浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数规范答题示例8函数的单调性极值与最值问题学案.doc
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规范答题示例8函数的单调性、极值与最值问题典例8(15分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围审题路线图.规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a(x0)若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.6分(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,)上无最大值,不合题意;当a0时,f(x)在x处取得最大值,最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.12分令g(a)ln aa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).15分第一步求导数:写出函数的定义域,求函数的导数第二步定符号:通过讨论确定f(x)的符号第三步写区间:利用f(x)的符号确定函数的单调性第四步求最值:根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分;(2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分;(3)求出最大值给3分;(4)构造函数g(a)ln aa1给3分;(5)通过分类讨论得出a的范围,给3分跟踪演练8(2018天津)已知函数f(x)ax,g(x)logax,其中a1.(1)求函数h(x)f(x)xln a的单调区间;(2)若曲线yf(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线yg(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明x1g(x2);(3)证明当a时,存在直线l,使l是曲线yf(x)的切线,也是曲线yg(x)的切线(1)解由已知得h(x)axxln a,则h(x)axln aln a令h(x)0,解得x0.由a1,可知当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(,0),单调递增区间为(0,)(2)证明由f(x)axln a,可得曲线yf(x)在点(x1,f(x1)处的切线斜率为ln a.由g(x),可得曲线yg(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为.因为这两条切线平行,所以有ln a,即x2(ln a)21,两边取以a为底的对数,得logax2x12logaln a0,所以x1g(x2).(3)证明曲线yf(x)在点(x1,)处的切线为l1:yln a(xx1)曲线yg(x)在点(x2,logax2)处的切线为l2:ylogax2(xx2)要证明当a时,存在直线l,使l是曲线yf(x)的切线,也是曲线yg(x)的切线,只需证明当a时,存在x1(,),x2(0,),使得l1与l2重合即只需证明当a时,下面的方程组有解由得,x2,代入,得x1ln ax10.因此,只需证明当a时,关于x1的方程存在实数解设函数u(x)axxaxln ax,即要证明a时,函数u(x)存在零点u(x)1(ln a)2xax,可知当x(,0)时,u(x)0;当x(0,)时,u(x)单调递减,又u(0)10,u10,使得u(x0)0,即1(ln a)2x00.由此可得u(x)在(,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减u(x)在xx0处取得极大值u(x0)因为a,所以ln ln a1,所以u(x0)x0ln ax0x00.下面证明存在实数t,使得u(t)时,有u(x)(1xln a)(1xln a)x(ln a)2x2x1,所以存在实数t,使得u(t)0.因此当a时,存在x1(,),使得u(x1)0.所以当a时,存在直线l,使l是曲线yf(x)的切线,也是曲线yg(x)的切线.- 配套讲稿:
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