山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 直线、圆的位置关系练习(含解析).doc
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直线、圆的位置关系一、选择题(本大题共12小题,共60分)1. 已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离(正确答案)B解:圆的标准方程为M:x2+(y-a)2=a2(a0),则圆心为(0,a),半径R=a,圆心到直线x+y=0的距离d=a2,圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,2R2-d2=2a2-a22=2a22=22,即a22=2,即a2=4,a=2,则圆心为M(0,2),半径R=2,圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1,则MN=12+12=2,R+r=3,R-r=1,R-rMNR+r,即两个圆相交故选:B根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可本题主要考查直线和圆相交的应用,以及两圆位置关系的判断,根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键2. 已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为( )A. 12 B. 1 C. 2 D. 4(正确答案)C解:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,圆心坐标为(3,0),半径为3如图:当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,则最短弦长为29-(3-1)2+(0-2)2=2故选:C化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,如何利用垂径定理求得答案本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理的应用,是基础题3. 直线l过点(0,2),被圆C:x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦长为23,则直线l的方程是( )A. y=43x+2 B. y=-13x+2C. y=2 D. y=43x+2或y=2(正确答案)D解:圆C:x2+y2-4x-6y+9=0的圆心坐标(2,3),半径为2,直线l过点(0,2),被圆C:x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦长为23,圆心到所求直线的距离为:1,设所求直线为:y=kx+2.即kx-y+2=0,|2k-1|k2+1=1,解得k=0或43,所求直线方程为y=43x+2或y=2故选:D求出圆的圆心与半径,利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,求出所求直线的斜率,然后求出直线方程本题考查直线与圆的位置关系,弦心距与半径以及半弦长的关系,考查计算能力4. 直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是( )A. 2,6 B. 4,8 C. 2,32 D. 22,32(正确答案)A解:直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,A(-2,0),B(0,-2),|AB|=4+4=22,点P在圆(x-2)2+y2=2上,设P(2+2cos,2sin),点P到直线x+y+2=0的距离:d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|2,sin(+4)-1,1,d=|2sin(+4)+4|22,32,ABP面积的取值范围是:12222,122232=2,6故选:A求出A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22,设P(2+2cos,2sin),点P到直线x+y+2=0的距离:d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|22,32,由此能求出ABP面积的取值范围本题考查三角表面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题5. 一条光线从点(1,-1)射出,经y轴反射后与圆(x-2)2+y2=1相交,则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )A. -34,0 B. 0,34 C. (-34,0) D. (0,34)(正确答案)C解:如图所示,由题意可设入射光线PQ的方程为:y+1=k(x-1),令x=0,则y=-1-k,可得Q(0,-1-k)反射光线QAB的方程为:y=-kx-1-k则|-2k-1-k|1+k21,解得:-34k0入射光线所在直线的斜率的取值范围为(-34,0)故选:C如图所示,由题意可设入射光线PQ的方程为:y+1=k(x-1),可得Q(0,-1-k).反射光线QAB的方程为:y=-kx-1-k.利用直线与圆相交可得|-2k-1-k|1+k21,解出即可得出本题考查了入射光线与反射光线的性质、对称性、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6. 直线l:x=1+22ty=2+22t(t为参数)与圆C:y=1+2sinx=2+2cos(为参数)的位置关系是( )A. 相离 B. 相切C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心(正确答案)D解:把圆的参数方程化为普通方程得:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(2,1),半径r=2,把直线的参数方程化为普通方程得:x-y+1=0,圆心到直线的距离d=|2-1+1|1+(-1)2=2r=2,又圆心(2,1)不在直线x-y+1=0上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心故选:D把圆的方程及直线的方程化为普通方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心本题考查了参数方程与普通方程的互化,及直线与圆的位置关系,其中直线与圆的位置关系为:(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径)0dr,直线与圆相离,是基础题7. 若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点,则实数m的取值范围是( )A. (2-2,2+2) B. (-4,0)C. (-2-2,-2+2) D. (0,4)(正确答案)D解:圆x2+y2+4x+2=0化为(x+2)2+y2=2,圆的圆心坐标(-2,0),半径为2 直线y=x+m与圆(x+2)2+y2=2有两个不同的公共点,d=|m-2|22 m2-4m0 0m0,n0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1m+3n的最小值为( )A. 4 B. 12 C. 16 D. 6(正确答案)D解:圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心(-3,-1) 直线mx+ny+2=0(m0,n0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,直线经过圆的圆心可得:3m+n=2则1m+3n=12(1m+3n)(3m+n)=12(3+3+nm+9mn)3+nm9mn=6当且仅当m=13,n=1时取等号故选:D利用已知条件求出m,n的关系式,然后利用基本不等式求解最值即可本题考查基本不等式的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力11. 已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A. -2 B. -4 C. -6 D. -8(正确答案)B解:圆x2+y2+2x-2y+a=0即(x+1)2+(y-1)2=2-a,故弦心距d=|-1+1+2|2=2再由弦长公式可得2-a=2+4,a=-4,故选:B把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得a的值本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题12. 若直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,则a的值为( )A. 1 B. 1 C. 2 D. 2(正确答案)D解:圆x2+(y-a)2=1的圆心坐标为(0,a),半径为1,直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,圆心(0,a)到直线的距离d=r,即|a|2=1,解得:a=2故选D由直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值本题考查了直线与圆的位置关系,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键二、填空题(本大题共4小题,共20分)13. 设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为_ (正确答案)4解:圆C:x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为(0,a),半径为a2+2,直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,且|AB|=23,圆心(0,a)到直线y=x+2a的距离d=a2-1,即|a|2=a2-1,解得:a2=2,故圆的半径r=2故圆的面积S=4,故答案为:4 圆C:x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为(0,a),半径为a2+2,利用圆的弦长公式,求出a值,进而求出圆半径,可得圆的面积本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,点到直线的距离公式,难度中档14. 已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=23,则|CD|= _ (正确答案)4解:由题意,|AB|=23,圆心到直线的距离d=3,|3m-3|m2+1=3,m=-33 直线l的倾斜角为30,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,|CD|=2332=4故答案为:4先求出m,可得直线l的倾斜角为30,再利用三角函数求出|CD|即可本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,考查学生的计算能力,比较基础15. 在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为_(正确答案)34解:圆(x-5)2+y2=9的圆心为(5,0),半径为3圆心到直线y=kx的距离为|5k|k2+1,要使直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则|5k|k2+13,解得-34k34在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交相交的概率为34+341+1=34故答案为:34利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题16. 直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为23,则直线的倾斜角为_(正确答案)6或56解:圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心C(2,3),半径r=2,圆心到直线y=kx+3的距离d=|2k-3+3|k2+1=|2k|k2+1,直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为23,23=2r2-d2=24-4k2k2+1,解得k=33,直线的倾斜角为6或56故答案为:6或56求出圆心到直线y=kx+3的距离d=|2k|k2+1,由直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为23,得23=2r2-d2=24-4k2k2+1,由此能求出直线的倾斜角本题考查直线的倾斜角的求法,考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题三、解答题(本大题共3小题,共30分)17. 以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=2,直线l的参数方程为x=2+tcosy=2+tsin(t为参数)(1)点P在曲线C上,Q在直线l上,若=34,求线段|PQ|的最小值;(2)设直线l与曲线C有两个不同的交点,求直线l的斜率k的范围(正确答案)解:(1)=34时,易知直线l的方程为x+y-4=0,(2分) 曲线C:=2的普通方程为x2+y2=2.(3分) 由题意知|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,所以|PQ|min=|0+0-4|12+12-2=22-2=2.(5分) (2)因为=90时,直线l与C没有交点,所以直线l可化为普通方程为y-2=tan(x-2),(7分) 令k=tan,即kx-y+2-2k=0,当圆心到直线的距离等于半径时,即|2-2k|k2+1=2,解得k=23,此时它们相切,(9分) 所以k(2-3,2+3).(10分)(1)点P在曲线C上,Q在直线l上,若=34,利用|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即可求线段|PQ|的最小值;(2)设直线l与曲线C有两个不同的交点,当圆心到直线的距离等于半径时,即|2-2k|k2+1=2,即可求直线l的斜率k的范围本题考查直线与圆的位置关系,考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题18. 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角=6,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积(正确答案)解:(1)直线的参数方程为x=1+tcos6y=1+tsin6,即x=1+32ty=1+12t.(5分) (2)把直线x=1+32ty=1+12t代入x2+y2=4,得(1+32t)2+(1+12t)2=4,t2+(3+1)t-2=0,t1t2=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2(1)利用公式和已知条件直线l经过点P(1,1),倾斜角=6,写出其极坐标再化为一般参数方程;(2)由题意将直线x=1+32ty=1+12t代入x2+y2=4,从而求解此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必的热点问题19. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,2),直线l与AB平行(1)求直线l的斜率;(2)已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相交于M,N两点,且MN=AB,求直线l的方程;(3)在(2)的圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由(正确答案)解:(1)点A(-1,0),B(1,2),直线l与AB平行,直线l的斜率k=kAB=2-01-(-1)=1(2)圆C:x2+y2-4x=0,圆C的标准方程为:(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径为2,由(1)知直线l的斜率k=1,设直线l的方程为x-y-m=0,则圆心C到直线l的距离d=|2-0+m|2=|2+m|2,MN=AB=22+22=22,而CM2=d2+(MN2)2,4=(2+m)22+2,解得m=0或m=-4,故直线l的方程为x-y=0或x-y+4=0(3)假设圆C上存在点P,设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,整理,得x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,|2-2|(2-0)2+(0-1)22+2,圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,点P的个数为2(1)由点A(-1,0),B(1,2),直线l与AB平行,利用斜率公式和直线与直线平行的性质能求出直线l的斜率(2)圆C的标准方程为:(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径为2,设直线l的方程为x-y-m=0,求出圆心C到直线l的距离d=|2+m|2,由MN=AB=22,求出m=0或m=-4,由此能求出直线l的方程(3)假设圆C上存在点P,设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,由PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,得到x2+(y-1)2=4,从而求出圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,由此能求出点P的个数本题考查直线的斜率、直线方程、满足条件的点的个数的求法,涉及到斜率、直线、圆、直线与直线平行、点到直线距离公式、圆与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题- 配套讲稿:
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