2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第2课时 组合的综合应用练习 新人教A版选修2-3.doc
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1.2.2 第2课时 组合的综合应用A基础达标1有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种解析:选C.根据题意,知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组,不同的选法共有CC75(种)2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()A14种 B24种C28种 D48种解析:选A.法一:分两类完成:第1类,选派1名女生、3名男生,有CC种选派方案;第2类,选派2名女生、2名男生,有CC种选派方案故共有CCCC14种不同的选派方案法二:6人中选派4人的组合数为C,其中都选男生的组合数为C,所以至少有1名女生的选派方案有CC14种3将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A12种 B18种C36种 D54种解析:选B.先将1,2捆绑后放入信封中,有C种放法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有CC(种)放法,所以共有CCC18(种)放法4(2018广东肇庆统测)平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线,过这十个点中的任意两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是()A30 B29C28 D27解析:选B.过一个红点有CC123(条)直线;过两个红点有C6(条)直线,所以共有23629条直线,故选B.5某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()AAA种 BA54种CCA种 DC54种解析:选D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有C54种情况故选D.6从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有_种解析:男生和女生共7人,从7人中选出4人,有C种选法若选出的4人都是男生,有C种选法,故选出的4人中既有男生又有女生,共有CC34种不同的选法答案:347(2018郑州高二检测)从0,1,2,3,4,5这6个数中每次取3个不同的数,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这样的三位数有_个解析:先选取3个不同的数,有C种选法;然后把其中最大的数放在百位上,另2个不同的数放在十位和个位上,有A种放法,故共有CA40个三位数答案:408艺术节期间,秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A、B、C三个不同的演出场馆工作,每个演出场馆至少派一人若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作,则不同的分派方案有_种解析:(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作,每个演出场馆至少派一人的方法种数为CA36,甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为A6,故不同的分派方案有36630(种)答案:309某志愿者小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长现从中选5人去参加志愿活动,下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生;(2)两队长当选解:(1)一名女生,四名男生,故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有CC165(种)10有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其他5人既会划左舷又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?解:设集合A只会划左舷的3人,B只会划右舷的4人,C既会划左舷又会划右舷的5人先分类,以集合A为基准,划左舷的3个人中,有以下几类情况:A中有3人;A中有2人,C中有1人;A中有1人,C中有2人;C中有3人第类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在集合B,C中选3人,有C种选法,同理可得的选法种数故共CCCCCCCCCCC2 174种不同的选法B能力提升11(2018蚌埠高二检测)如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组其中可以构成三角形的组数为()A208 B204C200 D196解析:选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点,其组数为3C;二是4条竖线上的3个点,其组数为4C;三是4条对角线上的3个点,其组数为4C,所以可以构成三角形的组数为:C3C8C200,故选C.12在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析:定向分配问题,先分组后分配将8张奖券分四组,再分配给4个人分四组有两种方法:一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4个人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4个人有CA种分法所以不同的获奖情况有ACA243660种答案:6013(2018武汉高二检测)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?解:法一:(直接法)从0与1两个特殊值着眼,可分三类:(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有C种方法;0可在后两位,有C种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有C种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有CCC22个(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数有C22A个(3)0和1都不取,有不同的三位数C23A个综上所述,共有不同的三位数:CCC22C22AC23A432个法二:(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个,其中0在百位的有C22A个,这是不合题意的,故共有不同的三位数:C23AC22A432个14(选做题)已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?解:(1)先排前4次测试,只能取正品,有A种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有CAA种测法,再排余下4件的测试位置,有A种测法所以共有不同测试方法AAA103 680种(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法A(CC)A576种两个计数原理与排列、组合(强化练)一、选择题1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为()A7种B12种C64种 D81种解析:选B.要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件中任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法故共有4312种不同的配法2从n个人中选出两人,分别从事两项不同的工作,若选派方案的种数为72,则n的值为()A6 B9C12 D15解析:选B.因为A72,所以n9.3将4名大学生分配到A,B,C三个不同的学校实习,每个学校至少分配一人,若甲要求不到A学校,则不同的分配方案共有()A36种 B30种C24种 D20种解析:选C.根据题意,首先分配甲,有2种方法,再分配其余的三人:分两种情况,其中有一个人与甲在同一个学校,有A6种情况,没有人与甲在同一个学校,则有CA6种情况;则若甲要求不到A学校,则不同的分配方案有2(66)24种,故选C.4有三对师徒共6个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有()A72种 B54种C48种 D8种解析:选C.用分步乘法计数原理:第一步:先排每对师徒有AAA,第二步:将每对师徒当作一个整体进行排列有A种,由分步乘法计数原理共有A(A)348种5从0,2,4中取一个数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是()A36 B42C48 D54解析:选C.若从0,2,4中取一个数字是“0”,则“0”不放百位,有C种放法,再从1,3,5中取两个数字放在其他两位,有A种放法,共组成CA12个三位数;若从0,2,4中取的一个数字不是“0”,则有C种取法,再从1,3,5中取两个数字有C种取法,共组成CCA36个三位数所以所有不同的三位数有123648(个)6将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同的分配方案的种数为()A80 B120C140 D50解析:选A.首先选2个人放到甲组,共有C10种结果,再把剩下的3个人放到乙和丙两个小组,每组至少一人,共有CA6种结果,所以根据分步乘法计数原理知有10660种结果;当甲组中有三个人时,有CA20种结果所以共有602080种结果故选A.7安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作,每天安排一人,甲、乙、丙每人安排一天,丁安排三天,并且丁至少要有两天连续安排,则不同的安排方法种数为()A72种 B96种C120种 D156种解析:选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天,其余三天丁值日,故有A120种,其中丁没有连续的安排,安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔,任选3个安排丁,故有AC24种,故丁至少要有两天连续安排1202496种,故选B.8某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人),其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有()A27种 B30种C33种 D36种解析:选B.因为甲和丙同地,甲和乙不同地,所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案,2,2,1方案:甲,丙为一组,从余下3人选出2人组成一组,然后排列,共有:CA18种;3,1,1方案:在丁、戊中选出1人,与甲丙组成一组,然后排列,共有CA12种;所以不同的选派方案共有181230种故选B.9用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A324个 B216个C180个 D384个解析:选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个);个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有CACCCAC234(个)根据分类加法计数原理得到共有90234324(个)故选A.10在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为()A10 B11C12 D15解析:选B.由题意可分为3类第一类,任两个对应位置上的数字都不相同,有C种方法第二类,有1个对应位置上的数字相同,有C种方法第三类,有2个对应位置上的数字相同,有C种方法故共有CCC11(条),故选B.二、填空题11若89,则n_解析:(n5)(n6)189,即n211n600,解得n15或n4(舍去)答案:1512有5名男生和2名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,则不同的选法共有_种解析:由题意知,从7人中选出5人担任5个学科科代表,共有A2 520(种)不同的选法答案:2 52013(2018江西临川一中高二下学期月考)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂1种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色的方法有_种解析:若1,3不同色,则1,2,3,4必不同色,有3A72(种) 涂色方法;若1,3同色,有CA24(种)涂色方法根据分类加法计数原理可知,共有722496(种)涂色方法答案:9614从7,5,2,1,1,2,5,7中任取3个不同的数作为椭圆ax2by2c0的系数,则能确定的椭圆的个数为_解析:椭圆方程化为标准形式为1.由0,0,得a,b,c同号当a,b,c同为正数时,取三个不同的数有A种取法,可得A24个椭圆当a,b,c同为负数时,取三个不同的数有A种取法,可得A24个椭圆,但此时每个椭圆均与a,b,c同为正数时重复,如a7,b5,c2与a7,b5,c2对应的椭圆重复所以能确定的椭圆有24个答案:24三、解答题15现有10件产品,其中有2件次品,任意取出3件检查(1)若正品A被取到,则有多少种不同的取法?(2)恰有一件是次品的取法有多少种?(3)至少有一件是次品的取法有多少种?解:(1)C36(种)(2)从2件次品中任取1件,有C种取法,从8件正品中任取2件,有C种取法,由分步乘法计数原理得,不同的取法共有CC256种(3)法一:含1件次品的取法有CC种,含2件次品的取法有CC种,由分类加法计数原理得,不同的取法共有CCCC56864种法二:从10件产品中任取3件,取法有C种,不含次品的取法有C种,所以至少有1件次品的取法有CC64种167名班委中有A,B,C三人,有7种不同的职务现对7名班委进行职务具体分工(1)若正、副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任,则有多少种分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任,则有多少种分工方案?解:(1)先安排正、副班长有A种方法,再安排其余职务有A种方法由分步乘法计数原理知共有AA720种方法(2)7人的任意分工方案有A种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种,因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的方案有AAA3 600(种)175男5女共10个同学排成一行(1)女生都排在一起,有几种排法?(2)女生与男生相间,有几种排法?(3)任何两个男生都不相邻,有几种排法?(4)5名男生不排在一起,有几种排法?解:(1)将5名女生看作一人,就是6个元素的全排列,有A种排法又5名女生内部有A种排法,所以共有排法AA86 400种(2)男生自己排,女生也自己排,然后相间插入(此时有2种插法),所以女生与男生相间共有排法2AA28 800种(3)女生先排,女生之间及首尾共有6个空隙任取其中5个安插男生即可,因而任何男生都不相邻的排法共有AA86 400种(4)直接分类较复杂,可用间接法即从10个人的排列总数中,减去5名男生排在一起的排法数,得5名男生不排在一起的排法数为AAA3 542 400种18把4个男同志和4个女同志平均分成4组,到4辆公共汽车里参加售票劳动,如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法?(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志,有几种不同的分配方法?(3)男同志与女同志分别分组,有几种不同的分配方法?解:(1)男女合在一起共有8人,每个车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一个车,共有C种,再上第二个车共有C种,再上第三个车共有C种,最后上第四个车共有C种,按分步乘法计数原理有CCCC2 520种(2)要求男女各1人,因此先把男同志安排上车,共有A种不同方法,同理,女同志也有A种方法,由分步乘法计数原理,车上男女各1人的不同分配方法为AA576种(3)男女分别分组,4个男的平均分成两组共有3种,4个女的平均分成两组也有3种不同分法,这样分组方法就有339种,对于其中每一种分法上4辆车,又有A种上法,因而不同分配方法为9A216种- 配套讲稿:
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