重积分的对称性与轮换对称性.ppt
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重积分的对称性与轮换对称性 madeby微电四班郭予健李尚栋范兴勇 对称性 对于二重积分的计算 我们总是将其化为二次定积分来完成的 而在定积分的计算中 若遇到对称区间 则有下面非常简洁的结论 当f x 在区间上为连续的奇函数时 当f x 在区间上为连续的偶函数时 这个结论 常可简化计算奇 偶函数在对称于原点的区间上的定积分 在计算二重积分时 若积分区域具有某种对称性 是否也有相应的结论呢 回答是肯定的 下面 我们将此结论类似地推广到二重积分 解 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 如果积分域D关于直线y ax b对称 则二重积分其中D1为D在以直线y ax b为轴的右半平面部分 证明 若区域D对称于直线y ax b 不妨设a 0 即倾斜角为锐角 首先 平移坐标轴 得坐标系x o y 如上图即 其次 将坐标系x o y 沿逆时针方向旋转 旋转角为 tan a 使x 轴与直线y ax b重合 得新坐标系uo v 雅可比行列式为 即证 解 由于积分区域D关于直线x 1对称 被积函数在区域D上关于 x 1 为奇函数y在区域D上关于 x 1 为偶函数 补充 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标面的对称性 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性 轮换对称性 其中D是平面x 0 y 0 z 0 x y z 1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 解 因为积分曲面D关于x y z具有轮换对称性 所以 谢谢- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 积分 对称性 轮换
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