线性代数期末考试试题.doc
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线性代数重点题一 单项选择题1.设A为3阶方阵,数l = -3,|A| =2,则 |lA| =( ).A54; B-54; C6; D-6. 解. 所以填: B. 2、设A为n阶方阵,为实数,则|A|=( )A、|A|; B、|A|; C、n|A|; D、|n|A|.解. |A|=n|A|.所以填: C.3.设矩阵 则( ).解. 所以填: D. A. ; B. ; C. ; D. . 4、是3维列向量,矩阵.若|A|=4,则|-2A|=( ).A、-32; B、-4; C、4; D、32.解. |-2A|=(-2)3=-84=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A.一个零向量一定线性无关; B.一个非零向量一定线性相关; C.含有零向量的向量组一定线性相关; D.不含零向量的向量组一定线性无关.解. A.一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B.一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C.含有零向量的向量组一定线性相关;对. D.不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 A、 B、 C、 D、解. (B)93页7.设A,B,C是n阶矩阵,下列选项中不正确的是( ). A.若A可逆,则,其中为A的伴随矩阵; B.若,则; C.若矩阵A可逆,数k 0,则; D.对标准矩阵方程,若A,B可逆,则.解. A.若A可逆,则,其中为A的伴随矩阵;对. B.若,则;对.C.若矩阵A可逆,数k 0,则;不对,应该是D.对标准矩阵方程,若A,B可逆,则.对.所以填: C.8、 矩阵A=的伴随矩阵A*=( ).A、;B、;C、;D、.解.因为.所以故填A.41页 9.若元齐次线性方程组有非零解, 则( ). A. ; B. ; C. ; D.A、B、C都不对.解. A. ;对. B. ;不对, 此时应该有且仅有零解.C. ;不对. 此时, 仅是有非零解的一种情况.D.A、B、C都不对. 不对.所以填:A.10、 ( ). A、 B、C、; D、 解. A、不对. B、40页(iii),.即有.所以填: B.11.设向量组线性相关,线性无关,则下列成立是( ).A. 可由线性表示; B.可由线性表示;C. 不可由线性表示; D.可由线性表示. 解.(p90例7.) 由题设“设向量组线性相关,线性无关”.因线性无关,则线性无关.再由线性相关.则可由线性表示.用反证法.假设可由线性表示,而由知可由线性表示.因此可由线性表示.这与题设线性无关相矛盾.所以不可由线性表示. 所以填: C.12、设是二维实向量,则( ).A、一定线性无关; B、一定可由线性表出;C、一定线性相关;D.一定线性无关.解. A不对. B不对. C.因为105页:n维实向量叫做中的自然基.因此二维实向量的自然基为二维实向量.当然是线性相关的.即C对. D不对. 所以填: C.13.向量空间 的一组基为( )A. ; B. ; C. ; D. .解. A.;不是.因, 所以不是向量空间 的一组基.B. ;是向量空间 的一组基.C. ;不是.因, 所以不是向量空间 的一组基.D. .不是.因, 所以不是向量空间 的一组基.所以填: B.14、设A是46矩阵,R(A)=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( ).A、 4; B、 3 ; C、 2; D、1.解.由97页,定理7.设矩阵的秩,则元齐次线性方程组的解集的秩现在因此 即填: B. 15.设矩阵则必有( ).A.; B.; C.; D.解. A. ?因此A不对.B. ? 因此B不对.C. ?因此C对.D. ? 所以填: C.16、设A,B,C为同阶可逆方阵,则=( ).A、; B、; C、; D、 解。=. 所以填: C.二 填空题1.设A=,则A的秩R(A)= .解。,可见R(A)=3.所以R(A)= 3 . 2、 .解。,其符号为.要它们的列数:2,4,5,1,3。之后再找它的逆序数:0+0+0+3+2=5,最后求(-1)的5次幂得-1。所以 负 .3. . 解。. 所以 1 .4. .解。. .则. 125 .5.设,则 .解。由所以。即 .6. .解。.7.设矩阵=,则是 .转置矩阵:把矩阵的行换成同序数的列得到一个新的矩阵,38页解。所以8. .解。则有 .9.设线性相关,则_ .解。k=0.10. _ .解。.三 判断题 对的打,错的打1.行列式与它的转置行列式不相等. ( )解 不对.应填:.2.矩阵的乘法不满足交换律. ( )解 对.应填:.3、矩阵的乘法满足交换律. ( )解 不对.应填:.4.矩阵有一个2阶非零子式, 则 ( )解 不对.正确应为:。应填:.5.矩阵有一个k阶非零子式, 则 ( )解 不对.正确应为:。应填:6.向量组的最大无关组是惟一的. ( )解 不对.应填:.7.向量组可有多个最大无关组. ( )解 对.应填:.8.行列式的某一列中所有元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式. ( )解。对.应填:.9.若向量组线性相关,则可由线性表示.( ) 解 不对.应填:.四 计算题 1.计算行列式. 解: 2.已知行列式,矩阵.计算行列式. 解:已知,易求得.又由分块矩阵的运算法则 =.3.求齐次线性方程组的基础解系与通解. 解: 即得 即得基础解系为 ,从而通解为 . 4. 求. 解:由,可得. 经计算= ,.则可逆, 则 .于是.5、设,用初等变换法求.解: 所以.6. 求下列方程组的通解. .解:对增广矩阵进行初等行变换, 有 即得 非齐次线性方程组的通解: 五、证明题1、已知向量组线性无关,证明:向量组 线性无关. 证一: .记作. 设, 则. 由线性无关, 故. 又因, 知方程只有零解. 所以线性无关.证二: .记作. 因, 知可逆, 故. 从而.又因线性无关, 故, 从而, 所以线性无关.2. 设 阶矩阵的伴随矩阵为 ,证明: 证明:(1) 因为用反证法证明假设则有.由此得 . 这与矛盾,故当时有 . (2)由于, 则. 取行列式得到: . 若 则. 若由(1)知此时命题也成立. 故有- 配套讲稿:
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