2019-2020年高三下学期开学数学试卷(理科)含解析.doc
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2019-2020年高三下学期开学数学试卷(理科)含解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数=()A12iB1+2iC1+2iD12i2已知集合M=x|1x1,则MN=()Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|1x03执行如图所示的程序框图,则输出的i值为()A3B4C5D64“a1”是“函数f(x)=ax+cosx在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5给出下列函数中图象关于y轴对称的是()y=log2x; y=x2; y=2|x|; ABCD6已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A3B12C2D77设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x8某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过2880度(1度=千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.4883元;全年超过2880度至4800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.5383元;全年超过4800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.7883元下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有(参考数据:0.4883元/度2880度=1406.30元,0.5383元/度度+1406.30元=2439.84元)()ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在答题纸上.9九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的,书中有如下问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何?答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=(底面的圆周长的平方高),则该问题中圆周率的取值为10口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个,每次从中取一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取了5次停止种数为11在各项均为正数的等比数列an中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是12过双曲线=1(a0,b0)的左焦点F(c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点E,延长FE交双曲线于点P,O为原点,若=(+),则双曲线的离心率为13如果实数x,y满足关系,则的取值范围为14在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,C=,且sinC+sin(BA)2sin2A=0,下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)b=2a;ABC的周长为2+2;ABC的面积为;ABC的外接圆半径为三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共6小题,共80分15已知函数的图象过点()求实数a的值及函数f(x)的最小正周期;()求函数f(x)在上的最小值16某网络营销部门为了统计某市网友xx年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表):网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图)(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望17如图1,梯形AECD中,AECD,点B为边AE上一点,CBBA,把BCE沿边BC翻折成图2,使EBA=45(1)求证:BDEC;(2)求平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值18设两个函数f(x)和g(x),其中f(x)是三次函数,且对任意的实数x,都有f(x)+2f(x)=9x24x3,f(0)=1,g(x)=+xlnx(m1)(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:对于任意的x1,x2(0,+)都有f(x1)g(x2)成立19已知中心在坐标原点O,焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B,若AOB的面积为且直线AB经过点P(2,3)(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(,0)的动直线l交椭圆C于M,N两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以MN为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由20已知直角的三边长a,b,c,满足abc(1)在a,b之间插入xx个数,使这xx个数构成以a为首项的等差数列an,且它们的和为xx,求斜边的最小值;(2)已知a,b,c均为正整数,且a,b,c成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1,S2,S3,Sn,且,求满足不等式的所有n的值;(3)已知a,b,c成等比数列,若数列Xn满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且Xn是正整数xx学年北京四中高三(下)开学数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数=()A12iB1+2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解: =2i1,故选:D2已知集合M=x|1x1,则MN=()Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|1x0【考点】交集及其运算【分析】求出N中不等式的解集确定出N,找出M与N的交集即可【解答】解:由N中不等式变形得:x(x1)0,且x1,解得:0x1,即N=x|0x1,M=x|1x1,MN=x|0x1,故选:A3执行如图所示的程序框图,则输出的i值为()A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的m,i的值,当m=0时满足条件m=0,退出循环,输出i的值为4【解答】解:模拟执行程序框图,可得m=1,i=1,m=1(21)+1=2,i=2,不满足条件m=0,m=2(22)+1=1,i=3,不满足条件m=0,m=1(23)+1=0,i=4,满足条件m=0,退出循环,输出i的值为4故选:B4“a1”是“函数f(x)=ax+cosx在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:若函数f(x)=ax+cosx在R上单调递增,则f(x)0恒成立,即f(x)=asinx0,即asinx,1sinx1,a1,则“a1”是“函数f(x)=ax+cosx在R上单调递增”充分不必要条件,故选:A5给出下列函数中图象关于y轴对称的是()y=log2x; y=x2; y=2|x|; ABCD【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解:y=log2x的定义域为(0,+),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数;y=x2;是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件y=2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,故选:B6已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A3B12C2D7【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图可知该几何体为一个四棱锥,从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直,可将该四棱锥补成正方体,再去求解【解答】解:由三视图知该几何体为有一侧棱垂直底面的四棱锥,将此四棱锥补成正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以2r=,所以r=所以该几何体外接球的表面积为=3故选A7设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x【考点】抛物线的标准方程【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标,进而根据点斜式表示出直线l的方程,求得A的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a,则抛物线的方程可得【解答】解:抛物线y2=ax(a0)的焦点F坐标为,则直线l的方程为,它与y轴的交点为A,所以OAF的面积为,解得a=8所以抛物线方程为y2=8x,故选C8某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过2880度(1度=千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.4883元;全年超过2880度至4800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.5383元;全年超过4800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.7883元下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有(参考数据:0.4883元/度2880度=1406.30元,0.5383元/度度+1406.30元=2439.84元)()ABCD【考点】函数的图象【分析】通过居民阶梯电价可知图象不正确,通过记用电量为x度可知电费f(x)的表达式,进而可知均正确【解答】解:依题意,当全年用电量在2880度至4800度之间时,电价分两段,即全年电量中的2880度(1度=千瓦时)的每度电0.4883元、超出部分按每度电0.5383元计算,故图象不正确;记用电量为x度,电费为f(x)元/年,当0x2880,f(x)=0.4883x,当2880x4800,f(x)=0.488328880+0.5383(x2880)=1406.3+0.5383(x2880),当x4800,f(x)=2439.84+0.7883(x4800),x4800故均正确;综上所述,正确的是,故选:B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在答题纸上.9九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的,书中有如下问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何?答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=(底面的圆周长的平方高),则该问题中圆周率的取值为3【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【分析】由题意,圆柱体底面的圆周长20尺,高4尺,利用圆堡瑽(圆柱体)的体积V=(底面的圆周长的平方高),求出V,再建立方程组,即可求出圆周率的取值【解答】解:由题意,圆柱体底面的圆周长20尺,高4尺,圆堡瑽(圆柱体)的体积V=(底面的圆周长的平方高),V=,=3,R=,故答案为:310口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个,每次从中取一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取了5次停止种数为42【考点】排列、组合的实际应用【分析】恰好取5次球时停止取球,分两种情况3,1,1及2,2,1,利用组合知识求解即可【解答】解:分两种情况3,1,1及2,2,1当取球的个数是3,1,1时,满足条件的事件数是C31C43C21=24;当取球的个数是2,2,1时,满足条件的事件数是C31C42C22=18;这两种情况是互斥的,利用加法原理可得恰好取了5次停止种数为24+18=42,故答案为4211在各项均为正数的等比数列an中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是4【考点】等比数列的通项公式;数列的函数特性【分析】由基本不等式可得,a1+2a32=,结合已知即可求解【解答】解:a2=2,且an0由基本不等式可得,a1+2a32=4即最小值为故答案为:12过双曲线=1(a0,b0)的左焦点F(c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点E,延长FE交双曲线于点P,O为原点,若=(+),则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知|EF|=b,|PF|=2b,|PF|=2a,再由|PF|PF|=2a,知b=2a,由此能求出双曲线的离心率【解答】解:|OF|=c,|OE|=a,OEEF,|EF|=b,=(+),|PF|=2b,|PF|=2a,|PF|PF|=2a,b=2a,e=故答案为:13如果实数x,y满足关系,则的取值范围为,3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论【解答】解: =2+z的几何意义是区域内的点到D(3,1)的斜率加2,作出不等式组对应的平面区域如图:由,可得A(,),B(2,0),由图象可知,当AD的斜率最小为=,BD的斜率最大为=3,故z的取值范围:,3,故答案为:,314在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,C=,且sinC+sin(BA)2sin2A=0,下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)b=2a;ABC的周长为2+2;ABC的面积为;ABC的外接圆半径为【考点】正弦定理【分析】根据内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知的式子,由化简的结果进行分类讨论,由内角的范围、余弦定理分别解三角形,根据结果分别判断、;利用三角形的面积公式求出ABC的面积判断;根据正弦定理判断【解答】解:由C=AB的,sinC=sin(A+B),sinC+sin(BA)2sin2A=0,sin(A+B)+sin(BA)2sin2A=0,化简得,sinBcosA2sinAcosA=0,则cosA(sinB2sinA)=0,cosA=0或sinB2sinA=0,(1)当cosA=0,A=时,由C=得B=,c=2,b=ctanB=,则a=;(2)当sinB2sinA=0时,由正弦定理得,b=2a,c=2,C=,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,则,解得a=,则b=,此时满足b2=a2+c2,即B=,对于,当A=时,a=2b,故错误;对于,当A=或B=时,ABC的周长为:a+b+c=2+2,故正确;对于,当B=时,ABC的面积S=,当A=时, =,成立,故正确;对于,当A=或B=时,由正弦定理得2R=,得R=,故正确,综上可得,命题正确的是,故答案为:三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共6小题,共80分15已知函数的图象过点()求实数a的值及函数f(x)的最小正周期;()求函数f(x)在上的最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象【分析】()由三角函数公式化简可得f(x)=,由周期公式可得周期,由图象过点可得a值;()由和解析式结合三角函数的最值可得【解答】解:()由三角函数公式化简可得=函数f(x)的图象过点,解得函数f(x)的最小正周期为;(),当即时,函数f(x)取最小值16某网络营销部门为了统计某市网友xx年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表):网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图)(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列;频率分布表;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差【分析】(1)由频数之和为60与“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2,列出关于x,y的方程组,由此能求出x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(2)由题设知的可能取值为0,1,2,3,利用已知条件结合排列组合知识分别求出相对应的概率,由此能求出的分布列和数学期望【解答】(本小题满分12分)解:(1)根据题意,有解得p=0.15,q=0.10补全频率分布直方图如图所示 (2)用分层抽样的方法,从中选取10人,则其中“网购达人”有人,“非网购达人”有人 故的可能取值为0,1,2,3;,所以的分布列为:0123p17如图1,梯形AECD中,AECD,点B为边AE上一点,CBBA,把BCE沿边BC翻折成图2,使EBA=45(1)求证:BDEC;(2)求平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质【分析】(1)取AB中点O,连结EO,DO,在ABE中,求解三角形可得AE=BE,进一步得到EOAB又CBBA,CBBE,利用线面垂直的判定可得CB平面ABE,则平面ABCD平面ABE,得到EO平面ABCD,有BDEO结合四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,可得四边形OBCD为正方形,得BDCO再由线面垂直的判定得BD平面COE,从而证得BDEC;(2)由(1)知OE,OD,OA两两互相垂直,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz设OA=1,求得A,B,C,D,E的坐标,然后求出平面CDE与平面ADE的一个法向量,由两个平面法向量所成角的余弦值得平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值【解答】(1)证明:取AB中点O,连结EO,DO,在ABE中,EBA=45,则AE=BE,EOABCBBA,CBBE,CB平面ABE,平面ABCD平面ABE,EO平面ABCD,得BDEO四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,四边形OBCD为正方形,得BDCO又EOCO=O,BD平面COE,BDEC;(2)解:由(1)知OE,OD,OA两两互相垂直,故建立如图所示空间直角坐标系Oxyz设OA=1,则A(0,1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1)设平面CDE的法向量为,则,取z1=1,得x1=1,则;设平面ADE的法向量为,则,取z2=1,得x2=y2=1,则平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值为18设两个函数f(x)和g(x),其中f(x)是三次函数,且对任意的实数x,都有f(x)+2f(x)=9x24x3,f(0)=1,g(x)=+xlnx(m1)(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:对于任意的x1,x2(0,+)都有f(x1)g(x2)成立【考点】利用导数研究函数的极值【分析】(1)使用待定系数法求解f(x)的解析式,再利用导数判断f(x)的单调性,得出极值点,计算极值;(2)当m=1时,g(x)=+xlnx,求出g(x)的最小值,与f(x)的最大值进行比较即可得出结论【解答】解:(1)设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f(x)=3ax2+2bx+c,f(x)=3ax22bx+c,f(x)+2f(x)=9ax22bx+3c=9x24x3,a=1,b=2,c=1,又f(0)=1,d=1f(x)=x3+2x2x+1,f(x)=3x2+4x1,令f(x)=0得x=或x=1当x或x1时,f(x)0,当时,f(x)0函数f(x)在(,)上单调递减,在(,1)上单调递增,在(,+)上单调递减,故当x=时,f(x)取得极小值f()=,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=1证明:(2)要证明对于任意的x1,x2(0,+)都有f(x1)g(x2)成立即可只需证当x1,x2(0,+)时,g(x2)minf(x1)max即可当m=1时,则当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,+)时,g(x)0,函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,gmin(x)=1,由(1)知对任意x1(0,+),f(x1)max=1,又m1,当x1,x2(0,+)时,g(x2)minf(x1)max成立故对于任意的x1,x2(0,+)都有f(x1)g(x2)成立19已知中心在坐标原点O,焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B,若AOB的面积为且直线AB经过点P(2,3)(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(,0)的动直线l交椭圆C于M,N两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以MN为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【分析】(1)利用待定系数法,列方程组解出a,b;(2)先求出l平行x轴和垂直x轴的特殊情况,找到两圆的公共点,再证明此公共点在动圆上即可【解答】解:(1)设椭圆方程为,(ab0)椭圆的上顶点为B(0,a),右顶点为A(b,0),直线AB的方程为=1,解得a=,b=1椭圆C的方程是=1(2)若直线与x轴重合,则MN=2b=2,圆的方程为x2+y2=1,若直线垂直于x轴,则MN=,圆的方程为(x+)2+y2=显然A(1,0)为两圆的公共点,因此所求的点T如果存在,只能是A(1,0)事实上,点(1,0)就是所求的点证明如下:当直线斜率存在时,设直线方程为y=k(x+)由联立方程组,得(k2+2)x2+x+2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=又y1y2=k2(x1+)(x2+)=k2x1x2+(x1+x2)+=(x11,y1),=(x21,y2),=(x11)(x21)+y1y2=x1x2(x1+x2)+1+k2x1x2+(x1+x2)+=(1+k2)x1x2+()(x1+x2)+1+(1+k2)+=0,AMAN,即以MN为直径的圆经过点A(1,0)所以在坐标平面上存在一个定点T(1,0),使得无论l如何转动,以MN为直径的圆恒过点T20已知直角的三边长a,b,c,满足abc(1)在a,b之间插入xx个数,使这xx个数构成以a为首项的等差数列an,且它们的和为xx,求斜边的最小值;(2)已知a,b,c均为正整数,且a,b,c成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1,S2,S3,Sn,且,求满足不等式的所有n的值;(3)已知a,b,c成等比数列,若数列Xn满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且Xn是正整数【考点】数列的求和【分析】(1)an是等差数列,可得,即a+b=2利用勾股定理与基本不等式的性质即可得出(2)设a,b,c的公差为d(dZ),则a2+(a+d)2=(a+2d)2,可得a=3d设三角形的三边长为3d,4d,5d,面积=6d2(dZ)可得:,利用等差数列的求和公式可得T2n由得,经过分类讨论即可得出(3)由a,b,c成等比数列,b2=ac由于a,b,c为直角三角形的三边长,知a2+ac=c2,又,得,可得Xn+Xn+1=Xn+2,再利用勾股定理进行验证即可得出【解答】解:(1)an是等差数列,即a+b=2c2=a2+b2=2,斜边的最小值为(当且仅当a=b=1等号成立,此时数列an中,an=1)(2)设a,b,c的公差为d(dZ),则a2+(a+d)2=(a+2d)2,a=3d设三角形的三边长为3d,4d,5d,面积S=6d2(dZ), =6(1+2+3+4+2n)=12n2+6n由得,当n5时,经检验当n=2,3,4时,当n=1时,综上所述,满足不等式的所有n的值为2、3、4(3)证明:因为a,b,c成等比数列,b2=ac由于a,b,c为直角三角形的三边长,知a2+ac=c2,又,得,于是=Xn+Xn+1=Xn+2,则有故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形因为, ,由Xn+Xn+1=Xn+2,同理可得,故对于任意的nN*都有Xn是正整数xx年11月10日- 配套讲稿:
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- 2019 2020 年高 学期 开学 数学试卷 理科 解析
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