2011年高考数学一轮复习(共87节)10.7平面与平面垂直.doc
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10.7平面与平面垂直【知识网络】 1、平面与平面垂直的性质;2、平面与平面垂直的判定; 3、两平面垂直性质与判定的应用。【典型例题】例1:(1)二面角EF是直二面角,CEF,AC ,BC,ACF=30,ACB=60,则cosBCF等于 ( )AB CD 答案:D。解析:由,得。(2)M,N,P表示三个不同的平面,则下列命题中,正确的是 ( )A若MP,NP,则MNB若MN,NP=,则MPC若M、N、P两两相交,则有三条交线D若NP=a,PM=b,MN,则ab答案B。解析:NP=,则N/P,显然MP。(3)、表示平面,l表示既不在内也不在内的直线,存在以下三个事实l; l;.若以其中两个为条件,另一个为结论,构成命题,其中正确命题的个数为( )A0个B1个C2个D3个答案:C提示:由、是正确命题,由不能得到; (4)直二面角的棱上有一点A,在平面、内各有一条射线AB,AC与成450,AB,则BAC= 。答案:600或1200 。解析:分B、C在A点的同侧和异侧两种情况。(5)设是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题:若则;若,则;若,则或;若则。其中正确的命题是_ _;答案:。解析:中a可以平行于,也可以和斜交。例2:已知四棱锥PABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点. (1)证明平面PED平面PAB; (2)求二面角PABF的平面角的余弦值。答案:. (1)证明:连接BD.为等边三角形.是AB中点, 面ABCD,AB面ABCD,面PED,PD面PED,面PED. 面PAB,面PAB. (2)解:平面PED,PE面PED,连接EF,PED,为二面角PABF的平面角. 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=.在即二面角PABF的平面角的余弦值为 例3:已知BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E、F分别是AC、AD上的动点,且()求证:不论为何值,总有平面BEF平面ABC;()当为何值时,平面BEF平面ACD? 答案:证明:()AB平面BCD, ABCD,CDBC且ABBC=B, CD平面ABC. 又不论为何值,恒有EFCD,EF平面ABC,EF平面BEF,不论为何值恒有平面BEF平面ABC. ()由()知,BEEF,又平面BEF平面ACD,BE平面ACD,BEAC. BC=CD=1,BCD=90,ADB=60, 由AB2=AEAC 得 故当时,平面BEF平面ACD. 例4:如图:在直角三角形ABC中,已知AB=a,ACB=30o,B=90o,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F,将ABD沿BD折起,二面角A-BD-C的大小记为。EAFDCB求证:平面AEF平面BCD; 为何值时ABCD; 在的条件下,求点C到平面ABD的距离。答案:由 BAC为Rt, C= AB= D为AC中点,ADBDDC ABD为正三角形 又E为BD中点BDAE,BDEF 又由AEEFE,且AE、EF平面AEFBD平面AEF 面AEF平面BCDEA“FCD(2) BDAE, BDEF得AEF为二面角A-BD-C的平面角的大小即AEF 延长FE到G,使AGGF于G,连结BG并延长交CD于H,若ABCD则BHCD 在RtBHD中, BHD= 又GEBD,E为BD中点,BDABa 由得 在直角三角形AEG中 (3)用等积法易得所求距离为: 【课内练习】1直线AB与直二面角的两个面分别交于A、B两点,且A、B都不在棱上,设直线AB与、所成的角分别为、,则+的取值范围是 ( )A、 B、 C、 D、答案:B。解析:在RtA1BB1中,A1BBB1,即,即,。2如图所示,四边形ABCD中,AD/BC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是 ( )A、平面ABD平面ABCB、平面ADC平面BDCC、平面ABC平面BDCD、平面ADC平面ABC答案D解析:由题中知,在四边形ABCD中,CDBD,在三棱锥ABCD中,平面ABD平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD平面ABD,因此有ABCD,又因为ABAD,所以,AB平面ADC,于是得到平面ADC平面ABC。3.已知三个平面两两互相垂直并且交于一点,点到这三个平面的距离分别为、,则点与点之间的距离是( )A B C D 答案:A 解析:以距离、为三边构成长方体, 。4在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD答案:。解析:,当BMPC时有DMPC。5夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为_.答案:a解析:如下图,平面,=l,A,B,AB=2a.ACl于点C,BDl于点D,则CD即为所求. ,ACl,AC, ABC就是AB与平面所成的角.故ABC=30,故AC=a.同理,在RtADB中求得AD=a. 在RtACD,CD=a.6. 已知m、l是直线,、是平面,给出下列命题:若l垂直于内两条相交直线,则l;若l平行于,则l平行于内所有的直线;若m,l且lm,则;若l且l,则;若m,l且,则lm.其中正确命题的序号是_.答案:。解析:中和内的直线还有异面的可能,中与的位置不确定,中与M的位置关系还有异面的可能。7 如下图,在三棱锥SABC中,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.(1)求证:ABBC; (2)若设二面角SBCA为45,SA=BC,求二面角ASCB的大小.答案:(1)证明:作AHSB于H, 平面SAB平面SBC,AH平面SBC.又SA平面ABC,SABC.BCSB.又SASB=S,BC平面SAB.BCAB.(2)解:SA平面ABC,平面SAB平面ABC.又平面SAB平面SBC,SBA为二面角SBCA的平面角.SBA=45.设SA=AB=BC=a.作AESC于E,连结EH,则EHSC,AEH为二面角ASCB的平面角,AH=a,AC=a,SC=a,AE=a,sinAEH=,二面角ASCB为60.8如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD于A,PC平面AEFG,且分别交PB、PC、PD于E、F、G,(1)求证:面PAB面PAD; (2)求证:A、E、F、G四点共圆。答案: (1)ADAB,ADPA,且PAAB=A,AD面PAB, 又AD面PAD,面PAB面PAD, (2)易知CD面PAD, AGCD,又已知PC面AEFG,AGPC,且CD PC=C ,AG面PCD,又FG 面PCD,AGFG,即AGF=900,同理AEF=900,四边形AEFG对角线互补,四边形AEFG内接于圆,即A、E、F、G四点共圆。9 如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA平面ABC.(1)求证:平面PAC平面PBC;(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面. 答案:(1)证明:C是AB为直径的圆O的圆周上一点,BCAC.又PA平面ABC,BC平面ABC,BCPA,从而BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC.(2)解:平面PAC平面ABCD;平面PAC平面PBC;平面PAD平面PBD;平面PAB平面ABCD;平面PAD平面ABCD.10 如下图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PA平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角PCDB为45.(1)求证:AF平面PEC;(2)求证:平面PEC平面PCD;(3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离. 答案:(1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG . F是PD的中点,FGCD且FG=CD.而AECD且AE=CD,EAGF且EA=GF,故四边形EGFA是平行四边形,从而EGAF.又AF平面PEC,EG平面PEC,AF平面PEC.(2)证明:PA平面ABCD,又CDAD,CDPD,PDA就是二面角PCDB的平面角.ADP=45,则AFPD.又AFCD,PDCD=D,AF平面PCD.由(1),EGAF,EG平面PCD,而EG平面PEC,平面PEC平面PCD.(3)解:过F作FHPC交PC于点H,又平面PEC平面PCD,则FH平面PEC,FH为点F到平面PEC的距离,而AF平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离.在PFH与PCD中,FHP=CDP=90,FPC为公共角,PFHPCD,=.AD=2,CD=2,PF=,PC=4,FH=2=1.点A到平面PEC的距离【作业本】A组1已知是直线,是平面,给出下列命题:,则;则/;,则;,则,其中正确的命题序号是 ( )A、 B、 C、 D、答案:A。解析:中,的位置不确定,中b可能在内。2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,则图中所有互相垂直的平面共有 ( )A8对 B.7对 C.6对 D.5对答案:B解析:面PAB面ABCD,面PAD面ABCD面PAB面PAD,面PAB面PBC,面PAD面PDC,面PAC面ABCD,面PAC面PBD。3已知斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分别为30,70,则第三个二面角为 ( )A、30 B、70 C、80 D、90答案:C。解析:作直截面,由三角形内角和为180知第三个二面角为80。4.已知直线平面,直线平面,给出下列四个命题:;。其中正确的命题是_ _;答案:。解析:中与m的位置不确定,显然错误。5在正三棱锥PABC中,E、F分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AEF侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 。答案:。解析:侧棱与底面上的中线相等。6如下图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB=60,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;(3)求二面角ABCP的大小;(4)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.答案:(1)证明:在菱形ABCD中,DAB=60,G为AD边的中点,BGAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BG平面PAD.(2)证明:连结PG,则PGAD,由(1)得BGAD,又PGBG=G,BG平面PBG,PG平面PBG,AD平面PBG,PB平面PBG.ADPB.(3)解:由(2)AD平面PBG,而BCAD,BC平面PBG.而PB平面PBG,BG平面PBG,BCPB,BCBG.PBG就是二面角ABCP的平面角.在PAD中,PG=a,在PGB中,PBG=45,即二面角ABCP为45.(4)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连结DE、EF、DF,则由平面几何知识,在PBC中,EFPB,在菱形ABCD中,GBDE,而EF平面DEF,ED平面DEF,EFDE=E,平面DEF平面PGB.又PG平面ABCD,而PG平面PGB,平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.7已知平面平面=a,平面平面,平面平面。b/a,b/。求证:a;b。答案:(1)如图,在内过一点P作m垂直于的交线,则。过P作n垂直的交线,则 , 。(2)过b作平面S交平面于,则,同理可在作 。 。 。8. 如下图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形,PA底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB.(1)求证:平面PCE平面PCD;(2)求点D到平面PCE的距离.答案:(1)证明:取PD的中点F,则AFPD.CD平面PAD,AFCD. AF平面PCD.取PC的中点G,连结EG、FG,可证AFGE为平行四边形.AFEG.EG平面PCD.EG在平面PCE内,平面PCE平面PCD.(2)解:在平面PCD内,过点D作DHPC于点H.平面PCE平面PCD,DH平面PCE,即DH为点D到平面PCE的距离.在RtPAD中,PA=AD=a,PD=a.在RtPCD中,PD=a,CD=a,PC=a,DH=a.B组1.在三棱锥ABCD中,若ADBC,BDAD,BCD是锐角三角形,那么必有( )A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCD D.平面ABC平面BCD答案:C。解析:AD面BCD,面ADC面BCD。2P为ABC所在平面外的一点,则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是 ( )A.PA=PB=PC B.PABC,PBACC.点P到ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等答案:B解析:条件A为外心的充分必要条件,条件C、D为内心或旁心的必要条件.3m、n表示直线,、表示平面,给出下列四个命题,其中正确命题为: =m,n,nm,则; ,=m,=n,则mn;,=m,则m ; m,n,mn,则A. B. C. D.答案:C解析:4 三个平面两两垂直,则它们的交线 ;答案:两两互相垂直。解析:以长方体为模型。5直线平面,平面平面,则直线与平面的位置关系是 ;答案: ,或 。解析:m在平面外,则m/,m在平面内,则。6如下图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点,EFBD=G.(1)求证:平面B1EF平面BDD1B;(2)求点D1到平面B1EF的距离d;(3)求三棱锥B1EFD1的体积V.答案:(1)证法一:如下图,连结AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,ACBD.又ACD1D,故AC平面BDD1B1.E、F分别为AB、BC的中点,故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.证法二:BE=BF,EBD=FBD=45,EFBD.又EFD1D,EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.(2)解:在对角面BDD1B1中,作D1HB1G,垂足为H.平面B1EF平面BDD1B1,且平面B1EF平面BDD1B1=B1G,D1H平面B1EF,且垂足为H.点D1到平面B1EF的距离d=D1H.在RtD1HB1中,D1H=D1B1sinD1B1H.D1B1=A1B1=2=4,sinD1B1H=sinB1GB=,d=D1H=4=.(3)解:V=V=V=dS=2=.7.在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为的正方形,侧棱长为,E、F分别是AB1、CB1的中点,求证:平面D1EF平面AB1C.答案:连AC,BD交于O,连B1O交EF于O1,易证B1O1EF,又EFAC,而ACB1D1,即EFB1D1,EF面D1B1O1,EFD1O1,又在D1B1O1中,可证D1O1B1=90,D1O1面AB1C,面D1EF面AB1C。8 已知正三棱柱ABCA1B1C1,若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.(1)确定D的位置,并证明你的结论;(2)证明:平面AB1D平面AA1D;(3)若ABAA1=,求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.答案:(1)解:如下图,将正三棱柱ABCA1B1C1补成一直平行六面体ABCEA1B1C1E1,由AE1BC1,AE1平面AB1E1,知BC1平面AB1E1,故平面AB1E1应为所求平面,此时平面AB1E1交A1C1于点D,由平行四边形对角线互相平行性质知,D为A1C1的中点.(2)证明:连结AD,从直平行六面体定义知AA1底面A1B1C1D1,且从A1B1C1E1是菱形知,B1E1A1C1,易证B1E1AD.又ADA1C1=D,所以B1E1平面AA1D,又B1E1平面AB1D,所以平面AB1D平面AA1D.(3)解:因为平面AB1D平面AA1D=AD,所以过A1作A1HAD于点H.作HFAB1于点F,连结A1F,易证A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1,侧棱AB=.于是AB1= .在RtAB1A1中,A1F=,在RtAA1D中,AA1=1,A1D=A1C1=,AD= .则A1H=.在RtA1FH中,sinA1FH=,所以A1FH=45.因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45或135.- 配套讲稿:
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- 2011 年高 数学 一轮 复习 87 10.7 平面 垂直
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