Z变换(数字信号处理).ppt
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3序列的Z变换 3 1Z变换的定义序列x n 的Z变换定义为 3 1 式中z是一个复变量 它所在的复平面称为z平面 注意在定义中 对n求和是在 之间求和 可以称为双边Z变换 还有一种称为单边Z变换的定义 如下式 3 2 使 3 3 式成立 Z变量取值的域称为收敛域 一般收敛域用环状域表示 这种单边Z变换的求和限是从零到无限大 因此对于因果序列 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的 本书中如不另外说明 均用双边Z变换对信号进行分析和变换 3 1 式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛 要求级数绝对可和 即 3 3 图3 1Z变换的收敛域 常用的Z变换是一个有理函数 用两个多项式之比表示分子多项式P z 的根是X z 的零点 分母多项式Q z 的根是X z 的极点 在极点处Z变换不存在 因此收敛域中没有极点 收敛域总是用极点限定其边界 对比序列的傅里叶变换定义 很容易得到FT和ZT之间的关系 用下式表示 3 4 式中z ej 表示在z平面上r 1的圆 该圆称为单位圆 3 4 式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 如果已知序列的Z变换 可用 3 4 式 很方便的求出序列的FT 条件是收敛域中包含单位圆 例3 1x n u n 求其Z变换 解 X z 存在的条件是 z 1 1 z 1 由x z 表达式表明 极点是z 1 单位圆上的Z变换不存在 或者说收敛域不包含单位圆 因此其傅里叶变换不存在 更不能用 3 4 式求FT 该序列的FT不存在 但如果引进奇异函数 其傅里叶变换可以表示出来 见表2 3 2 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在 在一定收敛域内Z变换是存在的 3 2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域 1 有限长序列如序列x n 满足下式 x n n1 n n2x n 0其它 即序列x n 从n1到n2序列值不全为零 此范围之外序列值为零 这样的序列称为有限长序列 其Z变换为 设x n 为有界序列 由于是有限项求和 除0与 两点是否收敛与n1 n2取值情况有关外 整个z平面均收敛 如果n10 则收敛域不包括z 0点 如果是因果序列 收敛域包括z 点 具体有限长序列的收敛域表示如下 n10时 00时 0 z 例3 2求x n RN n 的Z变换及其收敛域解 这是一个因果的有限长序列 因此收敛域为0 z 但由结果的分母可以看出似乎z 1是X z 的极点 但同时分子多项式在z 1时也有一个零点 极零点对消 X z 在单位圆上仍存在 求RN n 的FT 可将z ej 代入X z 得到 其结果和例题2 2 1中的结果 2 3 5 公式是相同的 2 右序列右序列是在n n1时 序列值不全为零 而其它n n1 序列值全为零 ROC 分析 当n1 0时 第一项为有限长序列 设n1 1 其收敛域为0 z 第二项为因果序列 其收敛域为Rx z Rx 是第二项最小的收敛半径 将两收敛域相与 其收敛域为Rx z 如果x n 是因果序列 收敛域定为Rx z 推论 如序列x n 的Z变换的收敛域包含 点 则x n 是因果序列 例3 3求x n anu n 的Z变换及其收敛域解 在收敛域中必须满足 az 1 a 3 左序列左序列是在n n2时 序列值不全为零 而在n n2 序列值全为零的序列 左序列的Z变换表示为 当n2 0当n2 0第二项为有限长序列 在整个Z平面收敛 z 点不收敛 第一项根据前式的论述 当时收敛因此左序列的收敛域是半径为R 的圆内区域 例3 4求x n anu n 1 的Z变换及其收敛域 X z 存在要求 a 1z 1 即收敛域为 z a 4 双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和 其Z变换表示为 X z 的收敛域是X1 z 和X2 z 收敛域的公共收敛区域 如果Rx Rx 其收敛域为Rx z Rx 这是一个环状域 如果Rx Rx 两个收敛域没有公共区域 X z 没有收敛域 因此X z 不存在 例3 5x n a n a为实数 求x n 的Z变换及其收敛域 解 第一部分收敛域为 az a 如果 a 1 两部分的公共收敛域为 a z a 1 其Z变换如下式 a z a 1 如果 a 1 则无公共收敛域 因此X z 不存在 当0 a 1时 x n 的波形及X z 的收敛域如图3 2所示 图3 2例3 5图 3 3Z反变换已知序列的Z变换及其收敛域 求序列称为Z反变换 序列的Z变换及共Z反变换表示如下 3 5 1 用留数定理求Z反变换如果X z zn 1在围线c内的极点用zk表示 根据留数定理 3 6 式中表示被积函数X Z Zn 1在极点Z Zk的留数 Z反变换则是围线c内所有的极点留数之和 如果Zk是单阶极点 则根据留数定理 3 7 如果zk是N阶极点 则根据留数定理 3 8 例3 6已知X z 1 az 1 1 z a 求其Z反变换x n 为了用留数定理求解 先找出F z 的极点 极点有 z a 当n 0时z 0共二个极点 其中z 0极点和n的取值有关 n 0时 z 0不是极点 n 0时 z 0是一个n阶极点 因此分成n 0和n 0两种情况求x n n 0时 n 0时 z 0的 n阶极点 综合以上二步可得 例3 7已知 求其反变换x n 解 该例题没有给定收敛域 为求出唯一的原序列x n 必须先确定收敛域 分析X z 得到其极点分布如图3 5所示 图中有二个极点z a和z a 1 这样收敛域有三种选法 它们是 1 z a 1 对应的x n 是右序列 2 a z z 1 对应的x n 是双边序列 3 z a 对应的x n 是左序列 图3 5例3 7X z 极点分布图 下面按照收敛域的不同求其x n 1 收敛域 z a 1 种收敛域是因果的右序列 无须求n 0时的x n 当n 0时 围线积分c内有二个极点z a和z a 1 因此 最后表示成 x n an a n u n 2 收敛域 z a 这种情况原序列是左序列 无须计算n 0情况 当n 0时 围线积分c内没有极点 因此x n 0 n 0时 c内只有一个极点z 0 且是n阶极点 改求c外极点留数之和 最后将x n 表示成x n a n an u n 1 3 收敛域 a z a 1 这种情况对应的x n 是双边序列 根据被积函数F z 按n 0和n 0两情况分别求x n n 0时 c内极点z ax n Res F z a an n 0时 c内极点有二个 其中z 0是n阶极点 改求c外极点留数 c外极点只有z a 1 因此x n Res F z a 1 a n最后将x n 表示为ann 0 x n x n a n a nn 0 2 幂级数法 长除法 按照Z变换定义 3 1 式 可以用长除法将X z 写成幂级数形式 级数的系数就是序列x n 要说明的是 如果x n 是右序列 级数应是负幂级数 如x n 是左序列 级数则是正幂级数 例3 8已知用长除法求其Z反变换x n 解由收敛域判定这是一个右序列 用长除法将其展成负幂级数 1 az 1 例3 9已知求其Z反变换x n 解 由收敛域判定 x n 是左序列 用长除法将X z 展成正幂级数 3 部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列 常常用这种部分分式展开法求Z反变换 设x n 的Z变换X z 是有理函数 分母多项式是N阶 分子多项式是M阶 将X z 展成一些简单的常用的部分分式之和 通过查表 参考表3 1 求得各部分的反变换 再相加即得到原序列x n 设X z 只有N个一阶极点 可展开为 观察上式 X z z在z 0的极点留数就是系数A0 在z zm的极点留数就是系数Am 3 11 3 12 3 13 3 14 求出Am系数 m 0 1 2 N 后 很容易示求得x n 序列 例3 10已知 求Z反变换 解 因为收敛域为22 第二部分极点z 3 收敛域应取 z 3 查表3 1得到x n 2nu n 3 nu n 1 一些常见的序列的Z变换可参考表3 1 表3 1常见序列Z变换 3 4Z变换的性质和定理Z变换有许多重要的性质和定理 下面进行介绍 1 线性设X z ZT x n Rx z Rx Y z ZT y n Ry z Ry 则M z ZT m n aX z bY z Rm z Rm 3 15 Rm max Rx Ry Rm max Rx Ry 这里M z 的收敛域 Rm Rm 是X z 和Y z 的公式收敛域 如果没有公共收敛域 例如当Rx Rx Ry Ry 时 则M z 不存在 2 序列的移位设X z ZT x n Rx z Rx 则ZT x n n0 z n0X z Rx z Rx 3 16 3 乘以指数序列设X z ZT x n Rx z Rx y n anx n a为常数则Y z ZT anx n X a 1z a Rx z a Rx 3 17 证明 因为Rx a 1z Rx 得到 a Rx z a Rx 4 序列乘以n设 则 3 18 证明 5 复序列的共轭设 则 证明 3 19 6 初值定理设x n 是因果序列 X z ZT x n 3 20 证明 因此 7 终值定理若x n 是因果序列 其Z变换的极点 除可以有一个一阶极点在z 1上 其它极点均在单位圆内 则 3 21 证明 因为x n 是因果序列 因为 z 1 X z 在单位圆上无极点 上式两端对z 1取极限 终值定理也可用X z 在z 1点的留数 因为 3 22 因此如果单位圆上 X z 无极点 则x 0 8 序列卷积设 则 证明 W z 的收敛域就是X z 和Y z 的公共收敛域 例3 11已知网络的单位取样响应h n anu n a 1 网络输入序列x n u n 求网络的输出序列y n 解 y n h n x n 求y n 可用二种方法 一种直接求解线性卷积 另一种是用Z变换法 由收敛域判定y n 0 n 0 n 0y n Res Y z zn 1 1 Res Y z zn 1 a 将y n 表示为 9 复卷积定理如果ZT x n X z Rx z Rx ZT y n Y z Ry z Ry w n x n y n 则 W z 的收敛域 3 24 式中v平面上 被积函数的收敛域为 3 24 3 25 3 26 证明 由X z 收敛域和Y z 的收敛域 得到 例3 12已知x n u n y n a n 若w n x n y n 求W z ZT w n 解 因此 W z 收敛域为 a z 被积函数v平面上收敛域为max a 0 v min a 1 z v平面上极点 a a 1和z c内极点z a 10 帕斯维尔 Parseval 定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理 那么 v平面上 c所在的收敛域为 证明令w n x n y n 按照 3 24 式 得到 按照 3 25 式 Rx Ry z Rx Ry 按照假设 z 1在收敛域中 令z 1代入W z 中 如果x n 和y n 都满足绝对可和 即单位圆上收敛 在上式中令v ej 得到 3 29 令x n y n 得到 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理 2 2 34 式是相同的 3 28 式还可以表示成下式 3 5利用Z变换分析信号和系统的频域特性 3 5 1频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零 系统对单位脉冲序列 n 的响应 称为系统的单位脉冲响应h n 对h n 进行傅里叶变换得到H ej 3 5 1 一般称H ej 为系统的频率响应函数 它表征系统的频率特性 设h n 进行Z变换 得到H z 一般称H z 为系统函数 它表征了系统的复频域特性 对N阶差分方程 1 4 2 式 进行Z变换 得到系统函数的一般表示式 3 5 2 如果H z 的收敛域包含单位圆 z 1 H ej 与H z 之间关系如下式 3 5 3 3 5 2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果 可实现 系统其单位脉响应h n 一定满足当n 0时 h n 0 那么其系统函数H z 的收敛域一定包含 点 即 点不是极点 极点分布在某个圆的圆内 收敛域在某个圆外 一个稳定线性系统的充要条件是H z 的收敛域包含单位圆 一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H z 的收敛域Z 一个稳定因果系统的系统函数H z 的收敛域1 z 一个稳定因果系统的系统函数H z 的全部极点在单位圆内 例3 5 1已知分析其因果性和稳定性 解 H z 的极点为z a z a 1 如图3 5所示 1 收敛域a 1 z 对应的系统是因果系统 但由于收敛域不包含单位圆 因此是不稳定系统 单位脉冲响应h n an a n u n 参考例题3 7 这是一个因果序列 但不收敛 2 收敛域0 z a 对应的系统是非因果且不稳定系统 其单位脉冲响应h n a n an u n 1 参考例题3 7 这是一个非因果且不收敛的序列 3 收敛域a z a 1 对应的系统是一个非因果系统 但由于收敛域包含单位圆 因此是稳定系统 其单位脉冲响应h n a n 这是一个收敛的双边序列 如图3 5 1 a 所示 图3 5 1 3 5 3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将 3 5 2 式因式分解 得到 3 5 4 式中A b0 a0 上式中cr是H z 的零点 dr是其极点 A参数影响频率响应函数的幅度大小 影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布 下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响 在z平面上 ej cr用一根由零点cr指向单位圆上ej 点B的向量表示 同样ej dr用内极点指向ej 点B的向量表示 如图3 5 2所示 和分别称为零点矢量和极点矢量 将它们用极坐标表 将 和 表示式代入 3 5 7 式 得到 3 5 8 3 5 9 系统的传输特性或者信号的频率特性由 3 5 8 式和 3 5 9 式确定 当频率 从零变化到2 时 这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周 按照 3 5 8 式 3 5 9 式 分别估算出系统的幅度特性和相位特性 例如图3 5 2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 图3 5 2频响的几何表示法 3 5 2已知H z z 1 分析其频率特性解 由H z z 1 极点为z 0 幅度特性 H ej 1 相位特性 频响如图3 5 3所示 用几何方法也容易确定 当 0转到 2 时 极点矢量的长度始终为1 由该例可以得到结论 处于原点处的零点或极点 由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1 因此原点处的零极点不影响系统的频率特性 图3 5 3H z z 1的频响- 配套讲稿:
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