《模型及基态性质》PPT课件.ppt
《《模型及基态性质》PPT课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《模型及基态性质》PPT课件.ppt(39页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
第一节模型及基态性质 一 模型和电子密度 二 单电子本征态和本征能量 三 基态和基态的能量 本节主要内容 自由电子气 自由电子费米气体 自由的 无相互作用的 遵从泡利原理的电子气 一 索末菲模型和电子密度 1 1模型及基态性质 1 模型 基本假设 1 忽略金属中电子和离子实之间的相互作用 自由电子假设 freeelectronapproximation 2 忽略金属中电子和电子之间的相互作用 独立电子假设 independentelectronapproximation 3 价电子速度服从费米 狄拉克分布 自由电子费米气体 freeelectronFermigas 4 不考虑电子和金属离子之间的碰撞 Nocollision 理想气体在温度恒定下可用气体密度来描述 与此类似 自由电子气体模型也可用电子密度n来描述 而且 n是唯一的一个独立的参量 电子的能量 动量 速度等都可以写成n的函数 2 电子密度 a 单位体积中的平均电子数n b 电子球的半径rs a 电子密度n 单位体积物质的摩尔数 阿伏伽德罗常数 原子的价电子数 m是元素的质量密度 电子密度n有两种常用的表示方法 Z是单个原子提供的传导电子数 NA 6 022 1023 A是元素的相对原子量 将每个电子平均占据的体积等效成球 用球的半径rs来表示电子密度的大小 例如 对于3价铁组成的金属晶体 电子密度为 b 表示法2 电子球的半径rs rs的大小约为0 1nm 量子力学中常用玻尔半径 Bohrradius 作为原子半径的量度单位 玻尔半径 SeeP4表1 1 二 单电子本征态和本征能量 建立单电子的运动方程 薛定谔方程 处理该问题的思路 选择一个研究对象 简单金属固体 利用索末菲模型 单电子问题 求解薛定谔方程 本征态和本征能量 由自由电子气体模型 N个原子和N个电子的多体问题转化为单电子问题 自由电子数目为 N 为计算方便 设金属是边长为L的立方体 内有N个原子 一个原子提供1个价电子 则金属的体积 V L3 按照量子力学假设 单电子的状态用波函数描述 且满足薛定谔方程 其中 V r 为电子在金属中的势能 为电子的本征能量 对边长为L的立方体 在自由电子气体模型下可设势阱的深度是无限的 取坐标轴沿着立方体的三个边 则粒子势能可表示为 1 薛定谔方程及其解 在自由电子模型下 由于忽略了电子和离子实 电子和电子之间的相互作用 所以金属内部的相互作用势能可取为零 因而薛定谔方程变为 电子的本征能量 电子的波函数 是电子位矢的函数 C为归一化常数 由正交归一化条件 这和电子在自由空间运动的方程一样 方程有平面波解 所以 波函数可写为 为波矢 其方向为平面波的传播方向 的大小与电子的德布罗意波长的关系为 把波函数 得到电子的本征能量 2 电子的动量 代入薛定谔方程 将动量算符 作用于电子的波函数得 所以 也是动量算符的本征态 3 电子的速度 相应的能量 边界条件的选取 既要考虑电子的实际运动情况 表面和内部 又要考虑数学上可解 4 波矢的取值 波矢的取值应由边界条件来确定 即电子的能量和动量都有经典对应 但是 经典中的平面波矢可取任意实数 对于电子来说 波矢应取什么值呢 常用边界条件 人们广泛使用的是周期性边界条件 periodicboundarycondition 又称为波恩 卡门 Born vonKarman 边条件 周期性边界条件 驻波边界条件 显然 对于一维 一维情形下 相当于首尾相接成环 从而既有有限尺寸 又消除了边界的存在 三维情形 可想象成L3的立方体在三个方向平移 填满了整个空间 从而当一个电子运动到表面时并不被反射回来 而是进入相对表面的对应点 波函数为行波 表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来 而是离开金属 同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来 周期性边条件恰好满足上述行波的特点 表明了选取该边条件的合理性 将周期性边界条件代入电子的波函数得 Wherethequantitynx ny nzareanyinteger 以波矢的三个分量为坐标轴的空间称为波矢空间或空间 5 波矢空间 space 和空间的态密度 所以 周期性边条件的选取 导致了波矢取值的量子化 从而 单电子的本征能量也取分立值 形成能级 nx ny nz取值为整数 意味着波矢取值是量子化的 金属中自由电子波矢 nx ny nz取值为任意整数 由于波矢取值是量子化的 它是描述金属中单电子态的适当量子数 所以 在空间中许可的值是用分立的点来表示的 每个点表示一个允许的单电子态 所以 代表点 单电子态 在空间是均匀分布的 由波矢的取值特点 可以看出 1 在波矢空间每个 波矢 状态代表点占有的体积为 2 波矢空间状态密度 单位体积中的状态代表点数 三 基态和基态能量 前面得到了索末菲模型下单电子的本征态和本征能量 那么 如何得到系统的基态和基态能量呢 1 N个电子的基态 费米球 费米面 电子的分布满足 能量最小原理和泡利不相容原理 我们已知在波矢空间状态密度 考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子 则单位相体积可容纳的电子数为 我们已知自由电子费米气体的单电子能级的能量 本征能 N电子的基态 T 0K 可从能量最低的 0态开始 从低到高 依次填充而得到 每个态两个电子 在空间中 具有相同能量的代表点所构成的面称为等能面 显然 由上式可知 等能面为球面 一定 由于N很大 在空间中 N个电子的占据区最后形成一个球 即所谓的费米球 Fermisphere 费米球相对应的半径称为费米波矢 Fermiwavevector 用kF来表示 在k空间中 把N个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面 Feimisurface 基态时 T 0k 电子填充的最高能级 称为费米能级 F 基态时 T 0k N个电子填满整个费米球 所以 所以 费米波矢kF为 n为电子密度 从而 相关的电子的费米能量 F 费米动量pF 费米速度 F 费密温度TF等都可以表示为电子密度n的函数 这也就是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度n来描述 而且 n是仅有的一个独立参量的原因 2 基态能量 自由电子气体的基态能量E 可由费密球内所有单电子能级的能量相加得到 因子2源于泡利原理 由此 单位体积自由电子气体的基态能量为 考虑到电子数密度很大 因而上述求和可过渡到积分 变为积分得 得 所以 单位体积自由电子气体的基态能为 考虑到 得到 和 由此可得每个电子的平均能量为 上述求解是在空间进行的 涉及到矢量积分 在一些实际问题中 比较麻烦 为此 人们常把对的积分化为对能量的积分 从而引入能态密度 3 能态密度 1 定义 若在能量E E dE范围内存在 Z个单电子态 则能态密度N E 定义为 单位能量间隔内 包含自旋的单电子态数 称为能态密度 教材中引入的是单位体积的能态密度 即单位体积样品中 单位能量间隔内 包含自旋的单电子态数 用g 表示 显然 能量 d 范围内存在的单电子态数为 对于本章所涉及的自由电子气体模型 在k空间中 和 d 的等能面球壳 分别对应k和k dk 同学们自己验证该对应关系 下面计算自由电子气体模型下单位体积的能态密度 思路 利用在k空间中波矢密度公式 考虑泡利原理 求得能量间隔在d 内的单电子态数目dN即可 k空间中 k k dk对应的体积 我们已知在波矢空间状态密度 所以 能量间隔在d 内的单电子态数目dN为 由自由电子的本征能量公式 所以 又 所以 单位体积的能态密度 利用单位体积的能态密度 同样可求得自由电子气在基态时的总能量E 费米球内所有单电子能级和 和基态时每个电子的平均能量 基态能量 单位体积的能态密度与电子本征能量 的平方根成正比 这和前面的计算结果一致 类似的基态时每个电子的平均能量为 同学们课下自己推算 SeeP8 由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量 这与经典的结果是截然不同的 按照经典的自由电子气体 Drude 的模型 电子在T 0时的平均能量为零 在统计物理中 把体系与经典行为的偏离 称为简并性 degeneracy 因此 在T 0K时 金属自由电子气是完全简并的 这一节主要讨论了自由电子费米气体的单电子本征能量 以及在基态 T 0K 时自由电子气体的能量 此时 电子的分布遵从能量最低原理和泡利原理 当T 0K时 电子将受到热激发 此时 电子的分布如何呢- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 模型及基态性质 模型 基态 性质 PPT 课件
装配图网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文