大学物理课件-机械振动.ppt
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,第十章机械振动,定义,振动:任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化,称为振动;,机械振动:物体在一定位置附近作来回往复的运动,称为机械振动。,简谐振动;,简谐振动合成;,阻尼振动、受迫振动、共振。,主要内容,一、简谐运动(SimpleHarmonicMotion),物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式,称为简谐运动。,弹簧振子单摆复摆,二、基本特征,以弹簧振子为例,振子受力是,由牛顿第二定律得,物体受力和加速度与位移x成正比,且方向相反(动力学特征),式中:,上式可以改写为微分方程形式,其解为,式中A、是待定常数,此式称为简谐运动的运动方程。,(称为角频率),位移x按余弦函数的规律随时间变化(运动学特征),三、简谐运动的速度与加速度,速度:,加速度:,位移x、速度、加速度a三者与时间t的关系如图所示。,四、描述简谐振动的物理量,2.周期(Priod),1.振幅(Amplitude),离开平衡点的最大量值的绝对值。,给出振动量的变化幅度。,注意:A、A、2A分别是位移、速度、加速度振幅。,完成一次全振动所需的时间T,单位是秒(s)。,表示:由运动方程,简谐运动的周期是决定于系统自身的常量,又称为固有周期(naturalneriod)。,3.频率(Frequency),物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率,单位是赫兹(Hz)。,表示:由定义可知,式中是角频率,单位是rads-1,频率只与振动系统自身性有关,也称为固有频率(naturalfrequency)。,4.相位与初相位(phaseandinitialphase),一是振动的周期性由相位来反映;二是相位确定了振动物体运动状态。,t+称为相位,称为初相位,单位是rad。,1o相位的意义是:,2o初相j,由开始时刻振动物体的运动状态决定,由运动方程可知:t=0时刻,5.相位差(phasefifference),两个简谐振动的相位之差称为相位差,用j表示,表示:,1oj反映两振动的步调情况:,j=0(或2整数倍),同步振动,j=(或奇数倍),振动步调相反,j0,x2振动超前;j0,x1振动超前,2o两振动到达同一状态的时间差是,五、旋转矢量(rotationalvector),在x轴上的投影为:,矢径A与x轴夹角为:,x=Acos(wt+j),(wt+j),以弹簧振子为例:,1o动能与势能均为时间的函数,位相差为/2,二者可以相互转化,总能量是与时间t无关的恒量。,能量随时间变化,能量随空间变化,2o,考察一个周期内的动能与势能平均值,在一个周期内的平均动能与平均势能相等,各是总能量的一半。,一、同频率同方向简谐振动合成,合振动位移x就是x1与x2的代数和,特点:1=2=,x1/x2,表示:对如下两个振动,合成结果为频率为w的简谐振动,由旋转矢量法得出A、是:,则:,则:,合振幅最大,合振幅最小,当A1=A2时:,合振幅最小值是0。,合振幅最大值是2A1;,则A在上述两者之间。,二、相互垂直同频率简谐振动的合成,特点:1=2=,对如下两个振动,合成得到质点的轨迹方程是,质点沿1、3(2、4)象限直线作简谐振动。,质点轨迹正椭圆,质点轨迹是任意形状椭圆。,一、阻尼振动(dampedvibration),振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。,1.阻尼模型,摩擦阻尼:,摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能,辐射阻尼:,振动系统引起临近质点的振动,使系统能量逐渐向四周辐射,阻尼模型,称为阻尼系数,条件:适用于物体低速运动情况,2.阻尼振动方程,以弹簧振子为例,阻尼振动微分方程,或写为,定义固有角频率0和阻尼因子,有,通解:,(1)欠阻尼振动,令,A与由初始条件确定,方程的解可写成,3.三种阻尼形式,这时是准周期性振动:,由通解,两项都衰减,不是周期振动,不能往复运动。,如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,(2)过阻尼振动,(3)临界阻尼振动,方程解,衰减函数,临界阻尼达到平衡位置的时间最短,但仍不能超过平衡位置。,三种阻尼振动比较,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,弹性力,阻尼力,驱动力,二、受迫振动(forcedvibration),物体在周期性外力持续作用下发生振动,称为受迫振动,这个外力称为驱动力,以弹簧振子为例,振子受力有,则运动方程是,式中,受迫振动方程的解为,此式表明:,第一项为阻尼振动项,当时间较长时衰减为0。,第二项为驱动力产生的简谐运动。,当系统达到稳定状态后,方程的解是,稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动,其振幅和初相是,二、共振(resonance),当驱动力频率接近或等于系统固有频率时,受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为共振,其频率称为共振频率。,由表达式,利用关系,共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。,相应的最大振幅和共振频率是,共振危害;,共振利用。,证明:在小角度下单摆作简谐运动。,证明:,1、细线质量不计,3、阻力不计,质点重力矩:,质点动量矩:,由动量矩定理,方程的解是:,其中,单摆的周期是,1.、的确定:,2.(结合周期T,结合旋转矢量法):,3.振动方程:,4.振动合成:,5.振动能量:,一水平弹簧振子做简谐振动,振幅A=410-2m,周期T=2s,t=0时,,试分别写出这两种情况下的振动方程。,解:1由初始条件,1,且向负方向运动;,2,且向正方向运动;,2同理:,说明:利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。,v00,A/2,-A/2,如图:,已知一简谐振动曲线,求振动方程.,解:由图可知,t=5,x=0:,一质点作简谐振动,其振动方程(SI),试用旋转矢量法求出质点由初始状态(t=0的状态)运动到x=-0.12,0的状态所需最短时间t。,解:由振动方程可知,一质点沿x轴作简谐振动,其圆频率,试写出以下初始状态下的振动方程:其初始位移,初始速度,解:设振动方程为:,位移是振幅一半时,动能和势能各是总能量的多少?在什么位置动能和势能各是总能量的一半?,解:(1)x=A/2代入中,(2),弹簧振子沿x轴做简谐振动,其振动的最大位移xm=0.3m,最大恢复Fm=1.2N,最大速度m=1.2ms-1。t=0时刻的初位移是,且方向同x轴正方向一致。,求:1振动能量;2振动方程.,解:1,2由初始条件,一弹簧振子沿x轴做简谐振动,已知其振动的最大位移xm=0.3m,最大恢复力Fm=1.2N,最大速度m=1.2ms-1.当t=0时的初位移,且方向同x轴正方向一致.求:1振动能量;2振动方程.,求:全振动表达式。,一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动,其方程分别为:(SI),解:直接考察两个振动位相差:,一质点在x轴做谐振动,周期为T,当质点从A/2处运动到A处时经历的最短时间为A(A)T/12(B)T/6(C)T/8(D)T/24,解:,x,一质点沿x轴作简谐振动,振动方程为(SI),从t=0时刻起,到质点位置在x=-2cm处,且向x轴正方向运动的最短时间间隔为Cs。(A)1/8(B)1/4(C)1/2(D)1/6,解:,一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动,其振动方程分别为,cm,则关于合振动有结论B。(A)振幅等于1cm,初相等于;(B)振幅等于1cm,初相等于;(C)振幅等于7cm,初相等于;(D)振幅等于1cm,初相等于。,10,0,一物体质量为0.25kg,在弹性力作用下作简谐振动,弹簧的倔强系数k25,如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J,求(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移;(3)经过平衡位置时物体的速度。,作业1,- 配套讲稿:
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- 大学物理 课件 机械振动
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