高考数学中解排列组合问题的17种策略.ppt
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解排列组合问题的常用策略 王振涛 1 基本概念和考点 2 合理分类和准确分步 3 特殊元素和特殊位置问题 4 相邻相间问题 5 定序问题 6 分房问题 7 环排 多排问题 12 小集团问题 10 先选后排问题 9 平均分组问题 11 构造模型策略 8 实验法 枚举法 13 其它特殊方法 排列组合应用题解法综述 目录 基本原理 组合 排列 排列数公式 组合数公式 组合数性质 应用问题 知识结构网络图 返回目录 两个原理的区别与联系 做一件事或完成一项工作的方法数 直接 分类 完成 间接 分步骤 完成 做一件事 完成它可以有n类办法 第一类办法中有m1种不同的方法 第二类办法中有m2种不同的方法 第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 做一件事 完成它可以有n个步骤 做第一步中有m1种不同的方法 做第二步中有m2种不同的方法 做第n步中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 回目录 1 排列和组合的区别和联系 从n个不同元素中取出m个元素 按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元素 把它并成一组 所有排列的的个数 所有组合的个数 回目录 判断下列问题是组合问题还是排列问题 1 设集合A a b c d e 则集合A的含有3个元素的子集有多少个 2 某铁路线上有5个车站 则这条铁路线上共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价 组合问题 排列问题 3 10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 共有多少种分法 组合问题 4 10人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候 共需握手多少次 组合问题 5 从4个风景点中选出2个安排游览 有多少种不同的方法 组合问题 6 从4个风景点中选出2个 并确定这2个风景点的游览顺序 有多少种不同的方法 排列问题 组合问题 回目录 合理分类和准确分步 解排列 或 组合问题 应按元素的性质进行分类 分类标准明确 不重不漏 按事情的发生的连续过程分步 做到分步层次清楚 回目录 合理分类与分步策略 例 在一次演唱会上共10名演员 其中8人能唱歌 5人会跳舞 现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目 有多少选派方法 解 10演员中有5人只会唱歌 2人只会跳舞3人为全能演员 回目录 元素相同问题隔板策略 应用背景 相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题 隔板法的使用特征 相同的元素分成若干部分 每部分至少一个 元素相同问题隔板策略 例 有10个运动员名额 在分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 回目录 例高二年级8个班 组织一个12个人的年级学生分会 每班要求至少1人 名额分配方案有多少种 解此题可以转化为 将12个相同的白球分成8份 有多少种不同的分法问题 因此须把这12个白球排成一排 在11个空档中放上7个相同的隔板 每个空档最多放一个 即可将白球分成8份 显然有种不同的放法 所以名额分配方案有种 结论转化法 对于某些较复杂的 或较抽象的排列组合问题 可以利用转化思想 将其化归为简单的 具体的问题来求解 分析此题若直接去考虑的话 就会比较复杂 但如果我们将其转换为等价的其他问题 就会显得比较清楚 方法简单 结果容易理解 回目录 练习 1 将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级 每班至少分到一个名额 不同的分配方案共有 种 2 不定方程的正整数解共有 组 回目录 练习题 10个相同的球装5个盒中 每盒至少一有多少装法 2 x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 回目录 小结 把n个相同元素分成m份每份 至少1个元素 问有多少种不同分法的问题可以采用 隔板法 得出共有种 回目录 平均分组问题除法策略 分书问题 平均分组问题除法策略 例12 6本不同的书平均分成3堆 每堆2本共有多少分法 解 分三步取书得种方法 但这里出现重复计数的现象 不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB 第二步取CD 第三步取EF该分法记为 AB CD EF 则中还有 AB EF CD CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共有种取法 而这些分法仅是 AB CD EF 一种分法 故共有种分法 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 n为均分的组数 避免重复计数 回目录 1将13个球队分成3组 一组5个队 其它两组4个队 有多少分法 2 10名学生分成3组 其中一组4人 另两组3人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方法 1540 3 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数为 回目录 分清排列 组合 等分的算法区别 例 1 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲一件 乙二件和丙三件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给三人 其中1人一件1人二件1人三件 有多少种分法 3 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 每份2件 有多少种分法 解 1 2 3 回目录 练习 1 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 二份各1件 另一份4件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲乙丙三人 每人二件有多少种分法 解 1 2 回目录 小结 排列与组合的区别在于元素是否有序 m等分的组合问题是非等分情况的 而元素相同时又要另行考虑 回目录 构造模型策略 例 马路上有编号为1 2 3 4 5 6 7 8 9的九只路灯 现要关掉其中的3盏 但不能关掉相邻的2盏或3盏 也不能关掉两端的2盏 求满足条件的关灯方法有多少种 解 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 如占位填空模型 排队模型 装盒模型等 可使问题直观解决 回目录 练习题 某排共有10个座位 若4人就坐 每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种 120 回目录 先选后排问题 八 排列组合混合问题先选后排策略 例 有5个不同的小球 装入4个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法 再把5个元素 包含一个复合元素 装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题 先选后排是最基本的指导思想 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 回目录 练习题 一个班有6名战士 其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务 每人完成一种任务 且正副班长有且只有1人参加 则不同的选法有 种 192 回目录 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检 每校分配1名医生和2名护士 不同的分配方法共有多少种 先选后排问题的处理方法 解法一 先组队后分校 先分堆后分配 回目录 解法二 依次确定到第一 第二 第三所学校去的医生和护士 回目录 为支援西部开发 有3名教师去银川市三所学校任教 每校分配1人 不同的分配方法共有 种 用数字作答 练习 改为4名教师 改为5名教师 回目录 有甲 乙 丙三项任务 甲需2人承担 乙 丙各需1人承担 从10人中选派4人承担这三项任务 不同的选法共有多少种 回目录 四名同学分配到三个办公室去搞卫生 每个办公室至少去一名学生 不同的分配方法有多少种 回目录 基础训练 回目录 练习某学习小组有5个男生3个女生 从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动 每项活动至少有1人参加 则有不同参赛方法 种 解 采用先组后排方法 回目录 小结 本题涉及一类重要问题 问题中既有元素的限制 又有排列的问题 一般是先元素 即组合 后排列 回目录 实验法 穷举法 枚举法 应用举例 实验法 穷举法 题中附加条件增多 直接解决困难时 用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法 例将数字1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格内 每个方格填1个 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 A 6B 9C 11D 23 分析 此题考查排列的定义 由于附加条件较多 解法较为困难 可用实验法逐步解决 第一方格内可填2或3或4 如填2 则第二方格中内可填1或3或4 若第二方格内填1 则第三方格只能填4 第四方格应填3 若第二方格内填3 则第三方格只能填4 第四方格应填1 同理 若第二方格内填4 则第三方格只能填1 第四方格应填3 因而 第一格填2有3种方法 不难得到 当第一格填3或4时也各有3种 所以共有9种 回目录 实际操作穷举策略 例 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 回目录 实际操作穷举策略 例 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 同理3号球装5号盒时 4 5号球有也只有1种装法 由分步计数原理有2种 回目录 练习 不对号入座问题 1 2004湖北 将标号为1 2 3 10的10个球放入标号为1 2 3 10的10个盒子中 每个盒内放一个球 恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有 种 2 编号为1 2 3 4 5的五个球放入编号为1 2 3 4 5的五个盒子里 至多有2个对号入座的情形有 种 109 直接法 间接法 回目录 注意区别 恰好 与 至少 从6双不同颜色的手套中任取4只 其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有 A 480种 B 240种 C 180种 D 120种 小结 恰好有一个 是 只有一个 的意思 至少有一个 则是 有一个或一个以上 可用分类讨论法求解 它也是 没有一个 的反面 故可用 排除法 解 回目录 练习从6双不同颜色的手套中任取4只 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 种 解 回目录 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用公式进行运算 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 练习题 同一寝室4人 每人写一张贺年卡集中起来 然后每人各拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 9 2 给图中区域涂色 要求相邻区域不同色 现有4种可选颜色 则不同的着色方法有 种 72 回目录 其它特殊方法 分解与合成策略 例 30030能被多少个不同的偶数整除 分析 先把30030分解成质因数的乘积形式30030 2 3 5 7 11 13依题意可知偶因数必先取2 再从其余5个因数中任取若干个组成乘积 所有的偶因数为 例17 正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 回目录 解 我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共 3 3 58 174 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 然后依据问题分解后的结构 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 从而得到问题的答案 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 回目录 化归策略 例 25人排成5 5方队 现从中选3人 要求3人不在同一行也不在同一列 不同的选法有多少种 解 将这个问题退化成9人排成3 3方队 现从中选3人 要求3人不在同一行也不在同一列 有多少选法 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后 把这人所在的行列都划掉 回目录 从5 5方队中选取3行3列有 选法所以从5 5方队选不在同一行也不在同一列的3人有 选法 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法 从而进下一步解决原来的问题 如此继续下去 从3 3方队中选3人的方法有 种 再从5 5方队选出3 3方队便可解决问题 回目录 对应法 例11 在100名选手之间进行单循环淘汰赛 即一场比赛失败要退出比赛 最后产生一名冠军 问要举行几场 分析 要产生一名冠军 需要淘汰掉冠军以外的所有选手 即要淘汰99名选手 淘汰一名选手需要进行一场比赛 所以淘汰99名选手就需要99场比赛 回目录 某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路 从A走到B的最短路径有多少种 练习题 回目录 特征分析 研究有约束条件的排数问题 须要紧扣题目所提供的数字特征 结构特征 进行推理 分析求解 例由1 2 3 4 5 6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数 分析数字特征 6的倍数既是2的倍数又是3的倍数 其中3的倍数又满足 各个数位上的数字之和是3的倍数 的特征 把6分成4组 3 3 6 1 5 2 4 每组的数字和都是3的倍数 因此可分成两类讨论 第一类 由1 2 4 5 6作数码 首先从2 4 6中任选一个作个位数字有 然后其余四个数在其他数位上全排列有 所以 第二类 由1 2 3 4 5作数码 依上法有 回目录 1 练习 徐州二检 从6人中选4人组成4 100m接力赛 其中甲跑第一棒 乙不跑最后一棒 有多少种选法 分析 一 直接法 二 间接法 2 从正方体的8个顶点中选4个作四面体 则不同的四面体的个数为 练习 58 3 一个三位数 其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字 且个位百位上的数字不重复 如 等 那么这样的三位数有个 回目录 144 240 例袋中有5分硬币23个 1角硬币10个 如果从袋中取出2元钱 有多少种取法 解把所有的硬币全部取出来 将得到0 05 23 0 10 10 2 15元 所以比2元多0 15元 所以剩下0 15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角 所以共有种取法 结论剩余法 在组合问题中 有多少取法 就有多少种剩法 他们是一一对应的 因此 当求取法困难时 可转化为求剩法 分析此题是一个组合问题 若是直接考虑取钱的问题的话 情况比较多 也显得比较凌乱 难以理出头绪来 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话 就会很容易解决问题 回目录 小结本节课 我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固 排列组合历来是学习中的难点 通过我们平时做的练习题 不难发现排列组合题的特点是条件隐晦 不易挖掘 题目多变 解法独特 数字庞大 难以验证 同学们只有对基本的解题策略熟练掌握 根据它们的条件 我们就可以选取不同的技巧来解决问题 对于一些比较复杂的问题 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化 举一反三 触类旁通 进而为后续学习打下坚实的基础- 配套讲稿:
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