函数导数及其应用.ppt
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1 了解构成函数的要素 了解映射的概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单地应用 1 函数与映射的概念 数集 集 合 任意 任意 唯一确 定 都有唯一确定 f A B f A B 思考探究1 映射与函数有什么区别 提示 函数是特殊的映射 二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合 可以不是数集 而函数中的两个集合必须是非空数集 2 函数的相关概念 1 函数的三要素是 和 2 相等函数如果两个函数的和完全一致 则这两个函数相等 定义域 值域 对应关系 定义域 对应关系 思考探究2 如果两个函数的定义域与值域相同 则它们是否为相等函数 提示 不一定 如函数f x x和函数g x x的定义域和值域均为R 但两者显然不是同一函数 3 函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法 列表法 图象法 1 若对应关系f A B是从集合A到集合B的一个映射 则下面说法错误的是 A A中的每一个元素在集合B中都有对应元素B A中两个元素在B中的对应元素必定不同C B中两个元素若在A中有对应元素 则它们必定不同D B中的元素在A中可能没有对应元素 解析 根据映射的概念可知 A中两个元素可以和B中的同一个元素对应 即允许多对一 不允许一对多 答案 B 2 如图所示 可表示函数y f x 的图象的只可能是 解析 A B C选项中都有 一对二 情形 不符合函数定义中从集合A到集合B应为 一一对应 或 多对一对应 只有D符合函数定义 故选D 答案 D 3 下列各组函数是同一函数的是 A y 与y 1B y 与y C y 与y 2x 1D y 与y x 解析 y 排除A y 排除B y 排除C 答案 D 4 若f x x2 bx c 且f 1 0 f 3 0 则f 1 解析 f x x2 bx c f 1 0 f 3 0 1 3 b 1 3 c 即b 4 c 3 f x x2 4x 3 f 1 1 4 3 8 答案 8 5 设函数f x 若f x 10 则x 解析 当x 0时 2x 0 故不合题意 当x 0时 x2 1 10 x 3 答案 3 对于映射f A B的理解要抓住以下三点 1 集合A B及对应关系f是确定的 是一个整体 是一个系统 2 对应关系f具有方向性 即强调从集合A到集合B的对应 它与从B到A的对应关系是不同的 3 对于A中的任意元素a 在B中有唯一元素b与之相对应 其要点在 任意 唯一 两词上 已知映射f A B 其中A B R 对应关系f x y x2 2x 对于实数k B 在集合A中不存在元素与之相对应 则k的取值范围是 A k 1B k 1C k 1D k 1 思路点拨 A中不存在元素与k对应 方程 x2 2x k无解 利用判别式可以求k的范围 课堂笔记 由题意 方程 x2 2x k无实数根 也就是x2 2x k 0无实数根 2 2 4k 4 1 k 0 k 1 当k 1时 集合A中不存在元素与实数k B对应 答案 A 若 15 B 则在集合A中与之对应的元素x为何值 解 15 B x2 2x 15 即x2 2x 15 0解之得x 3或x 5 求函数解析式的常用方法1 配凑法 对f g x 的解析式进行配凑变形 使它能用g x 表示出来 再用x代替两边的所有 g x 即可 2 换元法 设t g x 解出x 代入f g x 得f t 的解析式即可 3 待定系数法 若已知f x 的解析式的类型 设出它的一般形式 根据特殊值 确定相关的系数即可 4 赋值法 给变量赋予某些特殊值 从而求出其解析式 5 解方程组法 利用已给定的关系式 构造出一个新的关系式 通过解关于f x 的方程组求f x 特别警示 函数的解析式是函数表示法的一种 求函数的解析式一定要说明函数的定义域 1 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 的解析式 2 已知 求f x 的解析式 思路点拨 课堂笔记 1 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax 5a b 即ax 5a b 2x 17 不论x为何值都成立 解得 f x 2x 7 2 法一 设t 1 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 2t 1 2t 2 t2 1 f x x2 1 x 1 法二 x 2 2 2 1 1 1 2 1 f 1 1 2 1 1 1 即f x x2 1 x 1 解 f x 2f 3x 以代x 则f 2f x 3 由 联立消去f 得 f x x x 0 故f x x x 0 若将 2 中的条件改变 f x 2f 3x 如何求解 分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数 解决与分段函数有关的问题 最重要的就是逻辑划分思想 即将问题分段解决 还要熟练掌握研究分段函数性质 奇偶性 单调性 的一般方法 特别警示 分段函数的解析式虽然由几部分构成 但它表示的是一个函数 设函数f x 若f 4 f 0 f 2 2 则关于x的方程f x x的解的个数为 A 1B 2C 3D 4 思路点拨 求b c 求f x 的解析式 解方程f x x 课堂笔记 法一 若x 0 f x x2 bx c f 4 f 0 f 2 2 解得 f x 当x 0时 由f x x 得x2 4x 2 x 解得x 2 或x 1 当x 0时 由f x x 得x 2 方程f x x有3个解 法二 由f 4 f 0 且f 2 2 可得f x x2 bx c的对称轴是x 2 且顶点为 2 2 于是可得到f x 的简图 如图所示 方程f x x的解的个数就是函数图象y f x 与y x的图象的交点的个数 所以有3个解 答案 C 分段函数是高考的热点内容 以考查求分段函数的函数值为主 属容易题 但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中 使试题难度陡然增加 这也代表了一种新的考查方向 考题印证 2009 山东高考 定义在R上的函数f x 满足f x 则f 2009 的值为 A 1B 0C 1D 2 解析 x 0时 f x f x 1 f x 2 又f x 1 f x f x 1 两式相加得f x 1 f x 2 即f x 3 f x 故f x 6 f x 3 f x 故函数周期为6 f 2009 f 6 334 5 f 5 f 1 log22 1 答案 C 自主体验 已知符号函数sgnx 则不等式 x 1 sgnx 2的解集为 解析 当x 0时 sgnx 1 由 x 1 sgnx 2得x 1 当x 0时 sgnx 0 不等式 x 1 sgnx 2解集为 当x 0时 sgn 1 由不等式 x 1 sgnx 2得x 3 综上可知不等式 x 1 sgnx 2的解集为 x x 3或x 1 答案 x x 3或x 1 1 已知f x sinx是集合A A 0 2 到集合B 0 的一个映射 则集合A中的元素个数最多有 A 4个B 5个C 6个D 7个 解析 A 0 2 由 sinx 0得x 0 2 由 sinx 得x A中最多有5个元素 答案 B 2 2010 枣庄模拟 已知函数f x 那么f f 的值为 A 9B C 9D 解析 由于f f f log2 f 2 3 2 答案 B 3 若f x 对任意实数x恒有2f x f x 3x 1 则f x A x 1B x 1C 2x 1D 3x 3 解析 2f x f x 3x 1 用 x代x得 2f x f x 3x 1 2 得 3f x 3x 3 f x x 1 答案 B 解析 f x x2 2x a f bx b2x2 2bx a 9x2 6x 2 则 a 2 b 3 f x x2 2x 2 则f ax b f 2x 3 2x 3 2 2 2x 3 2 4x2 8x 5 4 已知函数f x x2 2x a f bx 9x2 6x 2 其中x R a b为常数 则f ax b 答案 4x2 8x 5 5 已知函数f x 满足f ab f a f b 且f 2 p f 3 q 则f 36 解析 f 36 f 6 f 6 2f 2 3 2 f 2 f 3 2 p q 答案 2 p q 6 已知定义域为R的函数f x 满足f f x x2 x f x x2 x 1 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 2 设有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 求函数f x 的解析式 解 1 因为对任意x R有f f x x2 x f x x2 x 所以f f 2 22 2 f 2 22 2 又f 2 3 从而f 1 1 又f 0 a 则f a 02 0 a 02 0 即f a a 2 因为对任意x R 有f f x x2 x f x x2 x 又有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 故对任意x R 有f x x2 x x0 在上式中令x x0 有f x0 x0 x0 又因为f x0 x0 所以x0 0 故x0 0或x0 1 若x0 0 则f x x2 x 但方程x2 x x有两个不相同实根 与题设条件矛盾 故x0 0 若x0 1 则有f x x2 x 1 易验证该函数满足题设条件 综上 函数f x 的解析式为f x x2 x 1- 配套讲稿:
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- 函数 导数 及其 应用
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