线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义.ppt
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第一章行列式 一 二 三 阶行列式 二 排列与逆序 三 n阶行列式的定义 四 行列式的性质 五 行列式按行 列 展开 六 Cramer法则 行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法 定义 利用行列式求解线性方程组 本章安排 本章主要讨论以上三个问题 首先来看行列式概念的形成 问题的提出 分析二 三元线性方程组求解过程 二阶 三阶行列式的概念 引出 第一节二阶与三阶行列式 1 二阶行列式 二元线性方程组 由消元法 得 得 同理 得 于是 当 时 方程组有唯一解 为便于记忆 采用记号 称 为二阶行列式 其中 数 称为二阶行列式元素 为行标 表明元素位于第行 为列标 表明元素位于第列 注 1 二阶行列式算出来是一个数 2 运算方法 对角线法则 主对角线上元素之积 副对角线上元素之积 因此 上述二元线性方程组的解可表示为 综上 令 则 称D为方程组的系数行列式 例1 解方程组 解 因为 所以 2 三阶行列式 类似地 为讨论三元线性方程组 记 称为三阶行列式 其中 数 称为元素 为行标 为列标 注 1 三阶行列式算出来也是一个数 2 运算方法 对角线法则 例 对于三元线性方程组 若其系数行列式 可以验证 方程组有唯一解 其中 第二节n阶行列式的的定义 定义1 由自然数1 2 n组成的一个有序数组称为一个n级排列 例如 1234554321 5123442135 5321453124 都是数1 2 3 4 5的排列 回忆 n个数的不同排列共有个 n 自然排列 按数的大小次序 由小到大排列 思考 n级排列中 自然排列只有一种 除此之外 任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况 12345 n 一 排列 定义2 1 在一个排列中 若某个较大的数排在某个较小的数前面 就称这两个数构成一个逆序 2 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的 奇排列 逆序数为奇数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列 逆序数 定义3 计算排列的逆序数的方法 法1 n个数的任一n级排列 先看数1 看有多少个比1大的数排在1前面 记为 再看有多少个比2大的数排在2前面 记为 继续下去 最后至数n 前面比n大的数显然没有 则此排列的逆序数为 例1 是偶排列 是奇排列 法2 n级排列 的逆序数 法3 例2 求排列3 2 5 1 4的逆序数 解 法1 法2 法3 例3 求排列4 5 3 1 6 2的逆序数 考虑 在1 2 3的全排列中 有个偶排列 有个奇排列 123 231 312 132 213 321 3 3 一般说来 在n个数码的全排列中 奇偶排列各占一半 定义4 把一个排列中的任意两个数交换位置 其余数码不动 叫做对该排列作一次对换 简称对换 将相邻的两个数对换 称为相邻对换 定理1 对换改变排列的奇偶性 证明思路 先证相邻两数的对换 再证一般对换 定理2 时 n个数的所有排列中 奇偶排列各占 一半 各为 个 证明 设n个数的排列中 奇排列有p个 偶排列有q个 则p q n 对p个奇排列 施行同一对换 则由定理1得到p个偶排列 而且是p个不同的偶排列 因为总共有q个偶排列 所以 同理 所以 二 3阶行列式的规律 观察三阶行列式 寻找规律 1 三阶行列式是3 项的代数和 2 每一项都是取自不同行 不同列的3个元素的乘积 3 每项的符号规律 其任一项可写成 其中 是123的一个排列 当 是偶排列时 项 取正号 当 是奇排列时 项 取负号 根据二 三阶行列式的构造规律 我们来定义n阶行列式 定义5 n阶行列式 指的是n 项的代数和 其中每一项都是取自不同行 不同列的n个元素的乘积 其一般项为 这里 是12 n的一个排列 当 是偶排列时 项前面带正号 当 是奇排列时 项前面带负号 三 n阶行列式的定义 即 其中 表示对所有n元排列取和 注 1 当n 1时 一阶行列式 此处 不是a的绝对值 例如行列式 定义表明 计算n阶行列式 首先必须作出所有的可能的位于不同行 不同列的n个元素的乘积 把这些乘积的元素的第一个下标 行标 按自然顺序排列 然后看第二个下标 列标 所成的奇偶性来决定这一项的符号 例4 写出四阶行列式中含有因子 的项 例5 若 为四阶行列式的项 试确定i与k 使前两项带正号 后一项带负号 例7 计算四阶行列式 例6 计算行列式 四个特殊行列式 1 上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 2 下三角形行列式 主对角线上侧元素都为0 3 显然 4 定理3 在行列式中 的符号等于 证明 由行列式定义可知 确定项 的符号 需要把各元素的次序进行调动 使其行标成自然排列 为此 我们先来研究若交换项 1 中某两个元素的位置时 其行标和列标排列的奇偶性如何变化 对换任意两元素 相当于项 1 的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换 设对换前行标排列的逆序数为s 列标排列的逆序数为t 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 由定理 对换改变排列的奇偶性 所以 是奇数 也是奇数 所以 是偶数 即 是偶数 所以 与 同时为奇数或同时为偶数 即 交换项 1 中任意两个元素的位置后 其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变 另一方面 经过若干次对换项 1 中元素的次序 总可以把项 1 变为 所以 得证 由此 得行列式的等价定义 作业 习题一 1 4 1 2 4 7 1- 配套讲稿:
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