new四年级数学培训教材.doc
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四年级数学培训教材目录第一讲 找规律填数 第二讲 速算与巧算 第三讲 巧妙求和(一) 第四讲 简单推理 第五讲 加法原理 第六讲 乘法原理 第七讲 乘除法中的算式谜 第八讲 数数图形 第九讲 奇思妙解应用题 第十讲 定义新运算 第十一讲 植树问题 第十二讲 平均数问题 第十三讲 盈亏问题 第一讲 找规律填数知识链接观察是解决问题的一种重要途径,通过观察,可以揭示事物的发展变化规律。在这个内容里,我们就来观察给出的一列数,从已知的数中找出排列的规律,再按此规律填出未知的数。按照一定规律排列成的一列数叫数列。例题精讲例1先找出规律,然后在括号里填上适当的数。(1)5,9,17,33,65,( ),( )(2)1,1,2,3,5,8,13,21,( ),( ),89分析:第(1)题,先观察相邻两数的差: 5, 9, 17, 33, 65,( ),( ) +4 +8 +16 +32 差按4、8、16、32、排列,差不恒定,但很有规律,后一个差总是前一个差的2倍,由此可知这列数的差是:4、8、16、32、64、128。 换一个角度来思考,还可以看出后一个数比前一个数的2倍少1。 5, 9, 17, 33, 65, (129), (257)52-1 92-1 172-1 332-1 652-1 1292-1解:5, 9,17,33,65,(129),(257)第(2)题同样先观察相邻两数的差: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ( ), ( ),89 +0 +1 +1 +2 +3 +5 +8比较相邻的两数的差,规律并不明确,和原数列联系起来看,除0和1外,1、2、3、5、8这些差正好是增加数的前一个数,即第三个数总是它前两个数的和。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ( ), ( ),89 1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13象这样的数列叫斐波那切(古代意大利著名数学家)数列。也称它“兔子数列”。斐波那切看到邻居小男孩养的兔子后,出了这样一个题目:每一对大兔每月能生出一对小兔,而每一对小兔过一个月就能成为大兔,如果不发生死亡,问:由一对大兔开始,一年后能有多少大兔?然后根据题目的意思,排成了上面这一数列。解:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (34), (55),89小结:在一般情况下,我们可以根据以下几个方面来找规律:1、 根据每相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数。2、 根据相隔的每两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数。3、 要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律。4、 数据之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得的规律都可以认为是正确的。例题求解例2 你能找出下面各列数的排列规律吗?(1)0,1,3,8,21,( )(2)(2,5),(4,11),(6,17),( )思路点拨 第(1)题的数列的规律比较隐蔽,仔细比较: 0 1 3 8 21 ( ) ( ) +1 +2 +5 +13 除第一个差外,其余各差都是前一个数与前一个差的和。0 1 3 8 21 ( ) ( )1 1+2 3+5 8+13 21+13 21+13 第(2)题括号中第一个数按2、4、6、排列,是连续的偶数;括号中第二个数比第一个数的3倍少,231=5,431=11,631=17,第四组数是:(8,831=23)。(2,5),(4,11),(6,17),(8,23)例3 下图中有4行数字,它们的排列是有一定规律的,请你找出规律,在空格处填上适当的数。3100250570300740230思路点拨(1)若以列来看,第一列:3 5 7 (9)空格处填9。 +2 +2 +2 第二列:100 70 40 (10)空格处填10。 30 30 30 第三列:250 300 230 无明显规律。 +50 70(2)横着来看:第一行310050=250,第二行57050=300,第三行74050=230,所以第四行最后一格填91050=40。例4 找规律,在()处填适当的数。5 ( )( )()4 ( )( )( )1 69 542 57 353 45 20(1)(2)830 ( )420 8512 6思路点拨 第(1)题方格内上面两个数的差是3,而且方格内下面第一个数是上面两个数的和,下面第二个数是方格内上面第二个数与下面第一个数的乘积,根据这一规律,括号内应该分别填上7,11,77;8,13,104。5 813 1044 (7)11 77即: 第(2)题经过仔细观察、分析可以发现前面两个圈中3个数之间有这样的关系:5 12 60 10 6, 4 20 80 10 8 根据这一规律,( )处应填上830=240,24010=24。熟能生巧1、 根据规律在( )里填上适当的数。(1)3、6、9、12、( )、18、21(2)1、4、9、16、( )、( )(3)128、64、32、( )、8、( )、2(4)10、11、13、16、20、( )、31(5)1、4、9、16、25、( )、49、64(6)3、2、5、2、7、2、( )、( )、11、22、 先找出规律,然后在括号里填数。(1)3、6、10、15、21、( )、( )(2)3、30、4、28、5、26、( )、( )(3)1、6、4、8、7、10、( )、( )、13、14(4)2、9、6、10、18、11、54、( )、( )、13、486(5)1、1、3、4、9、7、27、10、( )、( )(6)625、7、125、14、( )、( )、5、28(7)5、5、10、15、25、40、( )、( )(8)1、4、13、40、( )、( )、1093(9)0、1、4、15、56、( )、( )(10)0、1、2、4、7、12、20、( )、( )3、 下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在里填上适当的数。(1)(120,179),(200,99),(109,190),(123,)(2)(3,80),(40,6),(15,16),(12,)(3)(259,16),(592,16),(52,7),(95,14),(9999,)(4)(1、1),(5,9)(7,13)(9,)举一反三1、将120这20个数按一定规律填入下表中。表中已填好了一些数,请你按填好的数的规律把没填上的数填上去。121161020(1)71815133410(2)智力冲浪代表1仔细研究下面表示数的方法。代表2代表3代表4代表5根据上面的方法回答问题,把答案写在每个图框的右边括号中。代表( )代表( )代表( )答案熟能生巧1、(1)15;(2)25,36;(3)16,4;(4)25;(5)36;(6)9,2;2、(1)28,36;(2)6,24;(3)10,12;(4)12,162;(5)81,13;(6)25,21; (7)65,105;(8)121,364;(9)209(56415);780(290456); (10)33(1220+1),54(33+20+1)3、(1)176(123+176=299) (2)20(1220+240) (3)36(9+9+9+9=36) (4)17(921=17)举一反三1234511121314156789101617181920(1)1 511 156 1016 20(2)2071418152913166319125181141710智力冲浪:由规律可知,每个方格中的圆点,表示的数为:6432168421第二讲 速算与巧算知识链接数学学习离不开计算,我们都希望在计算时又快又准,那么,除了加减乘除的基本运算要熟练之外,关键是还要掌握一些计算技巧,只有算得巧才会算得快,因此,我们在计算时要仔细观察算式中的每个数,分析算式的特点及每个数之间可能存在的某种联系,灵巧地运用运算定律与性质,适当改变运算顺序,从而使计算达到简便快捷的目的。例题精讲例1:7439326487分析:观察此题的数的特点:74与26相加得100,393与7相加得400,那么就先把74与26、393与7相加后,再往下计算。解:原式 =(7426)(3937)48 =10040048 =548小结:在计算中,当两数能凑成10、100、1000时,计算要快得多,这就是常用的巧算办法凑整。例题求解例2:39399399939999思路点拨:数39、399、3999、39999分别接近整十、整百、整千、整万,在计算时,常凑成整十、整百、整千、整万后相加,再减去凑数,例如39可转化为401。例3:计算:67243998997思路点拨:这道题的两个减数都是接近整千的数,那么,就给这两个数分别补上一个数,使两个数都成为整千的数,那么这样一来就减多了,就要把减多了的加回来,则差不变,使计算简便快捷。例4:计算675681678683684680思路点拨:通过认真观察,每一个数都接近680,那么,我们就把这些数都当作680来加,如果加多了就减去多加的,如果加少了,就加上少加的,例5:计算6425125思路点拨:观察算式发现254=100、1258=1000,先把64分成842,再与25、125相乘。例6:计算:456268467544732467思路点拨:仔细观察发现,有些数可以凑整,但要移动位置,那么,我们可以采用带着前面的符号搬家的办法进行简便计算。例7:计算 342(158136) 248(148314)思路点拨:在上面的计算中,去掉括号会使计算简便。如果括号前面是“”号,去掉括号,括号内的符号不变;如果括号前面是“”号,去掉括号,括号内的加号就要变成减号,是减号就要变成加号。熟能生巧1、 703247538197532、 987999999963、 499989963997994、 43852996985、 625366、 725327、 4894874834854844864888、 4567345610561679、662(315238)10、629(320129)举一反三1、 7500012552、 725341243、 87564251254、 4456226824675544773214675、 7366782386(336278)186智力冲浪1、大鹏展翅:123420012002200143212、下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?42 58 614 720 3、把210拆成7个自然数,使这7个自然数从小到大排成一行后,相邻两个数相差都是5,那么,这7个自然数中,最大的数是多少?答案:例题求解例2:原式(401) (400 1) (40001)(400001)44440444436例3:原式(672423)(39982)(9973)6729400010001729例4:原式(6805)(6801)(6802)(6803)(6804)6806805124081例5:原式84225125(8125) (425) 2=200000例6:原式(456544)(467467)(268732)0例:原式(342158)136364原式(248148)314414熟能生巧:1、 原式(703197)(24753)53890030053817382、 原式1002(10001)(100000)1011003、 原式(50000)(1000)(4000)(100)550904、 原式(4385)(29964)(98)12915、 原式(625)225006、 原式(725)232007、 原式(485)(4852)(4852)485(4851)(4851)(4853)34028、 原式(4567167)(34561056)4400340010009、 原式662315238(662238)31558510、原式629320129(629129)320180举一反三:1、 原式(751000)1255(755)(1000125)1202、 原式24533412424(15941)28003、 原式87584225125(52)(8125)(425)87870000004、 原式(44565544)(22681732)(24671467)100004000100070005、 原式7366782386336278186(736336)(678278)(2386186)40040022003000智力冲浪:1、 原式(12001)(22000)(31999)(20002)(20011)200220022002200220022002200240080042、 算式的规律为:6,13,20,27,则第100个算式的得数是6(1001)76993、 设这行数为x15,x10,x-5,x,x5,x10,x15,则7x210,x30,所以这7个自然数中最大的数是:301545 第三讲 巧妙求和(一) 知识链接 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为第一项,最后一项称为末项。数列中的个数称为项数。 从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。例如:3,6,996,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的等差数列。为了更好地掌握这类问题,我们需要记住三个公式:通项公式:第n项 = 首项 + ( 项 数 1 ) 公差项数公式:项数 = ( 末项 首项 ) 公差 1求和公式:总和 = ( 首项 + 末项 ) 项数 2例题精讲例1 有一个数列,2、5、8、11101,这个数列共有多少项?分析 这个数列的首项是2,末项是101,公差是3。要求项数,可根据:项数 = ( 末项 首项 ) 公差 1 进行计算。解: ( 101 2 ) 3 1 = 34所以,这个数列共有34项。例题求解 例2 有一等差数列:3、7、11、15这个数列的第100项是多少?思路点拨 这个数列的首项是3,公差是4,项数是100。要求第100项,可根据,末项 = 首项 + ( 项 数 1 ) 公差 进行计算。解:3 +(100 1) 4 = 399 例3 有这样的一列数,1、2、3、4、99、100。请你求出这列数各项相加的和。思路点拨 如果我们把数列1、2、3、4、99、100与数列100、99、98、972、1相加:1 2 3 4 99 100 100 99 98 97 2 1(1100)(299)(397)(992)(1001) 其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。解: 1 2 3 4 99 100 =(1100)1002= 5050想一想:这道题还可以怎样计算?小结:上面的数列是公差为的特殊数列,经过进一步研究可以发现,求任何一个等差数列的和,都可以用下面的公式计算:总和 = ( 首项 + 末项 ) 项数 2例4 求数列9、18、27、36 261、270的和。思路点拨 这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:项数 = ( 末项 首项 ) 公差 1 =(270 9) 9 1 = 30首项 = 9,末项 = 270,项数 = 30( 9 270) 30 2 = 4185所以,这个数列的和是4185。熟能生巧 1、有一个数列,4、10、16、2252,这个数列共有多少项? 2、有一个数列,11、16、21、261001,这个数列共有多少项?3、有一等差数列:1、4、7、10这个数列的第40项是多少?4、有一等差数列:2、6、10、14这个数列的第100项是多少?5、计算:1 2 3 4 49 506、计算:有一个等差数列,首项 = 3,公差 = 2,项数 = 10,求:末项是多少? 7、求数列2、4、648、50的和。8、计算:2 6 10 14 18 22 26举一反三1、计算:7 8 9 10 62 632、计算:100 99 98 97 61 603、计算:1 3 5 7 9 + 97 994、计算:2 4 6 8 10 98 1005、一个体育馆西侧看台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位。你知道体育馆西侧看台共有多少个座位吗?提示:首项 = 末项 公差 ( 项数 1 ) 6、仓库里堆放一批粗细均匀的圆木,最下一层放了14根,每向上一层就减少1根,最上面一层放了5根。这批圆木有多少根?智力冲浪一、时钟一昼夜敲的次数时钟在每个整点敲该钟点数,每半点钟敲一下,请问一昼夜这个时钟一共敲了多少下?二、朋友聚会 有10和朋友聚会,见面时如果每人和其余的每个人只握一次手,那么10个人共握手多少次?三、魔术师变球盒子里放有1只球,一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出,变成4只球放回盒子里;第二次又从盒子里拿出2只球,将每只球变成4只球放回盒子里第十次从盒子里拿出10只球,将每只球各变成4只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球?答案:熟能生巧 (1)9项; (2)199项; (3)118; (4)404;(5)1275; (6)21 (7)670; (8)98。举一反三(1)1995; (2)3280; (3)2500; (4)2550。(5)3090;提示:首项 = 末项 公差 ( 项数 1 ) (6)14131265 =(14 5)102 = 95(根)智力冲浪(1)( 12341112 ) 2 24 = 180(次)(2)解: 987654321 =(91)92 = 45(次)(3) 分析与解:1只球变成4只球,实际上多了3只。第一次多31只,第二次32只球,第三次多33只球第十次多310只球。因此拿了10次后,多了313233310 = 3 (12310) = 3 55 = 165(只) 加上原来的1只球,盒子里共有166只球。 第四讲 简单推理知识链接小亮、小俊、小迪三人分别是四(1)、四(2)和四(3)班的学生,在学校田径运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球的冠军。已知:四(2)班的是跳远冠军;四(1)班的不是垒球冠军,小亮不是跳远冠军;小俊既不是四(2)班的也不是跳高冠军,问:他们三个人分别是哪个班的?获得哪项冠军?同学们,你看了上面的题目,可能会感到告诉你的条件很多,看上去有点错综复杂,这类题目好象没有遇到过。但只要你认真思考,把所给的条件理清头绪,然后再作推理,要回答这类问题也并不难。例题精讲例1 某小学设有舞蹈队、器乐队、合唱队。请你根据下面的条件判断甲、乙、丙三人各参加了什么队?(1) 甲没有参加器乐队;(2) 丙没有参加合唱队;(3) 每人参加两个队;(4) 每个队有甲、乙、丙中的两个人。分析 要考虑三个人参加三个队的情况,每个人不只参加一个队,关系比较复杂,我们可以利用简单的表格来把已知条件反映出来。表中把三个队放在第一行中,甲、乙、丙三人放在第一列里。解: 条件(1)在表中甲所在行与器乐队所在列的交叉点处用“”来表示,这样由条件(3)可知甲参加了舞蹈队和合唱队,则在甲所在行的第一、第三列格中划“”。同样,由(2)在表中丙所在行与合唱队所在的列的交叉点处用“”来表示,那么第四行中的另外两个空白处就可以划“”了,再有条件(4)可知乙没有参加舞蹈队划“”,而参加了另外两个队划“”。这样通过乙知条件逐步完成表格的填写,也就得到了所需的结论。 舞蹈队 器乐队 合唱队 甲 乙 丙 答:甲参加了舞蹈队和合唱队,乙参加了器乐队和合唱队;丙参加了舞蹈队和器乐队。小结:解答推理问题,要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理的进行,要充分利用已经得出的结论,作为进一步推理的依据。例题求解例2 一包巧克力的的重量等于两袋饼干的重量,4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量,一袋饼干的重量等于几袋牛肉干的重量?思路点拨 根据“一包巧克力的的重量 = 两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量 = 一包巧克力的重量”, 可推出:两袋饼干的重量 = 4袋牛肉干的重量。因此,一袋饼干的重量 = 两袋牛肉干的重量例3 根据下面两个算式,求与各代表多少? + + + = 32 - = 20思路点拨 在第一个算式中,4个相加的和是32,所以代表的数是324 = 8,又由第二个算式可求出代表的数是 20 8 = 12。例4 ,代表三个数,并且: + = + + + + = + + + 已知: + + + = 400,求 = ? = ? = ?思路点拨 (1)2个 = 3个,(2)3个 = 4个,可推出:2个 = 4个,即:1个 = 2个;又因为 + + + = 400,可推出:4个 + = 400,即:4个 = 400, = 400 4 = 100; = 300 4 = 75; = 3002 = 150熟能生巧 1、根据下面两个算式,求与各代表多少? - = 8 + + = 2、2只羊可换一头猪,5头猪可换1匹马,2匹马可换几只羊?3、一头象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于3匹小马的重量,1匹小马的重量等于3头小猪的重量,一头象的重量等于几头小猪的重量? 4、根据下面两个算式,求 与 各代表多少? + + + + = 78 + + + + = 725、1只西瓜的重量等于2个菠萝的重量,1个菠萝的重量等于4个苹果的重量,1个苹果的重量等于两个橘子的重量,1只西瓜的重量等于几只橘子的重量?6、甲、乙、丙、丁和李超五位同学一起比赛乒乓球,每两人都要比赛一场。到现在为止,甲已经赛了4场,乙赛了3场,丙赛了2场,丁赛了1场。问李超已经赛了多少场?举一反三1、王叔叔步行往返甲、乙两地需要用32分钟,而骑自行车去再步行回来需20分钟,那么他往返都骑自行车需多少分钟? 2、 5个大球3个小球共重42千克,3个大球5个小球共重38千克,每个小球重多少千克? 3、体育用品专卖店运来300个“奥运吉祥物”,分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果2个纸箱同一个木箱装的一样多,那么每个纸箱装装多少个奥运吉祥物? 4、贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮参加100米赛跑比赛,比赛结束后迎迎说:“我比晶晶跑得快”。欢欢说“妮妮在我前面冲过终点线”。贝贝说:“我的名次排在迎迎前面,欢欢后面。”请根据他们的回答排出名次。智力冲浪 1、喝的饮料多,还是水多有一杯饮料,小健喝了半杯后,将杯中加满水,然后他有喝了半杯,再加满水,最后全部喝完。小健喝的饮料多,还是水多? 2、猜猜看 小刚、小明和小强都是体育爱好者,他们一个喜欢篮球,一个喜欢排球,一个喜欢足球。现在只知道小刚不喜欢篮球,小明既不喜欢篮球,也不喜欢排球。请你猜猜他们分别喜欢什么球? 3、巧栽树某公园要把10棵小树平均栽成5行,每行4棵,请问应该怎么栽? 如图所示,可以画一个五角星,把树栽在五角星的顶点及每条边的交叉点,这样就符合题意。答案:熟能生巧 (1) = 5 , = 3; (2)20; (3)36头; (4) = 12 , = 18; (5)16; (6)2场。举一反三(1) (20 - 32 2)2 = 8 (分钟) (2) 解:8个大球个小球共重42 + 38 = 80千克 ,1个大球和1个小球共重80 8 = 10 (千克),5个大球和5个小球共重50千克,1个小球重(50 -42) 2 = 4(千克)(3) 解:300(2 + 62)2 = 30 (4) 顺序是:妮泥、欢欢、贝贝、迎迎、晶晶智力冲浪 (1) 喝的一样多; (2) 猜猜看:小明喜欢足球,小刚喜欢排球,小强喜欢篮球;(3) 巧栽树:如图所示,可以画一个五角星,把树栽在五角星的顶点及每条边的交叉点,这样就符合题意。 第五讲 加法原理知识链接小冬和小亮是一对好朋友,后来小冬转到另一个城市去上学了。放暑假了,小冬邀请小亮去他那里玩。小冬所在的城市每天有三躺火车、两班轮船、四班汽车去小亮所在的城市。小亮想去玩,请问他有多少种不同的走法?显然小亮共有(3 2 4 =) 9种不同的走法。这是运用“加法原理”的一个典型例子。即在做一件事时,如果有几种不同的方法中,而且每一类方法中,又有几种可能的做法,那么,要求完成这几件事有多少种做法,应当将各类中可能的种数加起来,这就是“加法原理。”例题精讲例1 有1元、2元、5元人民币各一张,可以从中组成多少种币值的人民币?分析 完成这个任务可分三类: (1)用一张,有1元、2元、5元三种; (2)用二张,有12 = 3(元),15 = 6(元),2 5 = 7(元)三种; (3)用三张,有1 2 5 = 8(元)一种解:根据加法原理有: 3 3 1 = 7 (种) 答:可以组成7种不同的币值。例题求解例2: 航航到图书城去买书。他喜欢的书有5种数奥书,3种科幻小说,6种优秀作文集。他带的钱只能买其中的一种,他有多少种不同的选择方法?思路点拨 根据加法原理有:解: 5 3 6 = 14(种)例3:从1 9这九个数字中,每次取两个数字。这两个数字的和必须大于10,能有多少种取法?思路点拨 从1 9中取两个数,且和大于10,根据取的两个数中最大分别为9,8,7,6分类,共有4大类方法。 (1)取的这两个数最大的是9,则有2、9,3、9,4、9,5、9,6、9,7、9,8、9共7种取法; (2)取的这两个数最大的是8,则有3、8,4、8,5、8,6、8,7、8共5种取法; (3)取的这两个数最大的是7,则有4、7,5、7,6、7共3种取法; (4)取的这两个数最大的是6,则有5、6一种取法。 解:根据加法原理有:7 5 3 1 = 16(种)例4: A、B、C、D四位小朋友去公园照相,他们共有多少种不同的照法?思路点拨 要按照参加照相的人数来分类计算,共有4类。 (1)一个人单照,分别是A、B、C、D共4种; (2)两个人合照,分别是A、B,A、C,A、D,B、C,B、D,C、D共6种; (3)三个人合照,分别是A、B、C,A、B、D,A、C、D,B、C、D共4种; (4)四个人合照,A、B、C、D共1种。 解:根据加法原理有:4 6 4 1 = 15(种)例5:一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最多要实验多少次才能配好全部钥匙和锁?思路点拨 第一把钥匙最多试9次; 第二把钥匙最多试8次; 第三把钥匙最多试7次,依次类推:共有: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 45(次)小结:本讲介绍加法原理,运用加法原理需要适当分类,可以有不同的分类标准,但必须注意既不重复,又不遗漏。熟能生巧 1、一个火车站,上站台有电梯2部,自动梯1部,扶梯3部。请问上站台有多少种不同的走法?2、书架上有6种不同的画报和7种不同的科普杂志,每次取一本看,有多少种取法?3、从甲地到乙地,有两条直达铁路和4条直达公路,那么从甲地到乙地有多少种不同的走法?4、从1 8这八个数中,每次取两个数,要使他们的和大于8,有多少种取法?5、甲地到乙地,一天有3班汽车,2班火车,还有1班飞机。这一天从甲地到乙地有多少种不同的走法?6、10名围棋手举行单循环赛(每两名选手都要比赛一次),共要安排多少盘比赛?举一反三 1、一列火车从长沙到北京,中途要经过8个站,这列火车要为旅客准备多少种不同的车票?2、一架天平有分别重5克、10克、15克、20克的四个砝码,用他们最多能称出多少种不同的重量?3、一个书架分上、中、下三层,上层有7种故事书,中层有6种科技书,下层有8种文艺书。兰兰想拿一本书看,他一共有多少种不同的拿法?(21种)4、华华有一张5角、四张2角、八张1角币。现在要拿出8角钱,有几种不同的拿法? 智力冲浪 1、要赛多少场?20名同学进行乒乓球比赛,规则是输的人不能再上场比赛(即淘汰赛)。请问决出冠军,要赛多少场? 2、一共握了多少次手?新年到了,有8位朋友相见,他们高兴地握手问好,每两个人都握手一次。请问:他们一共握了多少次手? 3、有多少种不同的走法?小敏从A点出发沿线段走,最后回到A点,如果每条线段不许重复走,那么共有多少种不同的走法?(6种) A答案:熟能生巧 (1)6种 (2)13种; (3)6条;(4)分析:为了既不重复,又不遗漏地统计出结果,应该按一定的顺序分类列举,可以按“几8,几7,几6,几5”的顺序来思考。18,28,38,48,58,68,78 共7种;27,37,47,57,67 共5种;36,46,56共3 共3种;45 共1种。答:根据加法原理有:7 5 3 1 = 16(种)(5)8种; (6)45盘。举一反三 (1)中途有8个站,连同起点和终点共有10个站,因此要为旅客准备不同的车票共需:9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 45(种)(2)提示:四个砝码共有4种不同的组合方式。第一类:1个砝码共4种;第二类2个砝码共6种;第三类3个砝码共4种;第4类4个砝码共1种。根据加法原理,最多可称出的重量有:4641 = 15(种)(3)21种; (4)分析:(4张2角;每种1张;3张2角和2张1角;2张2角和4张1角;1张2角和6张1角;8张1角;1张5角和3张1角)共7种智力冲浪 (1)19场; (2)28次; (3)6种 第六讲 乘法原理知识链接在日常生活中,我们经常会遇到类似这样的问题:从学校到书店有3条不同的道路可走,从书店到少年宫有2条不同的路可走,那么,从学校经过书店到少年宫有多少种不同的走法呢?事实上,如果做一件事,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法。要知道完成这件事一共用多少种方法,应当用乘法原理来解决。乘法原理:如果需要分成n个步骤,做第一步有a(1)种不同的方法,做第二步有a(2)种不同的方法,做第n步有a(n)种不同的方法,那么完成这件事共有:N = a(1)a(2) a(3) a(n)种不同的方法。例题精讲例1 从长沙到株洲有2条路可走,从株洲到广州有3条路可走。李叔叔从长沙经过株洲到广州去,有几种不同的走法?分析:为了帮助理解,先画一个线路示意图。并用、表示其中的5条路。 长沙 株洲 广州 我们把李叔叔的各种走法一一列举如下:第一种走法:长沙 株洲 广州第二种走法:长沙 株洲 广州第一种走法:长沙 株洲 广州第一种走法:长沙 株洲 广州第一种走法:长沙 株洲 广州第一种走法:长沙 株洲 广州根据以上列举可以发现,从长沙经过到株洲再到广州有3种方法,从长沙经过到株洲再到广州也有3种方法,共有两个3种方法,即 3 2 = 6(种)答:共有6种方法。例题求解例2:欣欣有3件上衣,4条裤子,3双鞋子。她从中任挑一件(或一双)穿,共有多少种不同的穿法?思路点拨 由乘法原理可得:3 4 3 = 36(种)例3: 用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号?思路点拨 要使信号不同,就要求每一种信号颜色的顺序不同,我们把这些不同的信号一一列举如下:红、黄、蓝; 黄、红、蓝; 蓝、红、黄;红、蓝、黄; 黄、蓝、红; 蓝、黄、红;从上面的排列中可以发现,红色信号灯排在第一位置时,有两种不同的信号;黄色信号灯排在第一位置时,也有两种不同的信号;蓝色信号灯排在第一位置时,也有两种不同的信号。因此,共有:2 3 = 6种不同的排法。例4: 有三张数字卡片,分别是4、7、0。从中挑出两张排成一个两位数,一共可以排成多少个两位数?思路点拨 排数时要注意“0”不能排在最高位,下面我们进行分类考虑。 (1)十位上排4,个位上有两种数字可选,这样的数共有两个:40、47; (2)十位上排7,个位上有两种数字可选,这样的数也有两个:70、74。 从以上列举容易发现,一共可以排成22 = 4(个)两位数。例5: 在一次足球比赛中,4个队进行循环赛,需要比赛多少场?(两个队之间比赛一次称为1场)思路点拨 4个队进行循环赛,也就是说4个队每两个队都要赛一场,设4个队分别为A、B、C、D,我们可以进行分类考虑,列举4个队进行循环赛的情况。A队和其他 3个队各比赛一次,要赛3场;B队和C、D两个队还要各比赛1次,要赛2场;C队还要和D队比赛1次,要赛1场。这样,一共要赛 3 2 1 = 6(场)想一想,根据乘法原理也可以这样思考:3 2 = 6(场)小结:乘法原理和加法原理,结论并不难理解,重要的是分清乘法原理和加法原理的应用范围,不要混淆。凡是完成一件事的方法可能分成几类的,应当用加法原理;凡是完成一件事情,可以分成几步的,应当用乘法原理。例6:用5种不同的颜色给下面涂色,使相邻的长方形颜色不同,有多少种不同的涂色方法? A D C B思路点拨 可分4步完成:即A可选5种,B可选4种,C可选3种,D可选3种(他可选与B相同的颜色)因此,根据乘法原理:5433 = 120(种)熟能生巧 1、从甲地到乙地,有两条直达铁路,从乙地到丙地,有4条直达公路,那么,从甲地到丙地有多少不同的走法? 2、甲、乙、丙三个同学排成一排照相,有几种不同的排法?3、用2、4、0这三个数字,可以组成多少个不同的两位数?4、用3、6、9、0这四个数字,可以组成多少个不同的三位数?5、用5、6、7、8四个数字可以组成多少个不同的四位数? 6、在一次乒乓球比赛中,参加比赛的队进行循环赛,一共赛了10场,请问有多少个队参加比赛?举一反三 1、老师拿来6种不同的画报,4种不同的儿童文学。斌斌从两种书中各借一本书,有多少钟不同的借法? 2、美术课上写美术字,用红、黄、蓝、绿、紫5种颜色写“讲文明”三个字(颜色也可以相同),最多能写出多少种不同的“讲文明”? 3、有5、2、6三个数字,最多可以组成多少个没有重复数字的三位数?其中最小的是几? 4、有2、3、6三个数字,一共可以组成多少个三位数?多少个没有重复的三位数? 智力冲浪一、选队长学校舞蹈队有三年级的3名同学,四年级的4名同学,五年级的5名同学组成。(1)从三个年级的同学中可任选一人舞蹈队队长,共有多少种不同的选法?(2)从每个年级中各选1人组成校代表队,共有多少种不同的选法?二、要准备多少种不同的车票?运行于长沙、上海之间的某快车,中途要停靠六个站。要为这趟快车准备多少种不同的车票?三、互赠照片 六(1)班学生毕业时,20名同学互相赠送各自的照片一张留作纪念,请你统计一下全班共要赠送多少张照片?答案:熟能生巧 (1)8种; (2)6种; (3)4个 ; (4)18种; (5)24个; (6)5个队举一反三(1)24种; (2)555= 125种; (3)321 = 6种,最小:256;(4)333=27个,321= 6个。智力冲浪一、(1)345 =12(种)加法原理; (2)345 = 60(种)乘法原理;二、分析:不同的起点或不同的终点,应当用不同的票。解:先确定起点,有8个站(即8种方法),再确定终点,有81 = 7个站(7种方法)根据乘法原理,应当有87 = 56 (种)票。三、因为每个同学都要赠送19张照片,所以共要赠送1920=380(张)第七讲 乘除法算式谜知识链接“算式谜”一般是指那些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题,可以根据已经学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运算符号。由于这类题目的解答过程类似于我们平时进行的猜谜语游戏,所以,我们把这类题目称未“算式谜题”。解答算式谜问题时,是先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等,算式谜解出后,要验算一遍。例题精讲例1 在下面的方框中填上合适的数字。 7 6 1 8 3 1 0分析:1、 由积的末尾是0,可以推出乘数的个位是5,56=30。2、 结合第一个乘数与5相乘所得的积是18,可推出第一个乘数的百位是3,即第一个乘数是376。3、 根据1880和积310,可以估计得出第一个乘数和第二个乘数十位上的数相乘的积是3,所以可推出第二个乘数的十位数是8。4、 这样题中别的方框也就很容易填了。解:完整的竖式是: 3 7 6 8 5 1 8 8 0 3 0 0 8- 配套讲稿:
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