2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数讲义含解析新人教A版选修.doc
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3 3 3 函数的最大 小 值与导数 预习课本 P96 98 思考并完成以下问题 1 什么是函数的最值 函数在闭区间上取得最值的条件是什么 2 函数的最值与极值有什么关系 3 求函数最值的方法和步骤是什么 新 知 初 探 1 函数 y f x 在闭区间 a b 上取得最值的条件 如果在区间 a b 上函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值 和最小值 点睛 对函数最值的三点说明 1 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的连续函数不一定有最值 若有唯一的 极值 则此极值必是函数的最值 2 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 3 函数 y f x 在 a b 上连续 是函数 y f x 在 a b 上有最大值或最小值的充 分而非必要条件 2 求函数 y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数 y f x 在 a b 内的极值 2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个是最 大值 最小的一个是最小值 点睛 函数极值与最值的关系 1 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念 函数的最大值和最小值是一个整体性 概念 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极 值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值 的未必有极值 极值有可能成为最值 最值不在端点处取得时必定是极值 小 试 身 手 1 判断下列命题是否正确 正确的打 错误的打 1 函数的最大值一定是函数的极大值 2 开区间上的单调连续函数无最值 3 函数 f x 在区间 a b 上的最大值和最小值一定在两个端点处取得 答案 1 2 3 2 函数 f x x3 3 x2 2 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 答案 C 3 函数 f x 3 x sin x 在 x 0 上的最小值为 答案 1 4 已知 f x x2 mx 1 在区间 2 1 上的最大值就是函数 f x 的极大值 则 m 的取值范围是 答案 4 2 求函数的最值 典例 求下列函数的最值 1 f x 4 x3 3 x2 36 x 5 x 2 2 f x x sin x x 0 2 12 解 1 f x 12 x2 6 x 36 令 f x 0 得 x1 2 x2 32 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 2 2 32 32 32 f x 0 0 f x 57 1154 由于当 x 时 f x 0 所以 f x 在 上为增函数 因此 函数 f x 在 32 32 2 上只有最小值 无最大值 1154 2 f x cos x 令 f x 0 且 x 0 2 12 解得 x 或 x 2 3 4 3 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 2 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 2 2 f x 0 0 f x 0 极大值 3 32 极小值 2 3 32 当 x 0 时 f x 有最小值 为 f 0 0 当 x 2 时 f x 有最大值 为 f 2 求函数最值的四个步骤 第一步 求函数的定义域 第二步 求 f x 解方程 f x 0 第三步 列出关于 x f x f x 的变化表 第四步 求极值 端点值 确定最值 注意 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较 活学活用 已知函数 f x ln x 求 f x 在 上的最大值和最小值 1 xx 12 2 解 易知 f x 的定义域为 0 f x ln x 1 ln x 1 xx 1x f x 1x2 1x x 1x2 令 f x 0 得 x 1 当 x 变化时 f x 与 f x 的变化情况如下表 x 12 12 1 1 1 2 2 f x 0 f x 1 ln 2 极小值 0 ln 2 12 在 上 当 x 1 时 f x 取得极小值 也是最小值 且 f 1 0 12 2 又 f 1 ln 2 f 2 ln 2 12 12 f f 2 2ln 2 3 4ln 2 12 32 12 ln 0 f f 2 12 e316 12 f x 在 上的最大值为 f 1 ln 2 最小值为 f 1 0 12 2 12 由函数的最值求参数 典例 已知函数 f x ax3 6 ax2 b x 1 2 的最大值为 3 最小值为 29 求 a b 的值 解 由题设知 a 0 否则 f x b 为常数函数 与题设矛盾 求导得 f x 3 ax2 12 ax 3 ax x 4 令 f x 0 得 x1 0 x2 4 舍去 当 a 0 且 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 0 0 0 2 2 f x 0 f x 7 a b b 16 a b 由表可知 当 x 0 时 f x 取得极大值 b 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又 f 1 7 a 3 f 2 16 a 3 f 1 f 2 16 a 3 29 解得 a 2 当 a 0 时 同理可得 当 x 0 时 f x 取得极小值 b 也就是函数在 1 2 上的最 小值 f 0 b 29 又 f 1 7 a 29 f 2 16 a 29 f 1 f 2 16 a 29 3 解得 a 2 综上可得 a 2 b 3 或 a 2 b 29 已知函数最值求参数的步骤 1 求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 2 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 3 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 活学活用 已知函数 f x 4 x x 0 a 0 在 x 3 时取得最小值 求 a 的值 ax 解 由题意知 f x 4 ax2 4x2 ax2 又 x 0 a 0 令 f x 0 得 x a2 当 0 x 时 f x 0 当 x 时 f x 0 a2 a2 故 f x 在 上单调递减 在 上单调递增 0 a2 a2 即当 x 时 f x 取得最小值 则 3 解得 a 36 a2 a2 与最值有关的恒成立问题 典例 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 处都取得极值 23 1 求 a b 的值及函数 f x 的单调区间 2 若 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 解 1 由 f x x3 ax2 bx c 得 f x 3 x2 2 ax b 因为 f 1 3 2 a b 0 f a b 0 解得 a b 2 23 43 43 12 所以 f x 3 x2 x 2 3 x 2 x 1 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如表 x 23 23 23 1 1 1 f x 0 0 f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数 f x 的递增区间为 和 1 23 递减区间为 23 1 2 由 1 知 f x x3 x2 2 x c x 1 2 当 x 时 f c 为极 12 23 23 2227 大值 因为 f 2 2 c 所以 f 2 2 c 为最大值 要使 f x f 2 2 c 解得 c2 故 c 的取值范围为 1 2 一题多变 1 变设问 若本例中条件不变 把 2 中 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 改 为 若存在 x 1 2 不等式 f x c 12 32 所以 f 1 c 为最小值 32 因为存在 x 1 2 不等式 f x f 1 c 32 即 2c2 2 c 3 0 解得 c R 2 变条件 变设问 已知函数 f x x3 ax b a b R 在 x 2 处取得极小值 13 43 1 求 f x 的单调递增区间 2 若 f x m2 m 在 4 3 上恒成立 求实数 m 的取值范围 103 解 1 f x x2 a 由 f 2 0 得 a 4 再由 f 2 得 b 4 43 所以 f x x3 4 x 4 f x x2 4 13 令 f x x2 4 0 得 x 2 或 x 2 所以 f x 的单调递增区间为 2 2 2 因为 f 4 f 2 f 2 43 283 43 f 3 1 所以函数 f x 在 4 3 上的最大值为 283 要使 f x m2 m 在 4 3 上恒成立 103 只需 m2 m 103 283 解得 m 2 或 m 3 所以实数 m 的取值范围是 3 2 恒成立问题向最值转化的方法 1 要使不等式 f x f x max 则上面的不等式恒成立 2 要使不等式 f x h 在区间 m n 上恒成立 可先在区间 m n 上求出函数 f x 的 最小值 f x min 只要 f x min h 则不等式 f x h 恒成立 层级一 学业水平达标 1 设函数 f x 2 x 1 x 0 则 f x 1x A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 解析 选 A f x 2 1x2 2x2 1x2 令 f x 0 得 x 22 当 x 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 x 是函数 f x 的 22 22 22 极大值点 也是最大值点 故 f x 有最大值 无最小值 2 函数 y 2 x3 3 x2 12 x 5 在 2 1 上的最大值 最小值分别是 A 12 8 B 1 8 C 12 15 D 5 16 解析 选 A y 6 x2 6 x 12 由 y 0 x 1 或 x 2 舍去 x 2 时 y 1 x 1 时 y 12 x 1 时 y 8 ymax 12 ymin 8 故选 A 3 函数 f x 2 x 0 5 的最小值为 x 1x A 2 B 3 C D 2 174 2 12 解析 选 B 由 f x 0 得 x 1 1x 1x2 x32 1x2 且 x 0 1 时 f x 0 x 1 5 时 f x 0 x 1 时 f x 最小 最小值为 f 1 3 4 函数 f x x4 4 x x 0 得 sin x 0 x 12 6 由 y 2 6 6 3 6 3 2 当 x 时取最大值 故应选 B 6 6 函数 f x x2 x 0 的最小值是 54x 解析 f x 2 x 令 f x 0 得 x 3 54x2 当 x 3 时 f x 0 当 3 x 0 时 f x 0 所以当 x 3 时 f x 取得极小值 也是最小值 所以 f x min 27 答案 27 7 函数 f x xe x x 0 4 的最小值为 解析 f x e x xe x e x 1 x 令 f x 0 得 x 1 e x 0 f 1 0 f 0 0 f 4 0 1e 4e4 所以 f x 的最小值为 0 答案 0 8 若函数 f x x3 3 x a 在区间 0 3 上的最大值 最小值分别为 m n 则 m n 解析 f x 3 x2 3 当 x 1 或 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递减 在 1 3 上单调递增 f x min f 1 1 3 a 2 a n 又 f 0 a f 3 18 a f 0 f 3 f x max f 3 18 a m m n 18 a 2 a 20 答案 20 9 已知 k 为实数 f x x2 4 x k 1 求导函数 f x 2 若 x 1 是函数 f x 的极值点 求 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 解 1 f x x3 kx2 4 x 4 k f x 3 x2 2 kx 4 2 由 f 1 0 得 k 12 f x x3 x2 4 x 2 f x 3 x2 x 4 12 由 f x 0 得 x 1 或 x 43 又 f 2 0 f 1 f f 2 0 92 43 5027 f x 在区间 2 2 上的最大值为 最小值为 92 5027 10 已知函数 f x x3 ax2 bx 5 曲线 y f x 在点 P 1 f 1 处的切线方程为 y 3 x 1 1 求 a b 的值 2 求 y f x 在 3 1 上的最大值 解 1 依题意可知点 P 1 f 1 为切点 代入切线方程 y 3 x 1 可得 f 1 3 1 1 4 f 1 1 a b 5 4 即 a b 2 又由 f x x3 ax2 bx 5 得 又 f x 3 x2 2 ax b 而由切线 y 3 x 1 的斜率可知 f 1 3 3 2 a b 3 即 2a b 0 由Error 解得Error a 2 b 4 2 由 1 知 f x x3 2 x2 4 x 5 f x 3 x2 4 x 4 3 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 或 x 2 23 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 3 3 2 2 2 23 23 23 1 1 f x 0 0 f x 8 极大值 极小值 4 f x 的极大值为 f 2 13 极小值为 f 23 9527 又 f 3 8 f 1 4 f x 在 3 1 上的最大值为 13 层级二 应试能力达标 1 函数 f x 在区间 2 4 上的最小值为 xex A 0 B 1e C D 4e4 2e2 解析 选 C f x ex xex ex 2 1 xex 当 x 2 4 时 f x 0 即函数 f x 在 2 4 上是单调递减函数 故当 x 4 时 函数 f x 有最小值 4e4 2 函数 f x x3 3 ax a 在 0 1 内有最小值 则 a 的取值范围为 A 0 1 B 0 1 C 1 1 D 0 12 解析 选 B f x 3 x2 3 a 令 f x 0 可得 a x2 又 x 0 1 0 a 1 故选 B 3 若函数 f x x3 3 x2 9 x k 在区间 4 4 上的最大值为 10 则其最小值为 A 10 B 71 C 15 D 22 解析 选 B f x 3 x2 6 x 9 3 x 3 x 1 由 f x 0 得 x 3 或 x 1 又 f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由 f x max k 5 10 得 k 5 f x min k 76 71 4 已知当 x 时 函数 f x tx sin x t R 的值恒小于零 则 t 的取值范 0 2 围是 A B 2 2 C D 2 2 解析 选 A f x tx sin x 0 在 x 内恒成立 即 t 在 内恒 0 2 sin xx 0 2 成立 令 g x 则 g x sin xx xcos x sin xx2 令 x xcos x sin x 则 x xsin x 当 x 时 x 0 x 在 上单调递减 0 2 0 2 x 0 0 sin x xcos x g x 0 g x 在 内单调递减 t 0 2 sin 2 2 2 5 设函数 f x x2ex 若当 x 2 2 时 不等式 f x m 恒成立 则实数 m 的取 12 值范围是 解析 f x xex x2ex x x 2 12 ex2 由 f x 0 得 x 0 或 x 2 当 x 2 2 时 f x f x 随 x 的变化情况如下表 x 2 2 0 0 0 2 2 f x 0 0 f x 2e2 0 2e2 当 x 0 时 f x min f 0 0 要使 f x m 对 x 2 2 恒成立 只需 m f x min m 0 答案 0 6 已知函数 y x2 2 x 3 在区间 a 2 上的最大值为 则 a 154 解析 y 2 x 2 令 y 0 得 x 1 函数在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 若 a 1 则最大值为 f a a2 2 a 3 154 解得 a 12 a 32舍 去 若 a 1 则最大值为 f 1 1 2 3 4 154 综上知 a 12 答案 12 7 已知函数 f x ax3 x2 bx 其中常数 a b R g x f x f x 是奇函 数 1 求 f x 的表达式 2 求 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解 1 f x 3 ax2 2 x b g x f x f x ax3 3 a 1 x2 b 2 x b g x 是奇函数 g x g x 从而 3a 1 0 b 0 解得 a b 0 13 因此 f x 的表达式为 f x x3 x2 13 2 由 1 知 g x x3 2 x 13 g x x2 2 令 g x 0 解得 x1 舍去 x2 2 2 而 g 1 g g 2 53 2 423 43 因此 g x 在区间 1 2 上的最大值为 g 最小值为 g 2 2 423 43 8 已知函数 f x ln x ax 1 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在 1 e 上的最小值是 求 a 的值 32 解 函数 f x ln x 的定义域为 0 ax f x 1x ax2 x ax2 1 a0 故函数在其定义域 0 上单调递增 2 x 1 e 时 分如下情况讨论 当 a0 函数 f x 单调递增 其最小值为 f 1 a 1 这与函数在 1 e 上的最小值是 相矛盾 32 当 a 1 时 函数 f x 在 1 e 上单调递增 其最小值为 f 1 1 同样与最小值是 相矛盾 32 当 1 a e 时 函数 f x 在 1 a 上有 f x 0 f x 单调递增 所以 函数 f x 的最小值为 f a ln a 1 由 ln a 1 得 a 32 e 当 a e 时 函数 f x 在 1 e 上有 f x e 时 显然函数 f x 在 1 e 上单调递减 其最小值为 f e 1 2 仍与最 ae 小值是 相矛盾 32 综上所述 a 的值为 e- 配套讲稿:
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- 2018 2019 学年 高中数学 第三 导数 及其 应用 3.3 研究 函数 中的 大小 讲义 解析 新人 选修
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