高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4.ppt
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2.3两角和与差的正切函数,两角和与差的正切公式,sincos-cossin,coscos+sinsin,sincos+cossin,coscos-sinsin,1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)tan()=tantan.()(2)tan(+)=()(3)tan(40+50)=()(4)tan120=tan(30+90)=(),【解析】(1)错误,因为tan()=(2)错误,因为tan(+)=(3)错误,tan(40+50)中40+50=90,不成立.(4)错误,因为tan90不存在.答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)tan(30+45)=_.(2)tan(60-45)=_.(3)=_.(4)=_.,【解析】(1)原式=答案:(2)原式=答案:2-,(3)原式=tan(78-18)=tan60=.答案:(4)原式=tan(22+23)=tan45=1.答案:1,【要点探究】知识点正切的和、差角公式T1.公式成立的条件角,以及均不能等于k+(kZ),且tantan1(或tantan-1).,2.结构特征公式T的右侧为分式形式,其中分子为tan与tan的和或差,分母为1与tantan的差或和.,3.符号规律:分子同,分母反.,【微思考】(1)正用T时应注意什么?提示:应注意角及,的范围及分母不为零;分子、分母中间符号的选取及“1”的位置.(2)逆用T的关键是什么?提示:利用相关三角知识将逆用的三角函数式化简到T公式右边的结构,再逆用公式.,【即时练】1.tan(-165)的值是()2.计算的值为_.,【解析】1.选C.原式=tan15=tan(60-45)=2.=tan(45-75)=答案:,【题型示范】类型一利用T求值【典例1】(1)(2014渭南高一检测)已知那么=_.(2)(2013焦作高一检测)化简:=_.(3)设tan,tan是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0的两根,求tan(+)的最小值.,【解题探究】1.题(1)中+,可拆分为+与-的关系吗?2.题(2)中所求式子能否化为的形式?3.分析公式T+的整体结构,题(3)中要求tan(+),需要知道哪些量?,【探究提示】1.2.可化为的形式.3.需要知道tan与tan的和与积.,【自主解答】(1)因为所以=答案:(2)原式=答案:1,(3)由tan,tan是方程的两根得:且a0,又所以tan(+)=所以tan(+)的最小值是,【延伸探究】若将题(2)中式子变为“”,则其化简结果如何?【解析】原式=,【方法技巧】1.从三个角度入手直接利用公式T求值(1)复角化单角:公式tan()=及tan(+)=反映了复角化单角的思想,即要求的正切函数值,只需知道tan和tan的值,代入求解便可.(2)整体意识:公式T中有两个小团体“tantan”及“tantan”,求解时可利用整体思想代入求解.,(3)角的配凑:公式T中,只代表了角的某一形式,其可能是单纯的,也可能是某些小团体,如等式中相当于,相当于.,2.逆用公式的技巧在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用:公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.,【变式训练】已知tan(+)=5,tan(-)=3,求tan2,tan2,【解题指南】利用2=(+)+(-),2=(+)-(-).进行求解.,【解析】tan2=tan(+)+(-)=tan2=tan(+)-(-)=,【补偿训练】若则=_.【解析】答案:,类型二利用公式T求角【典例2】(1)(2014汉中高一检测)已知tan,tan是方程x2+x+4=0的两根,且则+的值为(),(2)(2014上饶高一检测)已知tan(-)=,tan=,且,(0,),求tan;求2-的值.,【解题探究】1.一元二次方程ax2+bx+c=0中,根与系数有怎样的关系?2.题(2)中是否可拆分为-与的和或差?2-是否可拆分为与-的和或差?【探究提示】1.x1+x2=x1x2=2.=(-)+,2-=+(-).,【自主解答】(1)选B.由已知得,tan+tan=tantan=4,所以tan0,tan0,tan(+)=所以-0,-0,所以-+0,所以+=,(2)tan=tan(-)+=tan(2-)=tan(-)+=又,(0,),tan=1,tan=0,所以所以2-(-,0),故2-=,【方法技巧】利用公式T求角的步骤(1)求值.计算待求角的正切函数值.(2)求范围.借助已知角的范围及题目隐含信息,求相关角的范围,注意角的范围越小越好.(3)求角.借助角的范围及角的三角函数值求角.,【变式训练】在ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则角C等于()【解析】选A.由题意tanA+tanB=-(1-tanAtanB),故tan(A+B)=又A+B+C=,所以,【补偿训练】(2013新余高一检测)已知tan(+)=,tan=,且(1)求tan的值.(2)求2+的值.【解析】(1)tan=tan(+-)=,(2)tan(2+)=tan+(+)=又因为且tan(+)=0,所以+所以2+(0,),所以2+=.,拓展类型利用公式T的变形求值【备选例题】(1)化简:tan10tan20+tan20tan60+tan60tan10的值等于()A.1B.2C.tan10D.tan20(2)化简:(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44).,【解析】(1)选A.因为tan(20+10)=所以tan20+tan10=tan30(1-tan20tan10),所以原式=tan10tan20+tan30(1-tan20tan10)=tan10tan20+1-tan20tan10=1.,(2)由两角和的正切公式可知:可知:tan1+tan44=1-tan1tan44,所以tan1+tan44+tan1tan44=1.所以(1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44=2,同理(1+tan2)(1+tan43)=2,所以(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)=222.,【方法技巧】1.两角和的正切公式的几种变形(1)tan+tan=tan(+)(1-tantan).(2)1-tantan=(3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+).(4)tantan=,2.应用T变形公式的解题技巧解答由异角正切值的和或差或积构成的三角求值问题时,常将待求式变形为满足T变形公式的结构,从而应用变形公式求值.,【规范解答】两角和与差的正切公式的综合应用【典例】(12分)(2014淮南高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点已知A,B的横坐标分别为(1)求tan()的值.(2)求2的值,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:解题时若在处漏掉为锐角,会使sin的结果出现正负两个值,则会导致多解而失分.失分点2:解题时若在处不会把+2变形为(+)+,使得下面无法进行而导致此题最多得6分.失分点3:解题时若在处忽视用和的范围来限制+2的范围,而直接得+2的值,最多得10分.,【悟题】提措施,导方向1.确定角的范围由于角的范围会直接影响三角函数方程解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素.2.注意挖掘隐含条件在确定所求角的范围时除了考虑给定的角的范围外,还要从给定的三角函数值上进一步缩小角的范围,防止出现增根.,【类题试解】(2014宝鸡高一检测)三个相同的正方形并排相连.求证:+=.,【证明】由题图易知=,所以只需证明+=.由题图可知,tan=,tan=,且,则tan(+)=因为0,0,所以0+.而在区间(0,)内,正切值为1的角有且只有1个,即.所以+=,所以+=.,- 配套讲稿:
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