流体力学第四章课件.ppt
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1,第四章量纲分析和相似理论,第四章量纲分析和相似理论,对于一个复杂的流动现象进行实验研究,实验中的可变因素很多,另外受实验条件的限制,多数不可能在实物上进行。因此,在进行一项实验时,就会碰到诸如:如何更有效地设计和组织实验,如何正确处理实验数据,以及如何把模型实验结果推广到原型等一系列问题。本章的量纲分析和相似理论为这些问题的解决提供了理论依据。,量纲分析和相似理论不仅在流体力学中有广泛的应用,而且也广泛地应用于其它力学、传热传质、燃烧等许多物理化学过程的研究中。故掌握量纲分析和相似理论,对于一个自然科学工作者来说是十分必要的。,2,第四章量纲分析和相似理论,量纲是物理量的类别和本质属性。同一物理量,可以用不同的单位来度量,但只有唯一的量纲,例如长度可以用米、厘米、英尺、英寸等不同单位度量,但作为物理量的种类,它属于长度量纲。其它物理量,如时间、速度、密度、力等也各属一种量纲。这里约定在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲,例如速度量纲表示为dimv。,由于许多物理量的量纲之间有一定的联系,在量纲分析中常需选定少数几个物理量的量纲作为基本量纲,其它的物理量的量纲就都可以由这些基本量纲导出,称为导出量纲。基本量纲应当是互相独立的,即不能互相表达,在流体力学中常用长度时间质量(L-T-M)为基本量纲。,4-1量纲分析的概念和原理,一、量纲,3,第四章量纲分析和相似理论,长度时间质量(L-T-M)作为基本量纲时有如下的导出量纲:,对于任何物理量(如以A表示)的量纲可写作,速度,加速度,密度,力,压强,(4-1),4,第四章量纲分析和相似理论,在量纲分析中,把一个物理过程当中那些彼此互相独立的物理量称为基本量,其它物理量可由这些基本量导出,称为导出量,基本量与导出量之间可以组合成无量纲量,无量纲量具有如下的特点:量纲表示式中的指数均为零;没有单位;数值与所采用的单位制无关,故无量纲量也称为无量纲数。,设A、B、C为三个基本量,它们成立的条件是Ax、By、Cz的幂乘积不是无量纲量,即不能找到不全为0的x、y、z来满足下式,二、无量纲量,(4-2),5,第四章量纲分析和相似理论,(4-3),而满足下式,且b1、b2、b3不全为0。,采用式(4-1)来表示物理量A、B、C的量纲,代入式(4-2)和(4-3),对照两边的指数,可写出如下方程,(4-4),6,第四章量纲分析和相似理论,方程组(4-4)和(4-5)的系数行列式,(4-6),因此变量A、B、C是互相独立的,它们可以作为基本变量。,(4-5),是使方程组(4-4)为全零解的充分必要条件,也是方程组(4-5)存在一组非零解的充分必要条件。,7,第四章量纲分析和相似理论,三、物理方程的量纲一致性,在自然现象当中,互相联系的物理量可构成物理方程。物理方程可以是单项式或多项式,同一方程中各项又可以由不同量组成,但是各项的单位必定相同,量纲也必然一致;另一方面,由于物理方程的量纲具有一致性,可以用任意一项去除等式两边,使方程每一项变为无量纲量,这样原方程就变为无量纲方程,但所表达的物理现象与原方程相同,这一点极为重要,这也是量纲分析的理论依据。例如,动能方程,可改写为,8,第四章量纲分析和相似理论,理想流体伯努利方程,a1=a2=1,也可改写为,可以验证各项也都是无量纲量。,9,第四章量纲分析和相似理论,相似的概念最早出现于几何学中,即假如两个几何图形的对应边成一定的比例,那么这两个图形便是几何相似的。可以把这一概念推广到某个物理现象的所有物理量上。例如,对于两个流动相似,则两个流动的对应点上同名物理量(如线性长度、速度、压强、各种力等)应具各自的比例关系。分类说明的话,就是应满足两个流动的几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件的相似。,4-3流动相似性原理,为了便于理解和掌握相似的基本概念,定义Cq表示原型(prototype)与模型(model)对应物理量q的比例,称之为比尺,即,10,第四章量纲分析和相似理论,一、几何相似,如果两个流动的线性变量间存在着固定的比例关系,即原型和模型对应的线性长度的比值相等,则这两个流动称为几何相似的。,如以l表示某一线性尺度,则有长度比尺,由此可推得其它有关几何量的比尺,例如面积和体积,比尺分别为,11,第四章量纲分析和相似理论,二、运动相似,运动相似是指流体运动的速度场相似。也就是指两个流动各对应点(包括边界上各点)的速度u方向相同,其大小成一固定的比尺Cu。即,注意到流速是位移对时间t的微商dl/dt,则时间比尺为,同理,在运动相似的条件下,流场中对应点处流体质点的加速度比尺为,12,第四章量纲分析和相似理论,三、动力相似,若两流动对应点处流体质点所受同名力F的方向相同,其大小之比均成一固定的比尺CF,则这两个流动是动力相似。所谓同名力是指具有同一物理性质的力。例如,重力FG、粘性力F、压力FP、弹性力FE、表面张力FT等。,如果作用在流体质点上的合力不等于零,根据牛顿第二定理,流体质点产生加速度,此时可根据理论力学中的达伦贝尔原理,引进流体质点的惯性力,那么惯性力与质点所受诸力平衡,形式上构成封闭力多边形,这样,动力相似又可表征为两相似流动对应质点上的封闭力多边形相似。,例如,假定两流动具有流动相似,作用在流体任一质点的力有重力FG、压力FP,粘性力F和惯性力FI,见图4-1。那么两流动动力相似就要求,13,第四章量纲分析和相似理论,成立。式中的脚标p、m分别表示原型和模型。,(4-9),14,第四章量纲分析和相似理论,根据各种力的定义,可以将各种力写成最简单的形式:,4-4相似准则,重力,压力,粘性力,弹性力,表面张力,惯性力,在实际流动问题中,这些力有的不存在或者作用效果微小而可忽略。,15,第四章量纲分析和相似理论,两流动相似,应具有几何相似、运动相似、动力相似以及初始条件和边界条件一致这些要求,一般来说,几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据,动力相似是决定两流动相似的主导因素,运动相似是几何相似和动力相似的表现。因此,在几何相似的前提下,要保证流动相似,主要看动力相似,即应满足式(4-9),由于惯性力相似与运动相似直接相关,因此,将(4-9)变为,现将前面已给出的各种力的最简表达代入式(4-10)中,先来看,(4-10),16,第四章量纲分析和相似理论,因为FI=v2l2,FG=l3g,代入上式得,上式等号两边均为无量纲数,称为弗汝德相似准则数(简称弗汝德数),由推导过程知道弗汝德数是惯性力与重力的比值,即,那么原型和模型流动惯性力和重力的相似关系可以表达为,或,即原型流动和模型流动的弗汝德数相等。,17,第四章量纲分析和相似理论,以同样的方法讨论式(4-10)的第二个等式,将FI=v2l2,Fp=(p)l2代入并整理得出,括号中的组合量也是无量纲数,称为欧拉数,即,欧拉数Eu是流动压力与惯性力的比值。,18,第四章量纲分析和相似理论,那么压力与惯性力的相似关系可写为,或,即原型流动和模型流动的欧拉数相等。,再来分析式(4-10)的第三个等式。,将FI=v2l2和F=vl代入并整理得出,19,第四章量纲分析和相似理论,上式等号两边的无量纲数已在前面提过,它就是雷诺数,它是惯性力与粘性力的比值,式(4-19)说明原型流动与模型流动粘性力相似,要求原型流动与模型流动的雷诺数相等,即,或,我们仿照前面的方法还可以讨论其它力相似的相似准则数。例如,在高速气流中,弹性力的作用不能忽略,惯性力与弹性力的比值定义为马赫数M,这是因为,20,第四章量纲分析和相似理论,将FI=v2l2,FE=El2代入并整理得出,根据气体动力学(见第十章)知道音速,因此相似关系可化为,流速与音速的比值就是马赫数M=v/a,那么弹性力相似,原型流动和模型流动的马赫数必相等,即,21,第四章量纲分析和相似理论,在进行模型设计时,怎样根据原型的物理量确定模型的量值,这就是模型律的选择,模型律的选择应依据上节所述相似准则数相等来确定。理论上讲流动相似要求所有作用力都相似。,4-5模型律,现在仅考虑粘性阻力与重力同时满足相似,也就是说要保证模型和原型中雷诺数和弗汝德数一一对应相等。由式(4-22)和式(4-14)分别得到,和,通常Cg=1,则式(4-25)成为,(4-24),(4-25),22,第四章量纲分析和相似理论,显然,要同时满足以上两个条件,必须取,这就是说,要实现两流动相似,一是模型的流速应为原型流速的倍;二是必须按来选择流体运动粘性系数的比值,但通常对后一条件难以实现。,另一方面,若模型与原型采用同一种介质,即Cv=1,根据粘性力和重力的相似,有如下的条件,和,显然,Cl与Cv的关系要同时满足以上两个条件,则Cl=1,即模型不能缩小,失去了模实验的价值。,23,第四章量纲分析和相似理论,从上述分析可见,一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似是很难实现的。实际中,常常要对所研究的流动问题作深入的分析,找出影响流动问题的主要作用力,满足一个主要力的相似,而忽略其它次要力的相似。例如,对于管中的有压流动及潜体绕流等,只要流动的雷诺数不是特别大,一般其相似条件都依赖于雷诺准则数。而如行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容器壁小孔射流等则主要受重力影响,相似条件要保证弗汝德数相等。,24,第四章量纲分析和相似理论,例.为了研究在油液中水平运动的小潜体的运动特性,用放大8倍的模型在15水中进行实验。物体在油液中运动速度13.72m/s,油的密度油=864kg/m3,粘性系数=0.0258Ns/m2。(1)为保证模型与原型流动相似,模型潜体的速度应取多大?(2)实验测定出模型的阻力为3.56N,试推求原型潜体所受阻力。,解:(1)因物体在液面一定深度之下运动,在忽略波浪运动的情况下,相似条件应满足雷诺准则数,即,因为Dp/Dm=1/8,查表1-8,vm=1.141l0-6m2/s,25,第四章量纲分析和相似理论,(2)因为Fv2l2,所以,26,第四章量纲分析和相似理论,例.用1:50的模型船在实验室中进行实验,当模型船速为1.0m/s时,测得波浪阻力为0.02N。试求:(1)在满足波浪阻力相似的前提下,与实验船速相对应的原型船的速度;(2)此时原型船的发动机功率。,解:对于船舶运动,一般波浪的运动影响很大,也就是说主要受重力与惯性力制约,故相似条件应满足弗汝德准则数,即,由于gp=gm,则,27,第四章量纲分析和相似理论,又因为Fv2l2,所以,则,功率,所以,- 配套讲稿:
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