基于EMD与Laplace小波相关滤波的运行模态分析方法及实验研究【含CAD图纸+文档】
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翻译论文:S.Mitra*,K.P.Sinhamahapatra,2D simulation of fluid-structure interaction using finite element method利用有限元方法对流固耦合的二维模拟S.Mitra*,K.P.Sinhamahapatra摘要:本文论述了考虑耦合流体和结构动力学的流体结构系统的基于压力的有限元分析。本方法使用二维流体单元和结构线单元的数值模拟问题。认为无和可压缩,流体的运动方程以单独的压力变量表示。耦合系统的解决方案是通过分别将这两个系统与在流固界面执行的迭代方案的互动影响得到解决的。非不同的压力和位移同时通过迭代获得。在加权残值法的制定和有限元迭代解法的程序中有详细的解释中,还有一些数值例子。数值结果与现有的解决方案,以验证流固耦合晃动的代码。 关键词:有限元;加权残值法;纽马克预测校正方法;压力提法;晃动1. 导言液体储存罐因外部前引所产生的瞬态响应可以强烈地影响灵活的控制结构和载流之间的相互作用。弹性液体储藏罐的动力响应的特点显然不同于刚性液体储存罐。液体由于钼化引起的振动结构产生了流体力学的压力。这些压力修改变形,而这反过来的修改流体的压力又导致他们自身。据观察,灵活的集装箱中的流体压力显著高于在相应的刚性容器中的流体压力,是由于其所包含的液体和弹性墙壁之间的耦合效应。早先的理论研究耦合晃动动力学,包括在分析和数值治疗下,最经常研究圆柱容器,而相比之下,矩形容器则得到较少关注。数值治疗对液体和结构动力大多采用有限元技术。在大多数情况下,液体假定无和不可能的议案是不合理的。然而,穆勒1表明,液体压缩影响频率耦合系统,可压缩液体结构系统的频率低于不可压缩液体结构系统的频率。在所报告的研究中,结构运动和速度潜在功能被认为是代表无旋液动议最受青睐的变数。然后,动水压力要求在每个时间步长内通信,以确定采取行动的耦合部队结构。在这方面,利用水压变量代表发送流体的运动具有一定的优势。首先,在以压力为基础的提法中,压缩液体有一种自然的方式,不增加计算的难度及成本。其次,动力压确保在解决变量、在找到压力的额外的计算步骤、在以内在的潜力为基础的公式化中,是不必要的。这可以根据问题的大小和使用的时间集成技术从而节省大量的计算时间。在过去几年,一些工程部门的这些问题的重要性已经引起了研究人员的注意。晃动的载液体及其相关的问题已有大量的理论和实验研究。那个文献报道对不同的实际几何形状的晃动模式进行了各种分析和数值模拟技术制定。然而,大多数的研究报告关注的是刚性储存罐。在这些研究中,结构的灵活性和自由表面晃动的影响并没有得到妥善的解决。所知本作者,据公开文学报道,极少数的研究,在液体晃动问题的分析或数值解决方案上,部分地填补了灵活的集装箱并与之相关的耦合的相互作用。易卜拉欣2在他的书中描述了液体晃动理论的基础。这本书系统地描述了在自成一体的和连贯的形式下其基本理论和先进的分析和实验技术,并且它几乎涉及航天器、贮水箱、公路车辆储存罐、船只和地面运动下的高架水塔液体晃动动力学的每一个部分。这本书还包括详尽的文献调查。莫朗和Ohayon3针对一个部分充满可压缩液体的弹性油箱系统的变模式的计算,提出了两个有限元方法。作者提出了一个直接在三个外地混合变模式和变模态相互作用的模式的办法,它允许在一个僵硬的一动不动的和水模式的附件中使用有关声音的特征模式。哈龙4通过用数值和实验方法对灵活的圆柱形液体储藏罐进行研究从而来调查地震反应。其结构和流体道水管是分别模仿使用有限元方法和辽金输入法。在这项研究中,考虑了在壁振动上的静态箍应力的影响和基础灵活性的影响。一些研究人员1.5-7在有限元离散的流体域内采用了动水压力作为未知变量。但是,在这种情况下,由此产生的方程导致非对称矩阵并且它需要建立一个特殊目的的计算机程序7。Zienkiewicz等人5,代表了在位移潜力的条件下方程的流体域。在这种情况下,耦合运动方程变得不对称,但在非旋转条件下的流体运动是令人满意的。刘和马6提出了考虑线性自由表面晃动效果的地震分析充液系统的联结流体结构有限元方法。许多研究人员8-10创制了在位移条件下的流体方程。基于位移的方程的优势是,流体要素可以很容易地与使用标准有限元素装配程序的结构要素相耦合。但是,尤其是三维分析,自由度流体域显著增加。此外,流体迁移必须满足非旋转条件,否则可能发生零频率杂散模式。Fenves等人11,对流体的控制方程采用速度和压力变量进行测试。然而,随着流体域内未知参数的大量增加,对计算时间和存储的要求也迅速增长。因此,对一个大的计算机存储的需求和耗费极大计算时间的费用通常使得分析不切实际。那个解决耦合系统的方案可通过分别与这两个系统的相互作用的影响的强制执行来完成12-14或通过耦合解决14。隔离方法的主要优势是,联结外地的问题都可以通过处理顺序的方式得到解决。在每个领域和在各自的耦合条件可互动效应的更新变数领域内,分析得以实施。巴布和巴氏15建立了有限元数值方案,以此来计算自由面波振幅及在薄壁容器因外部激励引起的流体压力。金等人16,提出了一种在三维矩形弹性罐体中研究液体晃动的分析方法。作者表明,边缘墙壁上的三维矩形船只约束对动态耦合流体结构的相互作用产生了重大影响。然而,耦合振动模式的基本频率以一堵墙的长与宽的比例迅速接近其二维值的长度。如果有足够的津贴,这一事实就可能用二维模型得到验证。特别是,在动态分析一个典型湿储存核乏燃料组件的矩形容量结构,这两个三维模型希望能提供具有晃动特点的合理估计。戈等人17报告了在两维和三维矩形容器对联结晃动动力学问题分析的变边界有限元方程。作者已经成功将其计算与进行的实验相比较。伯姆德兹等人18,在一个有着弹性挡板的长方形刚性容器内利用有限元法计算晃动模式。液体运动的影响,通过一个附加质量的公式化,用标准分段线性四面体有限元离散。有人企图在本研究中采用矩形罐体大长度与身高的比率分析了凑发光晃动动力学。二维模型考虑了坦克的横截面方向的激励和模拟墙作为悬臂梁。该议案的载液体代表了通过小扰动线性波动方程,与液体的深度和波长相比,它假定该自由表面的干扰是小规模的,使得自由表面状况呈线性。这固有的优点使得自由表面的边界的时间是固定的,从而大大简化了数值解的程序。当激动人心的频率并不是非常接近自然晃动频率时,这种假设是很有道理的。有限元技术是用来离散结构和流体空间域的。有限元半离散耦合方程组的综合性的时间使用采用顺序预估多校正法或完全耦合算法。筹措的结构和流体的有限元动力学方程的discretizations的存在和其他两年时间的整合技术讨论如下。在此项研究中还包含了几个样本计算。2. 数学表述考虑将侧壁作为悬臂梁,在二个层面弹性矩形容器中进行晃动分析。图1是一个典型的液罐车系统。底部墙被视为刚性,墙壁上的动水压力产生的原因是由于自由表面振荡引起墙壁的转移和移动,而这反过来又改变了墙壁的自由表面振荡和流体动力。图2是双向互动力量。本次分析的流体的特点是,一个单一的压力变量和通过计算接口动力实现的耦合。这种方法被广泛使用,一般要一个小得多的变量来描述流体运动,在这个意义上其已具有优势。过剩动水压力是未知的变数,接口耦合动力在每个时间步长可直图1 集装箱和液体域边界和典型的网格图2 耦合场与互动力量图3 伯努利梁元件接计算,这可以显著地减少计算时间。 图4 形状函数2.1 结构域使用伯努利梁元件横向和旋转变形的容器壁的离散如图3所示。这一部分的刚度和质量矩阵分别由k和m代表。结构元素的大众单位长度是,和A分别代表的是梁元素的质量密度和横截面积。结构位移和加速度内的一个因素是近似使用其交点所赋予的价值作为和其中(d)是载体的时间依赖性节点位移和,在一个要素直角坐标系中插值函数(NS)的结构元素定义如图4所示。然后,梁元件的一致质量矩阵元素可写成假设线性弹性材料的应力应变关系和应变位移关系,刚度矩阵的元素可从以下关系中获得:关于整合利用元素形状职能,元素刚度k和一致质量矩阵模式m如下:,容器的结构的有限元半离散动力学方程,现在可以给出以下熟悉的书面形式(1)1,5,13,14。考虑了在无阻尼情况下的结构运动组装全部一致的质量矩阵MS,刚度矩阵K和位移矢量d。所有外加荷载包括Fext。术语QTp代表流固耦合,其中p是动水压力的载体。那个耦合矩阵Q 由(2)给出。 (1) (2)其中表示该集装箱液接口结构表面正常的单位载体。NS和Nf分别表示形状的结构功能和流体域。表示那个基地激发或者地面加速度。2.2 流体域所载液体的晃动,它已经指出,粘度和可压缩流体的影响通常非常小,而且大多数研究已经成功地认为不可压缩无旋流体运动具有高度的准确性2-11,15-18。虽然压缩在刚性约束容器内几乎不影响晃动的均匀流体,如果晃动的液体是不均匀的或者容器是弹性的,它就会对晃动做出反应1。根据这些意见,本有限元认同,一个不可压缩均匀流体和控制方程,这就是著名的波动方程。过剩的压力变化能(P)是来自于物理守恒定律。方程是 in (3)如果是流体域,c是流体中的声波速度。二维运动中在(x,y)平面上与过剩压力p(x,y,t),该方程可明确表示为 in (4)压力的公式化在位移或以速度势为基础的提法上有一定的优势。与位移的公式化不同,这一提法中未知的数目每节点只有一个。这大大节省了计算机存储和运算时间。节省的存储及时间将对解决大三维问题更加重要。此外,在结构流体界面上的压力场能直接获得不同于位移和潜在的方程,在那里,压力必须从速度或位移或它们潜在的方程计算。这对于解决流固耦合问题有利的。在界面上的压力必须在每个时间步长计算。除了这些主要的优势之外,在压力提法上,压缩来自于一种自然的方式,它可以保留而不需要承担大量的额外的努力和成本。一般而言,流体边界是由三种类型的边界组成。它们是固液界面边界,自由表面边界,不反射型或不辐射型边界。对于容器中的液体晃动,辐射型边界是可以忽视的。图1显示了经缜密考虑过的容器配置、有关边界、术语和定义。这些边界合适的约束条件5,13,19,20如下:1.固液界面边界。固液界面上正常位移的连续性导致下列线性问题关系: on Btw (5)其中Btw表示罐壁。界面边界B1=Btw。表示接口的正常加速度。2.自由表面边界。自由线性表面边界约束条件由式子(6a)、(6b)确定。 (6a) on Bf (6b)3.底界。考虑到底部边界是刚性的,在储存罐的底部总边界是,其定义如图1。 on Btb (7)容器中流体运动的半离散方程可用于耦合晃动动力学。方程中通过流体与结构接触面边界条件出现的正常加速度,现在包括结构性位移(d)以及基地激发(g)。积分形式的控制方程和边界条件可以投中一个加权残值的形式如下: (8)其中是权重函数。使用格林-高斯定理和引进有限元逼近上述方程从而化成了以下方程:上述方程可改写为 (9)上述方程中,nf是流体元件的总数。在固液界面处包含一个元件的结构的正常加速度可以近似使用用于结构动力学的形状功能。假设结构性元件的总数是ns,Eq. (9)可以写成 (10)流体系统的半离散方程(10)可以写成 (11)其中Mf和Kf分别表示组装球体质量和液体的刚度矩阵。变量d表示球体结构位移,p表示交点压力,Ff是外部负载。下标了“s”和“f”分别表示固体和流体道水管,A叠加点代表时间导数。耦合矩阵Q转移到加速结构的流体域和流体压力的结构域。有两种办法求解耦合方程组。在连续或分开的办法中,每个系统用已知的其他系统得到独立解决。在完全耦合或同步的办法中,这两个系统同时作为一个单一的系统得到解决。3. 时间一体化的耦合场方程3.1 时序预测多校正计划两者中任一系统在时间步长(n+1)的主要二阶常微分方程可以写成 (12)下标下降因为它可用于任何领域。该增强的动力条件适用于武力、指定边界条件和互动方面的其他领域。在预测阶段外地变量表示为 (13) (14) (15)其中i是迭代计数和 (16) (17)这里和是纽马克参数,是时间步长。在校正解决方案阶段,形成并解决了以下方程: (18)这里 (19)和 (20)一旦增加在该领域取得的变量,外地变量及其衍生物的更新如下: (21) (22) (23)最后,在外地变量对规范的增量的一致检查与总场变量的规范相比,其结果如下: (e=指定公差) (24)如果“否” ,并转到均衡器。(18)表示下一个迭代。 如果“是”,并转到均衡器。(12)表示下一个时间步长。稳定的标准,因此,时间步长的纽马克集成耦合问题取决于网格集成、预测公式和计算路径。保罗的论文里包括照明分析14。3.2 完全耦合的计划(同时解决方案)均衡器(1)和(11)可以结合起来,以取得完整的流体结构动力相互作用方程如下: (25)解决上述非标准非对称系统需要专门的办法。困难可以通过重新在一个对称的形式下安排均衡器(25)避免。例如,均衡器(25)的第一行,耦合结构动力学方程可预先乘以Ms-1 和重新安排,以获取结构加速作为 (26)代替上述方程中的第二排均衡器(25)的结果是或 (27) 对前乘法与KsMs-1的结构动力学方程,可以用以下形式写出: (28)均衡器(27)和(28)耦合将以以下形式体现: (29)上述矩阵方程中的右手边矢量设定为零的自由振动分析。执行该算法需要大量核心存储,因为矩阵中的第二项内的均衡器(29)是完全的矩阵,它不同于原始的带状质量和刚度矩阵。因此,这种做法需要大量的计算。为了尽量减少计算,在所有的时间依赖性解决方案中提出的这项研究中,采用的是连续的办法.完全耦合方法仅仅适用于自由振动研究。4 . 结果和讨论研究认为,矩形槽是一个高19.6米,宽12.3米,载液体(水)时的深度为11.2米的系统。事实上,金等人认为,在这项分析研究中,它是截面56米19.6米12.3米的矩形储存罐16。罐体壁厚1.2米,这通常是典型的用以放射性和热保护的核废燃料储存罐。结构材料密度为2300kg/m3,弹性模量为2.07761010帕。其所包含的液体是水,其密度为1000 kg/m3。坐标系统和一些术语的定义如图1所示。图5显示在第一悬臂模式中变形侧壁的两个模态形状是突出的。图5a中罐体壁都是朝同一方向(在这种情况下向内)导致变形罐体处于对称形状,所以,该模式被称为对称模式。一个侧壁是其他方面镜像墙的罐体中心线。图5b中变形的侧壁再次处于第一悬臂梁模式,但现在的侧壁朝相反的方向,一个对内,其他向外。 这个模式被称为反对称模式。由于水的自由表面和集装箱的结构都参加振荡,振荡模式可称为耦合流体结构模式。在这两种情况下,液体自由表面的形状由正弦位移高波数组成。这表明,较高的晃动模式在耦合振荡下很剧烈。那个自由表面位移的规模比结构位移的规模大一个命令左右。图中结构位移高度放大以便显示更清晰。图5 结构模态形状(a)第一对称结构模式 (b)第一反对称结构模式图6在某一特定瞬间弹性罐壁上的动水压力分布第一耦合流体结构振荡模式的固有频率恰好是对称的模式,因为计算出的反罐体系统频率是20.94rad / s,而干燥的自然频率30.0rad / s。如果忽视压缩,频率是21.18rad / s。相应的反对称模式有可压缩水时频率是21.31rad / s,有不可压缩水时的频率是21.64rad / s 。对反罐体系统的动态研究,新斯科细亚省埃尔森特罗地震地面加速度被用于上面提到的罐体配置的长侧壁作为基础激发运行正常,例如,沿着56米长的罐体壁。所以,本报告的分析采用19.6米12.3米的截面。图6是在某一特定瞬间矩形罐体壁上的动水压力。在金等人的报告中,采用二维耦合边界有限元法得到了比较令人满意的结果16。弹性墙壁的压力远远高于等效的刚性墙壁,并且分配是完全不同的性质。那个最大动水压力不再出现在以墙为基正如在刚性的情况下,但转变上升的距离离基约2HL/ 3。随着大型总体峰动水压力的向上移动在压力上的增加意味着,所施加的动力载荷引起的弯矩远远大于刚性壁的分析预测。图7 在某些瞬间壁上的动水压力分布图8 在一个19.6米12.3米,水深1.2米的弹性薄壁罐体左侧壁上自由表面位移 (壁厚1.2米)金等人认为,本计算和计算之间的差异16可能是由于略有不同的时间的考虑和压缩的影响和自由表面晃动的运动。然而金等人16给出了压力相应的峰基剪切;在目前的解决方案中,考虑了左边自由表面节点即时相应的峰值波幅。此外,金等人16没有考虑水的压缩,也没有充分考虑到晃动的运动。图7是罐体壁压力的时间演化。看来,分布的特点需要一些时间去发展。图8是考虑此例下的自由表面位移历史。自由表面位移几乎与刚性的例子完全相同。因为壁很厚,晃动运动的弹性的影响几乎是微不足道的。较高模式的贡献有边际。然而,从图6中观察到,对动水压力的影响是相当大的。这表明惯性反应,例如,液态反应由于结构加速比晃动的反应更重要。图9 由于正弦基激励在某一特定瞬间(1.2s)20米10米弹性罐壁的动水压力分布图10 20米10米,其中水深9.0米的弹性壁罐的自由表面位移(壁厚0.45米)图9是容量为50米20米10米,其内水的高度为9米的罐壁的动水压力分布。罐体壁厚为1米。罐体材料具有相同的弹性模量,即2.07761010Pa ,但密度为2400kg/m3,正弦振幅基加速度为1.0m/s2和频率为0.4424Hz。其适用于正常的长侧壁而作为输入动力。这种情况下令人兴奋的频率与联结自然晃动的频率是相隔甚远的。然而,动水压力的分布表明了特有的耦合行为。在早先的即时反应,发现峰值点距离基低一点。尽管几乎与罐体构造相同,在这种情况下动水压力的峰值点,大大高于早先的例子。这可能是由于不同的相对大量的流体和结构参加了这项运动。如果大规模的结构减少相对大量的液体,峰值压力似乎高一些。剩下的其他因素,或多或少得到改变。这还表明壁上动水压力惯性响应的重要性。图10是1940年,尺寸为20米10米,液体深度为9.0米罐体左壁自由表面位移。在这种情况下,罐体壁厚0.45米。壁弹性的影响趋于主导地位,是因为它的厚度减少或弹性增加的和晃动运动的放大。戈等人17也提出了类似的意见。晃动的位移相对比较大,更高的反应模式的出现显然是事实。由此看来,墙弹性晃动波振幅的影响取决于互动模式。如果是由于壁的灵活性的互动模式,远离纯晃动模式,其影响将会很小。5. 结论以压力为基础的辽金有限元代码可以处理一个矩形容器中的液体晃动,其已经得到发展并伴随着结构动力学代码。分析仅限于线性问题的意义上,只有小振幅波(相对于液体深度)已经假定。在计算方面,与速度潜力相比,压力的公式化具有一定的优势,以位移为基础的提法,因为一些未知的每个节点上只有一个。同样的,结构流体界面的压力可以直接获得,这是一个重大的计算优势耦合仿真。时间整合的进行是使用顺序办法或完全耦合的方法。在顺序方法耦合效应是通过迭代。顺序方法需要少得多的存储和时间。该方法适用于一些问题和一些典型的提出了评估的准确性和适用性的方法的结果。耦合现象的发现在流固耦合分析中具有重要意义。流体力学压力往往是扩增并且其分布不同于相应的刚性容器。压力分布开发罐体墙到更高弯矩。那个晃动运动放大增加壁的弹性。参考资料1 W.C. 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However, the stable white noise excitation in the mechanical equipment can not be achieved, so This paper combines Empirical mode decomposition method with Laplace wavelet correlation filtering method together, for the modal parameter identification method of structure of different machinery and equipment, Laplace wavelet correlation filtering method can capture the impulse response signal in a strong noise or other interference accurately.In order to identify the natural frequencies, damping ratio of modal parameters of the structure,etc.However,when the multi-modal response signal of structure bands superimposed together,This method is difficult to obtain all-order modal frequencies and damping ratios accurately.EMD method can decompose signal adaptively into a number of intrinsic mode functions. Based on this,the paper also extracts modal parameters of static structures by the impact of the extraction and modal analysis of rotation axis which running in the structural process. In this paper,the accurate extraction of modal parameter for machinery and equipment provides a more reliable basis.Electrical work carried out for the system dynamic signal processing and fault diagnosis has laid a good foundation.Key words:Operational modal analysis;Empirical mode decomposition;Laplace wavelet; Correlation filtering目 录引言11 绪论21.1 运行模态分析发展趋势和应用现状21.2经验模式分解的来历和应用现状31.3 Laplace小波的发展和应用现状41.4 论文的整体思路52 模态分析介绍62.1模态分析简介62.2 模态分析方法的基本过程62.3 模态分析的定义及应用73 经验模式分解及端点效应解决方法83.1基本模式分量83.2 EMD方法的基本原理93.3 基于余弦函数窗的端点效应解决方法113.4 EMD方法举例134 静态结构冲击激励条件下的模态参数提取144.1 Laplace小波相关滤波144.1.1Laplace小波的定义154.1.2Laplace小波的特性154.1.3Laplace小波相关滤波法164.2 基于EMD的Laplace小波模态参数识别方法164.2.1直接采用Laplace小波相关滤波法的不足164.2.2基于EMD的Laplace小波模态参数识别方法194.3 静态梁结构冲击激励下的模态参数提取234.4 静态轴结构冲击激励下的模态参数提取275 车床主轴在运行状态下模态参数的提取296 结论32谢 辞33参考文献34引言模态分析是研究结构动力特性一种近代方法,是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。运行模态分析(Operational modal analysis, OMA)则是一类有效的模态分析方法,当运行中的结构受到稳定的白噪声激励时,该方法可以准确地进行模态参数提取。然而稳定的白噪声激励在机械设备中无法实现,因此可结合若干信号处理方法,研究基于经验模式分解(EMD)与Laplace小波相关滤波的模态分析方法,针对于不同机械设备的结构模态参数识别方法,分别进行静态结构在冲击激励下的模态参数提取和旋转主轴结构运行过程中的模态分析。仿真信号的计算结果表明可以得到精确的固有频率和阻尼比,悬臂梁力锤激励实验结果表明该方法在实际结构的模态参数识别中非常有效。通过模态分析方法可以弄清楚结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性,因而预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。所以,模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数,为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。1 绪论1.1 运行模态分析的发展趋势和应用现状结构模态分析技术发展至今已有30多年的历史,主要可归纳为3大类方法:一是基于计算机仿真的有限元分析法(Finite Element Analysis, FEA);二是基于输入(激励)输出(响应)模态试验的试验模态分析法(Experimental Modal Analysis, EMA);三是基于仅有输出(响应)模态试验的运行模态分析法(Operational Modal Analysis, OMA)。传统的FEA属结构动力学正问题,随着计算机技术的快速发展得到了极大的提高,但受无法准确描述复杂边界条件、结构物理参数和部件连接状态等不确定性因素的限制,难以达到很高的精度。近年来我所研究了一种高精度小波有限元算法1,可以对结构模态进行准确的计算。EMA和OMA属结构动力学反问题,基于真实结构的模态试验,能得到准确的结果。EMA是传统的模态分析方法,这类方法通过建立系统的时域或频域输入输出模型来辨识系统的模态参数, 试验状态易于控制,测量信噪比较高。国外许多学者2-6对该方法都进行了大量的研究,并将其应用于实际结构的模态参数识别中。国内南京航空航天大学张令弥7、东方振动和噪声技术研究所的应怀樵8,9等将该方法应用于叶片和桥梁等结构的模态参数中,得到了较好的结果。由于EMA需要完整的输入输出信号,然而在实际情况下,输入信号往往难以测量,继而发展出了OMA技术。OMA是指在结构运行过程中,只采集结构响应信号即可进行结构模态参数识别的方法。对它的研究始于20世纪70年代,真正引起广泛关注则是在90年代中期,许多分析方法应运而生。基于FFT的模态提取方法,是实际结构运行模态分析中比较常用的一种,McLamore等利用基于FFT的方法对两座吊桥在环境激励下的模态分析,利用峰值拾取(Peak Picking, PP)法提取模态频率,用半功率带宽法估计模态阻尼比,但是该方法对近频模态的识别无能为力,且无法得到准确的阻尼结果;Jones和Spartz利用最小二乘拟合技术处理频谱中相邻的峰值,提高阻尼比的估计精度;Littler and Ellis研究了利用频谱进行模态分析的精度,指出基于FFT的方法可以识别较为精确的模态频率,但对阻尼比的估计往往有较大误差。再此基础之上R.Brinker提出了频域分解法(Frequency Domain Decomposition, FDD)。该法在保留PP法简单快速优点的基础上,已能够识别近频乃至重频模态,目前在工程界应用很多。不过,该法在理论研究方面不够完善,且阻尼识别需进行反傅里叶变换,在时域内通过指数衰减法来实现,受截断误差的影响,精度不高。除了基于傅里叶变换的方法之外,诸如随机减量法(Random Decrement Technique, RDT),基于ARMA模型的时序分析法、自然激励识别技术(Natural Excitation Technique, NExT)、以及随机子空间(Stochastic Subspace Identification, SSI)法、最小二乘复指数法(least squares complex exponential method, LSCE)、特征系统实现算法(Eigenvalue realization algorithm, ERA)等OMA方法相继被提出。这些方法均属时域方法,其共同的缺点是难以确定结构的系统阶次,难于区分结构模态与噪声模态。国内在OMA方面也做了大量的研究工作,西北工业大学的姜节胜等将随机自空间法应用于桁架结构的模态分析中10;同济大学张亚林,胡用生利用相关函数的方法辨识轨道车辆轮对的模态参数11;太原理工大学熊诗波等利用FDD法和SSI方法实现了自动化立体仓库巷道堆垛机的振动测试与工作模态分析12;福州大学任伟新在现场实验时用PP方法检查实测数据并初步识别结构的动力特性,随后再用SSI方法做进一步的细致分析,确保系统识别结果的正确性,对桥梁结构的模态参数进行了比较准确的辨识13-15;东北大学闻邦椿,东方振动和噪声技术研究所应怀樵等结合小波变换和RDT技术,从环境激励下的高层建筑振动响应数据中提取自由衰减信号,根据自由衰减信号小波变换结果可以有效地辨识高层建筑固有频率和粘性阻尼系数16;南京航空航天大学的张令弥等改进了FDD方法,并将其应用于桥梁结构的模态参数识别17;清华大学的纪晓东等综合自然激励技术和特征系统实现算法,进行了模拟环境激励下结构的时域模态参数识别18;北京工业大学的李大军等提出了一种利用移动质量块在不同位置时对桥梁的模态频率进行多次测量,用各次测得的频率值确定位移模态的新方法,使得位移模态识别的精度接近频率识别的精度19;长江科学院爆破与振动研究所余岭等提出了一种时域移动荷载识别改进方法对桥梁结构进行模态分析20。在实际应用中,现有OMA方法多用于桥梁、高层建筑等结构的模态分析,这些结构多处于风力等随机激励下,可以直接用OMA方法进行分析,而对于机械结构,如梁、静态轴、转轴等结构在运行过程中多受到脉冲激励或者正弦激励,不满足现有OMA方法对结构所受激励的条件,故无法用现有OMA方法直接进行模态分析。基于此,必须研究更加精确有效的模态参数识别方法,对不同结构的机械设备进行有针对性的模态参数提取,从而为机械设备裂纹定量诊断提供可靠依据,为工作中进行机电系统动态信号处理和故障诊断打下良好的基础。1.2 经验模式分解的来历和应用现状在故障诊断技术领域中,最为普遍的是利用快速傅立叶变换(FFT)的频域分析方法,这种方法虽然能够分辨振动信号在频域中的位置与大小,但在对故障信号的非线性问题及时频变化规律等方面的分析就显得力不从心,而加窗傅立叶变换的出现能够在某种程度上弥补不足,但由于它的窗口大小,固定并没有很好的解决时频局部化的矛盾。近来出现的小波分析方法正是为克服这种不足,它能将不同频率组成的混合信号分解成不同频率成份的块信号,可以有效地进行信噪分离、特征提取、故障诊断等。虽然小波分析方法可以进行时频分析,适合于解决非平稳信号处理问题,但同样存在一些缺点,比如它缺乏自适应性,在分解信号之前必须首先选择合适的小波基函数;而这个基函数一旦被选择,就必须用它去分析所有数据,而且在分析之前必须人为确定小波分解层数。由于小波分析方法存在缺点,1996年,美籍华人黄锷(Norden E.Huang)等人在对瞬时频率的概念进行了深入研究之后,创造性地提出了本征模式函数(Intrinsic Mode Function, IMF)的概念以及将任意信号分解为本征模式函数组成的新方法基于经验的模式分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)方法,从而赋予了瞬时频率合理的定义、物理意义和求法,初步建立了以瞬时频率为表征信号交变的基本量,以基本模式分量为时域基本信号的新的时频分析方法体系。本征模式函数又称作基本模式分量。该方法被认为是NASA在应用数学研究历史上最重要的发明,是200年来对以傅里叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。在提出该方法的同时,Norden E.Huang把该方法的相关算法及应用申请了多项专利。该方法提出之后被迅速地应用于地球物理、图像处理、语音识别、无线电通讯、模态分析、化学、光学、流体力学、原子物理、非线性分析、金融及医疗等各个领域。基于EMD的时频分析方法适合于非线性、非平稳信号的分析,也适合于线性、平稳信号的分析,并且对于线性、平稳信号的分析也比其他的时频分析方法更好地反映了信号的物理意义。目前已经在许多领域得到应用。在地球物理学领域,如非线性水波分析、地震波分析、大气数据分析等;在生物医学领域,如心电图信号分析、心血管血压分析、脑电波分析、语音信号分析等;在结构分析领域,如桥梁的监测、结构的辨别、模态响应分析、结构破坏检测;在设备诊断领域,用于故障诊断;在成像领域,用于SAR雷达成像、卫星图像分析;此外还用于核反应堆的中子检测、分子动力学、液气流动 。针对EMD方法本身的缺陷:端点效应、异常事件等,有关学者深入研究后各自提出了不同的解决方法。同时也有学者对EMD方法本身进行了并提出了改进的方法。1.3 Laplace小波的发展和应用现状信号的小波变换及应用思想是由法国从事石油信号处理的工程师Morlet在1984年首先提出的,联想到1807年法国的热学工程师Fourier提出任一函数能够展成三角函数的无穷级数的思想,他认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉”并深信数学是解决实际问题的卓越工具。我们惊奇地看到这些创新的思想都是由工程科技技工作者提出的,这是因为他们始终置身于探索自然奥秘的最前沿,能准确地深测到自然规律的脉搏。“实践出真知”,正是这一真理促使了小波理论的迅速发展。小波理论提供了包括傅里叶(Fourier)分析所采用的三角基函数以外的多种小波基函数,基函数之丰富,简直不胜枚举,使小波分析充满了活力。大量的实例表明,不同类型的机械故障会在动态信号中反映出不同的特征波形,如旋转机械失衡振动的波形与正弦波有关;齿轮、轴承等机械零部件出现剥落、裂纹等故障,往复机械活塞、连杆、气阀磨损缺陷,它们在运行中产生冲击振动呈现接近单边振荡衰减波形,等等。如果机械动态信号是由正弦分量组成,用傅里叶变换是十分恰当的。然而,当信号中包含有冲击振荡衰减波形,那么用傅里叶变换进行分析就不合适了。“特征波形基函数信号分解”的概念,旨在灵活运用与信号相匹配的基函数去更好地处理信号,提取模态参数。用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息,分类正确与否将直接导致理论研究成功与否,如果对某个特定的问题采用不适当的基函数,则会冲淡特征信息,给理论研究造成困难。采用单边衰减复指数小波(Laplace小波)提取出不同机械设备的频率和阻尼特性等模态参数。进一步研究表明,由于机械系统的复杂性,动态信号中常常包含多种不同类型的状态特征信息,用某个固定类型的基函数分解信号而期望同时获取好的分类信息是困难的。可以说,融合表征各种不同类型机械状态特征波形的混合基函数信号分解理论和技术,是非平稳动态分析和机械监测诊断一个新的研究方向。1.4 论文的整体思路对结构复杂的脉冲响应信号,利用EMD将多阶模态响应信号分解为若干个单阶模态响应信号,然后对每个单阶模态响应信号做Laplace小波滤波,就可以准确提取其模态参数。针对于不同机械设备的结构模态参数识别方法,分别进行静态结构在冲击激励下的模态参数提取和旋转主轴结构运行过程中的模态分析。最后对基于EMD和Laplace小波的模态分析方法进行了总结。2 模态分析介绍2.1 模态分析简介模态是机械结构的固有振动特性,每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得,这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个过程如果是由有限元计算的方法取得的,则称为计算模态分析;如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数,称为试验模态分析。通常,模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动千姿百态、瞬息变化。模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。首先,将结构物在静止状态下进行人为激振,通过测量激振力与胯动响应并进行双通道快速傅里叶变换(FFT)分析,得到任意两条之间的机械导纳函数(传递函数)。用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合,识别出结构物的模态参数,从而建立起结构物的模态模型。根据模态叠加原理,在已知各种载荷时间历程的情况下,就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。2.2 模态分析方法的基本过程近十多年来,由于计算机技术、FFT分析仪、高速数据采集系统以及振动传感器、激励器等技术的发展,试验模态分析得到了很快的发展,受到了机械、电力、建筑、水利、航空、航天等许多产业部门的高度重视。已有多种档次、各种原理的模态分析硬件与软件问世。在各种各样的模态分析方法中,大致均可分为四个基本过程:(1) 动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数分析1)激励方法。试验模态分析是人为的对结构物施加一定动态激励,采集各点的振动响应信号及激励力信号,根据力及响应信号,用各种参数识别方法获取模态参数。激励方法不同,响应识别方法也不同。目前主要由单输入单输出(SISO)、单输入多输出(SIMO)、多输入多输出(MIMO)三种方法。以输入力的信号特征还可以分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随即(包括白噪声、宽带噪声或伪随机)、瞬态激励(包括随即脉冲激励)等。2)数据采集。SISO方法要求同时高速采集输入与输出两个点的信号,用不断移动激励点位置或响应点位置的办法取得振形数据。SIMO及MIMO的方法则要求大量通道数据的高速并行采集,因此要求大量的振动测量传感器或激振器,试验成本较高。3)时域或频域信号处理。例如谱分析、传递函数估计、脉冲响应测量以及滤波、相关分析等。(2)建立结构数学模型根据已知条件,建立一种描述结构状态及特性的模型,作为计算及识别参数依据。目前一般假定系统为线性的。由于采用的识别方法不同,也分为频域建模和时域建模。根据阻尼特性及频域耦合程度分为实模态或复模态模型等。(3)参数识别按识别域的不同可分为频域法、时域法和混合域法,后者是指在时域识别复特征值,再回到频域中识别振型,激励方式不同(SISO、SIMO、MIMO),响应的参数识别方法也不尽相同。并非越复杂的方法识别的结果越可靠。对于目前能够进行的大多数不是十分复杂的结构,只要取得了可靠的频响数据,即使用较简单的拟合方法也可能获得良好的模态参数;反之,即使用最复杂的数学模型、最高级的拟合方法,如果频响测量数据不可靠,则识别的结果一定不会理想。(4)振形动画参数识别的结果得到了结构的模态参数模型,即一组固有频率、模态阻尼以及相应各阶模态的振形。由于结构复杂,由许多自由度组成的振形也相当复杂,必须采用动画的方法,将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。以上四个步骤是模态试验及分析的主要过程。而支持这个过程的除了激振拾振装置、双通道FFT分析仪、台式或便携式计算机等硬件外,还要有一个完善的模态分析软件包。通用的模态分析软件包必须适合各种结构物的几何特征,设置多种坐标系,划分多个子结构,具有多种拟合方法,并能将结构的模态振动在屏幕上三维实时动画显示。2.3 模态分析的定义及应用模态分析的经典定义:将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标,使方程组解耦,成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程,以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵,其每列为模态振型。模态分析技术的应用可归结为以下几个方面:1) 评价现有结构系统的动态特性;2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计;3) 诊断及预报结构系统的故障;4) 控制结构的辐射噪声;5) 识别结构系统的载荷。3 经验模式分解及端点效应解决方法3.1 基本模式分量基本模式分量(Intrinsic Mode Function,IMF)的概念是为了得到有意义的瞬时频率而提出的。基本模式分量需要满足的两个条件为:(1) 在整个数据序列中,极值点的数量(包括极大值点和极小值点)与过零点的数量必须相等,或最多相差不多于一个,即 (1)(2) 在任一时间点上,信号局部极大值确定的上包络线和局部极小值确定的下包络线的均值为零。即 (2)第一个限定条件是非常明显的,类似于传统平稳高斯过程的关于“窄带”的定义。第二个条件是创新的地方,它把传统的全局性的限定变为局域性的限定。这种限定是必须的,可以去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。第二个限定条件的实质是要求信号的局部均值为零。而对于非平稳信号而言,“局部均值”又涉及到用于计算局部均值的“局部时间”,这是很难定义的。因而用局部极大值和极小值的包络作为代替和近似,强迫信号局部对称。钟佑明等人在对基本模式分量的数学模型进行分析之后,论证了局部对称性的必要性和用极值点拟合包络线的合理性。图1 一个典型的基本模式分量满足以上两个条件的基本模式分量,其连续两个过零点之间只有一个极值点,即只包括一个基本模式的振荡,没有复杂的叠加波存在。需要注意的是,如此定义的基本模式分量并不被限定为窄带信号,可以是具有一定带宽的非平稳信号,例如纯粹的频率和幅度调制函数。一个典型的基本模式分量如图1所示。3.2 EMD方法的基本原理经验模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)是一种数据驱动的自适应非线性时变信号分解方法,可以把数据分解成具有物理意义的少数几个基本模式分量。对满足基本模式分量两个限定条件的信号可以通过Hilbert变换求出其瞬时频率。但不幸的是,大多数信号或数据并不是基本模式分量,任何时刻,信号中可能包括多个振荡模式,我们必须把复杂的非平稳信号按一定的规则提取出所包含的基本模式分量。基于此,Norden E. Huang等人创造性地提出了如下假设:任何信号都是由一些不同的基本模式分量组成的;每个模式可以是线性的,也可以是非线性的,满足IMF的两个基本条件;任何时候,一个信号可以包含多个基本模式分量;如果模式之间相互重叠,便形成复合信号。在此基础上,Norden E. Huang进一步指出,可以用EMD方法将信号的基本模式分量提取出来,然后再对其进行分析。该分解算法也称为筛选过程。这种方法的本质是通过数据的特征时间尺度来获得基本模式分量,然后分解数据。基于基本模式分量的定义,我们可以提出信号的模式分解原理,信号模式分解的目的就是要得到使瞬时频率有意义的时间序列基本模式分量。而基本模式分量必须满足两个条件,即上节中式(1)、(2)所示。因而,其分解过程如下:(1) 把原始信号作为待处理信号,确定该信号的所有局部极值点(包括极大值和极小值点),然后将所有极大值点和所有极小值点分别用三次样条曲线连接起来,得到的上、下包络线,使信号的所有数据点都处于这两条包络线之间。取上、下包络线均值组成的序列为。如图2所示,表示数据点数,表示幅值,实线为原始信号,“”和“*”分别表示了原始信号中的极大值和极小值,双划线和点划线分别表示用这些极大、极小值拟合的上、下包络线,虚线表示均值序列。图2 信号的上、下包络线及均值(2) 从待处理信号中减去其上、下包络线的均值序列,取它们的差值为,得 (3)对非线性、非平稳数据而言,一般一次处理不足以形成基本模式分量,一些非对称波仍然存在。为严谨起见,仍检测是否满足基本模式分量的两个条件。如果不满足,则把作为待处理信号,重复上述操作,取的均值序列为,得到它们之前的差值为: (4)重复k次操作,得到: (5)当满足基本模式分量的条件时,就获得了第一个基本模式分量: (6)(3) 从原始信号中分解出第一个基本模式分量之后,从中减去,得到剩余序列 (7)(4) 把作为新的“原始”信号重复上述操作,依次可得第二、第三直至第n个基本模式分量,记为, (8)(5) 这个处理过程在满足预先设定的停止准则后即可停止,最后剩下原始信号的余项。这样就将原始信号分解为若干个基本模式分量(i=1,2,n)和一个余项的和: (9)上述第(4)步中的停止条件被称为分解过程的停止准则,它可以是如下两种条件之一:当最后一个基本模式分量或剩余分量,变得比预期值小时便停止;当剩余分量变成单调函数,从而从中不能再筛选出基本模式分量为止。基本模式分量的两个限定条件只是一种理论上的要求,在实际的筛选过程中,很难保证信号的局部均值绝对为零。如果完全按照上述两个限定条件判断分离出的分量是否为基本模式分量,很可能需要过多的重复筛选,从而导致基本模式分量失去了实际的物理意义。为了保证基本模式分量保存足够的反映物理实际的幅度与频率调制,我们必须确定一个筛选过程的停止准则。筛选过程的停止准则可以通过限制两个连续的处理结果之间的标准差的大小来实现。 (10)式中表示信号的时间跨度,和是在筛选基本模式分量过程中两个连续的处理结果的时间序列。的值通常取。从信号分解基函数理论角度来说,不同的基函数可以对信号实现不同的分解,从而得到性质迥然的结果。如果用单位脉冲函数(函数)对信号分解,得到的仍然是信号本身,即函数就是时域的基函数,此时的分解结果只有时域的描述,缺乏频域的任何信息。如果采用在时域中持续等幅振荡的不同频率正余弦函数作为基函数对信号分解,就是傅里叶分解,可以得到频域的详细描述而丧失了时域的所有信息。如果信号是非平稳信号,则需要采用相应的信号分析工具,如短时傅里叶变换、Gabor展开、小波变换以及与其类似的chirplet变换等。这些方法一个共同的特点就是采用具有有限支撑的振荡衰减的波形作为基函数,然后截取一小段时间区域内的信号进行相似性的度量,而且这些基函数大多都是预先选定的。匹配追踪算法可以包容各种基函数,组成“原子”集,根据最大匹配投影原理寻找最佳基函数的线性组合实现对信号的分解,虽然具有更广泛的适用性,但仍然要事先给定基函数。而EMD方法则得到了一个自适应的广义基,基函数不是通用的,没有统一的表达式,而是依赖于信号本身,是自适应的,不同的信号分解后得到不同的基函数,与传统的分析工具有着本质的区别。因此可以说,经验模式分解方法是基函数理论上的一种创新。3.3 基于余弦函数窗的端点效应解决方法余弦函数窗在数据处理中有着广泛的应用,它可以由式(11)定义,其中T 表示窗函数的支撑长度。 (11)由上式定义的余弦函数窗如图3所示。由图可见,在窗函数的中部,其幅值等于1,而在窗函数的两端幅值根据余弦函数逐渐减小,直至窗函数的两个端点处幅值减小为0。基于余弦函数窗的端点效应处理方法,其基本思想是将EMD的端点效应“控制”/s图3 余弦函数窗在信号两端,使其无法或者以较慢的速度向数据内部发展,保证信号中部数据的正确分解。具体作法是首先用余弦函数窗对信号进行加窗处理,即将信号与窗函数进行内积运算,得到处理后的信号;然后再对处理后的信号进行EMD 分解。显然,如果将基于数据延拓的方法和基于余弦函数的方法相结合,首先对数据进行延拓,并对延拓后的数据进行加窗处理,然后进行EMD分解,最后且对分解经过进行截取,可以得到更好的分解结果。一般来说对于数据点数较多的信号,仅采用基于余弦函数窗的端点效应处理方法就可以得到满意的结果,而对于数据点数较少的信号,则必须结合延拓方法进行处理。本文所用仿真信号都属于前一种情况,故没有对信号进行延拓,而直接采用基于余弦函数窗的方法进行处理。重构性是信号分解方法应当具有的基本性质,但是利用余弦函数窗处理的信号,再经过EMD分解之后,无法直接用所得到的IMF重构原始信号,必须利用式(12)所示的方法进行重构。首先将分解得到的基本模式分量和余项累加起来,然后再除以之前用到的余弦函数窗,这样就可以完全重构原始信号。 (12)3.4 EMD方法举例图4 两个正弦信号的Matlab仿真图4所示为两个正弦信号的相加之后的Matlab仿真图形,采样频率为2000Hz,采样点数为512,由图可以看出,叠加之后的正弦信号幅值为1.75,周期为0.0023s。分解之后所得的两个正弦信号如图5所示。从图中可以看出,前两个图形为正弦信号,其中一个幅值为0.5,周期为24;另一个幅值为1,周期为45。下面的3-7个波形是正弦信号叠加过程中产生的干扰波形。图5 分解后所得的正弦信号4 静态结构冲击激励下模态参数的提取4.1 Laplace小波相关滤波振动信号中出现冲击响应波形往往标志着旋转机械设备发生松动、碰撞、冲击等故障。如何从强大的工频振动、谐波振动和背景噪声中提取出冲击响应信号的发生时刻、振荡频率和阻尼比等参数对设备动态分析和故障诊断至关重要。设备的冲击响应信号往往是一种单边振荡衰减的波形,它是局部化的。从信号处理中的各种基函数可知,Fourier三角基跨越了整个时域,显然不能对冲击响应信号进行局部化分析;Daubechies小波、Mallat 样条小波、高斯小波以及谐波小波等基函数虽然具有局部化分析能力,但它们无不是从中间向两边振荡衰减的波形,对单边衰减的冲击响应信号的分解不太适合。4.1.1Laplace小波的定义对一个二阶欠阻尼系统进行Laplace反变换,R.Lind等人构造出了Laplace小波。 Laplace小波是一种单边振荡衰减的复指数小波21,其解析表达如式(13)所示。 (13)图6 Laplace小波图形式中,参数矢量决定了小波的特性,它的成员变量和模态动力学相关,其中表示阻尼固有频率,单位为Hz。表示粘滞阻尼比,较大的阻尼比使Laplace小波迅速衰减。为时间参数。系数用来归一化小波函数。表示小波支撑区间的宽度,它一般不需要显式表示。4.1.2Laplace小波的特性Laplace小波在复数空间内呈“蜗牛状”螺旋衰减,当,时,的图像如图6所示。图中还给出了在实平面和虚平面上的投影和,显然,和与单自由度结构系统的自由响应函数非常相似。从小波理论可知, 复数小波可以实现光滑的、连续的小波变换,从而保证信号的相位信息不失真。分析表明,Laplace小波具有紧支性且满足小波的允许条件,但它不具备正交性。4.1.3Laplace小波相关滤波法由于Laplace小波是从工程实用的需要角度考虑而构造出来的,它具备人们所期盼的“单边衰减”的特性,并满足小波允许条件。但因其不具备正交性,这就决定了不能用基于正交分解的常规小波变换的方法来应用Laplace 小波。提出Laplace小波基函数相关滤波法的目的在于识别信号中的冲击响应波形,从而实现被测对象的模态参数识别22,23。Laplace小波相关滤波法的实现方法如下:一个参数矢量确定一个Laplace小波原子,信号与的内积表示为 (14)内积越大,两者越相似。定义相关系数来量化与之间的相关程度 (15)当信号与小波原子完全相关时,最大,因子的作用是当信号和完全线性相关时使得,所以有。Laplace小波相关滤波分析就是首先按照不同的参数建立Laplace小波原子库,然后在其中寻找使取得最大值的小波参数,由此确定信号中单边振荡衰减波形的振荡频率、阻尼比及其发生的时间等参数。4.2 基于EMD的Laplace小波模态参数识别方法4.2.1直接采用Laplace小波相关滤波法的不足Laplace小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到冲击响应信号,然而,当结构的多阶模态冲击响应信号叠加在一起时,该方法将难以准确识别其各阶模态频率和阻尼比。对于一个线性单自由度系统,它的冲击响应函数可以由式(16)定义25 (16)这里,代表系统的阻尼固有频率,为阻尼比,是取决于系统和冲击载荷的常数。根据式(16)构造式(17)所示的仿真信号,来模拟一个线性结构前三阶模态的冲击响应信号: (17)其中()表示第个冲击响应信号: (18)它们的阻尼固有频率分别为Hz,Hz,Hz;阻尼比分别为,。冲击发生的时刻为s,表示幅值为1的白噪声。用4000Hz的采样频率对离散化,采样点数为2000。观察实际结构的冲击响应信号可知,响应并非直接到达最大值,故在各冲击响应波形前端(时)增加激起阶段波形(与原信号同频率,幅值由0快速增大的正弦波),最终的仿真信号及其组成如图7-图10所示。对该仿真信号直接进行Laplace小波相关滤波提取第二阶模态参数为例,Laplace小波参数空间用Matlab语言描述为:,。结果如图11所示。其中第一个图为仿真信号,第二个图为每个时刻的相关系数峰值,第三个图、第四个图分别为与对应的Laplace小波原子的频率参数和阻尼比参数。由图可见,冲击响应信号对应的时间段内相关系数波动不大,而频率曲线则有较大的波动,阻尼比在冲击响应后期相对稳定但误差很大,这说明无法找到与原始信号相似的Laplace小波,难以直接提取准确的模态参数。图7仿真信号x(t)图8冲击响应信号x1(t)图9冲击响应信号x2(t)图10冲击响应信号x3(t)图11 仿真信号直接提取第二阶模态结果4.2.2基于EMD的Laplace小波模态参数识别方法由于直接利用Laplace小波滤波法识别模态参数遇到困难,故首先对上述仿真信号进行EMD分解。对于一个线性单自由度系统,它的冲击响应函数可以由式(16)定义,就其本质而言,该冲击响应函数是一种调幅正弦波,而调幅信号显然满足基本模式分量的两个条件,即单阶模态的响应信号是一个IMF,故可以通过EMD将结构多阶模态耦合的响应信号分解为若干个单阶模态响应信号,然后再对每个单阶模态响应信号中进行Laplace相关滤波,就可以准确提取结构系统的频率和阻尼比。采用基于余弦函数窗的端点效应处理方法,EMD分解得到三个基本模式分量(IMF)和余项,结果如图12-图15所示。其中,图12为仿真响应信号,图13-图15为EMD分解得到所得到的三个基本模式分量、和。图12 仿真信号x(t)图中,、和分别表示分解所得的三个IMF。由于EMD分解总是先分解出高频分量,所以就对应第三阶模态响应信号,、分别对应第二和一阶模态的响应信号和。/s图13 基本模式分量c1(t)/s图14 基本模式分量c2(t)/s图15 基本模式分量c3(t)作为对比,对分解所得的第二个IMF进行Laplace小波相关滤波提取第二阶模态参数,Laplace小波参数空间用Matlab语言描述为:,。相关滤波结果如图16所示。由图可见,在存在冲击响应波形的时间区间内,相关系数始终接近于1,频率曲线和阻尼比曲线都相对稳定,这说明相关滤波中找到了与十分相似的Laplace小波原子,该小波原子的参数空间(Hz,)就对应了比较准确的第二阶模态参数。对分解所得的其他两个IMF分别进行Laplace小波相关滤波,就可以求得其他两阶模态参数。对该仿真信号进行分析,表1列出了仿真信号三阶模态参数的理论值、利用频谱细化方法、直接利用Laplace小波相关滤波方法和基于EMD的方法识别模态参数的结果。由表1可见对于冲击激励引起的响应信号,利用频谱细化方法可以得到结构较精确的阻尼固有频率值,由于频谱方法识别的阻尼比往往有较大的误差,故未列出该方法识别的阻尼比。直接用相关滤波的方法可以提取较准确的阻尼固有频率,但其阻尼比的识图16 第二个IMF提取第二阶模态结果表1 仿真信号模态参数识别结果识别方法理论值30.00.020400.00.010800.00.005频谱细化法相对误差(%)29.8820.393399.870.033799.9530.005直接相关滤波法相对误差(%)29.8500.5000.02525.0399.300.1750.01330.0799.8500.0150.00740.0基于EMD的方法相对误差(%)29.9800.0670.0200.0399.900.0250.0100.0799.9900.0010.0050.0无阻尼固有频率30.004399.940800.015别却产生了较大的误差。用本文提出的方法,可以识别高精度的阻尼固有频率,更能准确锁定阻尼比。各种方法所得结果与理论值之间的比较表明本文方法识别模态参数误差最小。得到结构的阻尼固有频率和阻尼比之后,可由下式计算结构的无阻尼固有频率: (19)式中,表示无阻尼固有频率,为实测阻尼固有频率,为实测阻尼比。基于EMD的方法计算所得无阻尼固有频率如表1末行所示。4.3 静态梁结构冲击激励下的模态参数提取为了验证上述方法的正确性,搭建了如图17所示的悬臂梁模态识别实验台,悬臂梁试件材料选用45#钢,悬臂长度,横截面尺寸。试件的弹性模量,泊松比,材料密度。测试中采用力锤敲击作为冲击激励源进行激振,并采用压电式加速度传感器对力锤的输入信号和试件的响应信号进行拾取。图17 悬臂梁模态识别实验台采样频率设为3000Hz,采样长度为3000,图15是悬臂梁的的冲击响应信号及其EMD分解结果。其中,表示原始信号,、和分别表示分解所得的前三个IMF。对冲击响应信号和分解所得的三个IMF、和分别做傅里叶频谱,图19-图22表示了图18中各信号对应的频谱,由图可见冲击响应信号的频谱中出现了三个比较明显的峰值,这三个峰值就对应了悬臂梁的前三阶固有频率。通过EMD分解,冲击响应信号完全分解成了与前三阶模态响应信号一一对应的三个IMF。/s图18 实测信号及其EMD分解结果图19 仿真信号x(t)所对应的频谱图20 基本模式分量c1(t)所对应的频谱图21基本模式分量c2(t)所对应的频谱图22基本模式分量c3(t)所对应的频谱用基于EMD的方法提取该悬臂梁的前三阶模态参数,图23为对分解所得第二个IMF进行Laplace小波相关滤波的结果。分别对EMD分解所得的三个IMF进行Laplace小波相关滤波提取其前三阶阶模态参数的结果如表2所示。利用DASP软件的模态分析模块,对采集到的输入和输出信号进行传递函数分析,结果如图24所示,上图为传递函数幅值图,三个谱峰对应三阶模态频率,下图为传递函数相位图。用该软件提取试验试件前三阶模态结果如表2所示,其结果可以作为该试验试件模态参数的参考值。表2同时列出了利用频谱细化方法、直接利用Laplace小波相关滤波方法和本论文方法提取的模态参数。把利用DASP软件做传递函数分析得到的模态参数值作为标准值,同时给出了不同方法所得结果与传递函数方法所得结果的相对误差值。/s(a)(b)(c)(d)图23 第二个IMF提取第二阶模态参数结果H/(mV/mV)P/ o图24 传递函数分析前三阶模态结果由表2可见基于EMD的方法,可以识别高精度的阻尼固有频率,并能够准确地锁定阻尼比。与其他方法相比,该方法与传递函数方法提取的模态参数最接近。对同一悬臂梁进行多次试验,提取结果都十分接近,表明该方法有很好的鲁棒性;另一方面,该方法对激励信号不敏感,只要激励源能激起试件对应的各阶模态,便可以仅凭输出的响应信号准确识别试件的阻尼固有频率、阻尼比等模态参数。悬臂梁无阻尼固有频率由式(19)计算,结果如表2末行所示。表2 实测数据模态参数识别结果识别方法传递函数28.590.001371.130.024815.660.003频谱细化法相对误差 (%)27.431.978367.590.954817.350.207直接相关滤波法相对误差 (%)26.653.3110.002100.0379.732.3170.02020.0827.831.4920.00233.333基于EMD的方法相对误差 (%)27.881.2110.0010.0367.760.9080.0234.167817.110.1780.0030.0无阻尼固有频率27.880367.955817.1184.4 静态轴结构冲击激励下的模态参数提取在Bently转子试验台上做转子结构的静态模态参数提取,试验装置如图25所示,其中轴的支撑长度,直径,由两个滑动轴承支撑;轴上带两个直径、厚度的盘,盘在轴上的相对位置如图所示,图中、。试验所用轴和盘的材料特性如下:弹性模量,泊松比,材料密度。L图25 试验装置用力锤对该转子系统施加冲击激励,利用Doppler OFV-505/5000激光测振仪采集轴振动速度信号,利用基于EMD和Laplace小波相关滤波的方法进行模态参数提取。首先对轴振动信号做EMD分解,结果如图26所示,其中左图为轴振动信号及其EMD分解结果,右图它们为对应的频谱。由图可见,通过力锤激励,该轴前三阶固有频率的振动被激起来了,通过EMD方法将响应分解成为三个IMF,它们分别对应于该轴前三阶固有频率的响应信号。/s/Hz图26 转子系统冲击响应信号及其EMD分解结果对分解得到的IMF进行Laplace小波相关滤波就可以进行精确的模态参数识别,以二阶模态参数识别为例,对第二个IMF进行Laplace小波相关滤波,结果如图27所示。对EMD分解得到的三个IMF分别做Laplace小波相关滤波,可以得到该轴的前三阶模态参数如表3所示。/s(a)(b)(c)(d)图27 第二个IMF的Laplace小波滤波结果表3 转子结构模态参数识别结果识别方法传递函数29.230.003139.550.027408.240.053频谱细化法相对误差 (%)29.711.624136.592.121412.520.980
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