的同时又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积.第六课 平面向量的数量积及运算律一、基本概念:1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与,作,则()叫与的夹角C2平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量|a|b|cosq叫与的数量积,记作ab,即有ab = |a|b|cosq,()并规定0与任何向量的数量积为0 3“投影”的概念:作图 定义:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q = 0时投影为 |b|;当q = 180时投影为 -|b|4向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积5两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量1ea = ae =|a|cosq;2ab ab = 03当a与b同向时,ab = |a|b|;当a与b反向时,ab = -|a|b| 特别的aa = |a|2或4cosq = ;5|ab| |a|b|7判断下列各题正确与否:1若a = 0,则对任一向量b,有ab = 0 ( )2若a 0,则对任一非零向量b,有ab 0 ( )3若a 0,ab = 0,则b = 0 ( )4若ab = 0,则a 、b至少有一个为零 ( )5若a 0,ab = ac,则b = c ( )6若ab = ac,则b = c当且仅当a 0时成立 ( )7对任意向量a、b、c,有(ab)c a(bc) ( )8对任意向量a,有a2 = |a|2 ( )二、:平面向量数量积的运算律1交换律:a b = b a证:设a,b夹角为q,则a b = |a|b|cosq,b a = |b|a|cosq a b = b a2数乘结合律:(a)b =(ab) = a(b)证:若 0,(a)b =|a|b|cosq, (ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cosq,若 0,(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq,(ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律:(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O,作= a, = b,= c, a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和, 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即:(a + b)c = ac + bc说明:(1)一般地,()()(2),0(3)有如下常用性质:,()()()三、讲解范例:例1 已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a - 5b垂直,a - 4b与7a - 2b垂直,求a与b的夹角解:由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减:2ab = b2代入或得:a2 = b2设a、b的夹角为q,则cosq = q = 60例2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解:如图:ABCD中,=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中,且,试问四边形ABCD是什么图形?分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解:四边形ABCD是矩形,这是因为:一方面:0,(),()()即由于,同理有由可得,且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面,由,有(),而由平行四边形ABCD可得,代入上式得(2)即,也即ABBC综上所述,四边形ABCD是矩形评述:(1)在四边形中,是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即0,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习:1下列叙述不正确的是( )A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律 Dab是一个实数2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为,则(a+2b)(a-3b)等于( )A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为( )A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150,则(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=_,|a-b|= 6设|a|=3,|b|=5,且a+b与ab垂直,则 参考答案:1C 2B 3B 4 +2 5 6五、课后作业1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是( )A60 B30 C135 D2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,那么向量m=a-4b的模为( )A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( )A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知向量a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么ab= 6已知ab、c与a、b的夹角均为60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)_7已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求ab;(2)若a、b的夹角为,求|a+b|;(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角8设m、n是两个单位向量,其夹角为,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角9对于两个非零向量a、b,求使|a+tb|最小时的t值,并求此时b与a+tb的夹角参考答案:1D 2B 3C 4 5 63 6 117(1)- (2) (3)45 8 120 9 90- 配套讲稿:
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