中考数学专题突破导练案第三讲函数及其图像试题.doc
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中考数学专题突破导练案第三讲函数及其图像试题【专题知识结构】【专题解题分析】本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征,对称变换和平移变换中坐标的特征;求函数自变量的取值范围,函数图象的信息;一次函数解析式的确定,一次函数的图象与性质,一次函数的应用;反比例函数的图象和性质,反比例函数中k的几何意义;确定抛物线的顶点坐标及对称轴,二次函数解析式的确定,二次函数的图象和性质,二次函数图象的平移,二次函数图象与系数的关系,二次函数与方程、不等式的关系,二次函数的应用等解决数与式问题的常用方法有数形结合法,特殊值法,分类讨论法,整体代入法,设参数法,逆向思维法等.函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查,根据函数的性质写出函数解析式一般以开放题形式进行考查;函数及其图象在中考中考查题型多样,对图象与性质的考查一般以选择题、填空题进行考查,函数的应用一般以解答题进行考查,特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现;解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想,转化思想和分类讨论思想等;常用的方法有待定系数法,特殊值法,观察法,比较法,分析法和综合法等.【典型例题解析】例题1: 已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,2)(1)求这两个函数的表达式;(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题【分析】(1)由A在反比例函数图象上,把A的坐标代入反比例解析式,即可得出反比例函数解析式,又B也在反比例函数图象上,把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值,从而得到B的坐标,由待定系数法即可求出一次函数解析式;(2)根据题意,结合图象,找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域,易得答案【解答】解:(1)A(1,4)在反比例函数图象上,把A(1,4)代入反比例函数y1=得:4=,解得k1=4,反比例函数解析式为y1=的,又B(m,2)在反比例函数图象上,把B(m,2)代入反比例函数解析式,解得m=2,即B(2,2),把A(1,4)和B坐标(2,2)代入一次函数解析式y2=ax+b得:,解得:,一次函数解析式为y2=2x+2;(2)根据图象得:2x0或x1例题2: (20xx山东临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表: t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14下列结论:足球距离地面的最大高度为20m;足球飞行路线的对称轴是直线t=;足球被踢出9s时落地;足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m,其中正确结论的个数是()A1B2C3D4【分析】由题意,抛物线的解析式为y=ax(x9),把(1,8)代入可得a=1,可得y=t2+9t=(t4.5)2+20.25,由此即可一一判断【解答】解:由题意,抛物线的解析式为y=ax(x9),把(1,8)代入可得a=1,y=t2+9t=(t4.5)2+20.25,足球距离地面的最大高度为20.25m,故错误,抛物线的对称轴t=4.5,故正确,t=9时,y=0,足球被踢出9s时落地,故正确,t=1.5时,y=11.25,故错误正确的有,故选B【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键,属于中考常考题型A6B10C2D2【分析】由正方形OABC的边长是6,得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6,求得M(6,),N(,6),根据三角形的面积列方程得到M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M,连接NM交x轴于P,则NM的长=PM+PN的最小值,根据勾股定理即可得到结论【解答】解:正方形OABC的边长是6,点M的横坐标和点N的纵坐标为6,M(6,),N(,6),BN=6,BM=6,OMN的面积为10,6666(6)2=10,k=24,M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M,连接NM交x轴于P,则NM的长=PM+PN的最小值,AM=AM=4,BM=10,BN=2,NM=2,【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义,轴对称最小距离问题,勾股定理,正方形的性质,正确的作出图形是解题的关键例题4:(20xx.四川眉山)如图,抛物线y=ax2+bx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M(1,)是抛物线上另一点(1)求a、b的值;(2)连结AC,设点P是y轴上任一点,若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;【考点】HF:二次函数综合题【分析】(1)根据题意列方程组即可得到结论;(2)在y=ax2+bx2中,当x=0时y=2,得到OC=2,如图,设P(0,m),则PC=m+2,OA=3,根据勾股定理得到AC=,当PA=CA时,则OP1=OC=2,当PC=CA=时,当PC=PA时,点P在AC的垂直平分线上,根据相似三角形的性质得到P3(0,),当PC=CA=时,于是得到结论;(3)过H作HGOA于G,设HN交Y轴于M,根据平行线分线段成比例定理得到OM=,求得抛物线的对称轴为直线x=,得到OG=,求得GN=t,根据相似三角形的性质得到HG=t,于是得到结论【解答】解:(1)把A(3,0),且M(1,)代入y=ax2+bx2得,解得:;(2)在y=ax2+bx2中,当x=0时y=2,C(0,2),OC=2,如图,设P(0,m),则PC=m+2,OA=3,AC=,当PA=CA时,则OP1=OC=2,P1(0,2);当PC=CA=时,即m+2=,m=2,P2(0,2);当PC=PA时,点P在AC的垂直平分线上,则AOCP3EC,=,P3C=,m=,P3(0,),当PC=CA=时,m=2,P4(0,2),综上所述,P点的坐标1(0,2)或(0,2)或(0,)或(0,2);(3)过H作HGOA于G,设HN交Y轴于M,NHAC,OM=,抛物线的对称轴为直线x=,OG=,GN=t,GHOC,NGHNOM,即=,HG=t,例题5:(20xx 四川绵阳)如图,已知ABC中,C=90,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持NMC=45,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将MNF关于直线NF对称后得到ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),ENF与ANF重叠部分的面积为y(cm2)(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;【考点】LO:四边形综合题【分析】(1)由已知得出CN=CM=t,FNBC,得出AN=8t,由平行线证出ANFACB,得出对应边成比例求出NF=AN=(8t),由对称的性质得出ENF=MNF=NMC=45,MN=NE,OE=OM=CN=t,由正方形的性质得出OE=ON=FN,得出方程,解方程即可;(2)分两种情况:当0t2时,由三角形面积得出y=t2+2t;当2t4时,作GHNF于H,由(1)得:NF=(8t),GH=NH,GH=2FH,得出GH=NF=(8t),由三角形面积得出y=(8t)2(2t4);(3)当点E在AB边上时,y取最大值,连接EM,则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出方程,解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF=AN=3,因此EM=2BM=4,作FDNE于D,由勾股定理求出EB=2,求出EF=,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF=HF=,在RtDEF中,由三角函数定义即可求出sinNEF的值【解答】解:(1)能使得四边形MNEF为正方形;理由如下:连接ME交NF于O,如图1所示:C=90,NMC=45,NFAC,CN=CM=t,FNBC,AN=8t,ANFACB,=2,NF=AN=(8t),由对称的性质得:ENF=MNF=NMC=45,MN=NE,OE=OM=CN=t,四边形MNEF是正方形,OE=ON=FN,t=(8t),解得:t=;(2)分两种情况:当0t2时,y=(8t)t=t2+2t,即y=t2+2t(0t2);当2t4时,如图2所示:作GHNF于H,由(1)得:NF=(8t),GH=NH,GH=2FH,GH=NF=(8t),y=NFGH=(8t)(8t)=(8t)2,(3)当点E在AB边上时,y取最大值,连接EM,如图3所示:则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,BM=4t,2t=2(4t),解得:t=2,CN=CM=2,AN=6,BM=42=2,NF=AN=3,EM=2BM=4,作FDNE于D,则EB=2,DNF是等腰直角三角形,EF=,DF=HF=,例题6:如图甲,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;【考点】HF:二次函数综合题【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;(3)过E作EFx轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标【解答】解:(1)直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,抛物线解析式为y=x24x+3;(2)y=x24x+3=(x2)21,抛物线对称轴为x=2,P(2,1),设M(2,t),且C(0,3),MC=,MP=|t+1|,PC=2,CPM为等腰三角形,有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);当MC=PC时,则有=2,解得t=1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=1+2或t=12,此时M(2,1+2)或(2,12);综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,1+2)或(2,12);设E(x,x24x+3),则F(x,x+3),0x3,EF=x+3(x24x+3)=x2+3x,SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3(x2+3x)=(x)2+,当x=时,CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E点坐标为(,)时,CBE的面积最大【达标检测评估】一、选择题:1. (20xx.四川眉山)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2ax()A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值【考点】H7:二次函数的最值;F7:一次函数图象与系数的关系【分析】一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,得到1a0,于是得到结论【解答】解:一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,a+10且a0,1a0,二次函数y=ax2ax由有最小值,故选D2. (20xx 四川绵阳)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是()Ab8Bb8Cb8Db8【考点】H6:二次函数图象与几何变换;F7:一次函数图象与系数的关系【分析】先根据平移原则:上加,下减,左加,右减写出解析式,再列方程组,有公共点则0,则可求出b的取值【解答】解:由题意得:平移后得到的二次函数的解析式为:y=(x3)21,则,(x3)21=2x+b,x28x+8b=0,=(8)241(8b)0,b8,故选D3. 若点M(7,m)、N(8,n)都在函数y=(k2+2k+4)x+1(k为常数)的图象上,则m和n的大小关系是()AmnBmnCm=nD不能确定【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征【分析】根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小【解答】解:k2+2k+4=(k+1)2+30(k2+2k+4)0,该函数是y随着x的增大而减少,78,mn,故选(B)A1B2C3D4【考点】H4:二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b24ac0,可判断;根据对称轴是x=1,可得x=2、0时,y的值相等,所以4a2b+c0,可判断;根据=1,得出b=2a,再根据a+b+c0,可得b+b+c0,所以3b+2c0,可判断;x=1时该二次函数取得最大值,据此可判断【解答】解:图象与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,b24ac0,4acb20,正确;=1,b=2a,a+b+c0,b+b+c0,3b+2c0,是正确;当x=2时,y0,4a2b+c0,4a+c2b,错误;由图象可知x=1时该二次函数取得最大值,ab+cam2+bm+c(m1)m(am+b)ab故错误正确的有两个,故选BABCD【考点】H6:二次函数图象与几何变换【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,再过A作ACx轴,交BB的延长线于点C,则C(4,1),AC=41=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),得出AA=3,然后根据平移规律即可求解【解答】解:函数y=(x2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),m=(12)2+1=1,n=(42)2+1=3,A(1,1),B(4,3),过A作ACx轴,交BB的延长线于点C,则C(4,1),AC=41=3,曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),ACAA=3AA=9,AA=3,即将函数y=(x2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,新图象的函数表达式是y=(x2)2+4故选D二、填空题:6. (20xx.四川眉山)设点(1,m)和点(,n)是直线y=(k21)x+b(0k1)上的两个点,则m、n的大小关系为mn【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征【分析】先根据一次函数的解析式判断出该函数的增减性,再根据23及可判断出m、n的大小【解答】解:0k1,直线y=(k21)x+b中,k210,y随x的增大而减小,1,mn故答案是:mn7. (20xx.四川眉山)已知反比例函数y=,当x1时,y的取值范围为2y0【考点】G4:反比例函数的性质【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性,再求出x=1时y的值即可得出结论【解答】解:反比例函数y=中,k=20,此函数图象的两个分支位于一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,当x=1时,y=2,当x1时,2y0故答案为:2y0【考点】R7:坐标与图形变化旋转;G6:反比例函数图象上点的坐标特征;LB:矩形的性质【分析】设A(m,n),则OB=m,OC=n,根据旋转的性质得到OC=n,BO=m,于是得到O(m+n,nm),于是得到方程(m+n)(nm)=mn,求得=,(负值舍去),即可得到结论【解答】解:设A(m,n),则OB=m,OC=n,矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90得到矩形ABOC,OC=n,BO=m,O(m+n,nm),A,O在此反比例函数图象上,(m+n)(nm)=mn,m2+mnn2=0,m=n,=,(负值舍去),的值是,故答案为:9. (20xx四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:bc0;b+c0;b,c是关于x的一元二次方程x2+(a1)x+=0的两个实数根;abc3其中正确结论是(填写序号)【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),可以得到a0,a、b、c的关系,然后对a、b、c进行讨论,从而可以判断是否正确,本题得以解决【解答】解:抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),bc0,故正确;a1时,则b、c均小于0,此时b+c0,当a=1时,b+c=0,则与题意矛盾,当0a1时,则b、c均大于0,此时b+c0,故错误;x2+(a1)x+=0可以转化为:x2+(b+c)x+bc=0,得x=b或x=c,故正确;b,c是关于x的一元二次方程x2+(a1)x+=0的两个实数根,abc=a(b+c)=a+(a1)=2a1,当a1时,2a13,当0a1时,12a13,故错误;故答案为:【点评】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题三、解答题:10. (20xx山东临沂)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准,按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示(1)求y关于x的函数解析式;【分析】(1)根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式,然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式;(2)根据题意对x进行取值进行讨论,从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3【解答】解:(1)当0x15时,设y与x的函数关系式为y=kx,15k=27,得k=1.8,即当0x15时,y与x的函数关系式为y=1.8x,当x15时,设y与x的函数关系式为y=ax+b,得,即当x15时,y与x的函数关系式为y=2.4x9,(2)设二月份的用水量是xm3,当15x25时,2.4x9+2.4(40x)9=79.8,解得,x无解,当0x15时,1.8x+2.4(40x)9=79.8,解得,x=12,40x=28,答:该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3【点评】本题考查一次函数的应用,解答此类问题的关键是明确题意,求出相应的函数解析式,利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答11. (20xx 四川绵阳)如图,设反比例函数的解析式为y=(k0)(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题【分析】(1)由题意可得A(1,2),利用待定系数法即可解决问题;(2)把M(2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,可得y=kx+2k,由消去y得到x2+2x3=0,解得x=3或1,推出B(3,k),A(1,3k),根据ABO的面积为,可得23k+2k=,解方程即可解决问题;【解答】解:(1)由题意A(1,2),把A(1,2)代入y=,得到3k=2,k=(2)把M(2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,y=kx+2k,由消去y得到x2+2x3=0,解得x=3或1,B(3,k),A(1,3k),ABO的面积为,23k+2k=,解得k=,直线l的解析式为y=x+12. (20xx山东临沂)如图,抛物线y=ax2+bx3经过点A(2,3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB(1)求抛物线的解析式;(2)点D在y轴上,且BDO=BAC,求点D的坐标;【分析】(1)待定系数法即可得到结论;(2)连接AC,作BFAC交AC的延长线于F,根据已知条件得到AFx轴,得到F(1,3),设D(0,m),则OD=|m即可得到结论;(3)设M(a,a22a3),N(1,n),以AB为边,则ABMN,AB=MN,如图2,过M作ME对称轴y于E,AFx轴于F,于是得到ABFNME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(2,11);以AB为对角线,BN=AM,BNAM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,于是得到结论【解答】解:(1)由y=ax2+bx3得C(03),OC=3,OC=3OB,OB=1,B(1,0),把A(2,3),B(1,0)代入y=ax2+bx3得,抛物线的解析式为y=x22x3;(2)设连接AC,作BFAC交AC的延长线于F,A(2,3),C(0,3),AFx轴,F(1,3),BF=3,AF=3,BAC=45,设D(0,m),则OD=|m|,BDO=BAC,BDO=45,OD=OB=1,|m|=1,m=1,D1(0,1),D2(0,1);(3)设M(a,a22a3),N(1,n),以AB为边,则ABMN,AB=MN,如图2,过M作ME对称轴y于E,AFx轴于F,则ABFNME,NE=AF=3,ME=BF=3,|a1|=3,a=3或a=2,M(4,5)或(2,11);以AB为对角线,BN=AM,BNAM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,M(0,3),【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,正确的作出图形是解题的关键13. (20xx 四川绵阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1(1)求抛物线的解析式;(2)证明:圆C与x轴相切;【考点】HF:二次函数综合题【分析】(1)可设抛物线的顶点式,再结合抛物线过点(4,2),可求得抛物线的解析式;(2)联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标,则可求得C点坐标和线段BD的长,可求得圆的半径,可证得结论;(3)过点C作CHm于点H,连接CM,可求得MH,利用(2)中所求B、D的坐标可求得FH,则可求得MF和BE的长,可求得其比值【解答】解:(1)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标是(2,1),可设抛物线解析式为y=a(x2)2+1,抛物线经过点(4,2),2=a(42)2+1,解得a=,抛物线解析式为y=(x2)2+1=x2x+2;(2)联立直线和抛物线解析式可得,解得或,B(3,),D(3+, +),C为BD的中点,点C的纵坐标为=,BD=5,圆的半径为,点C到x轴的距离等于圆的半径,由(2)可知CM=,CH=1=,在RtCMH中,由勾股定理可求得MH=2,HF=,MF=HFMH=2,BE=1=,=24 / 24- 配套讲稿:
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