2019年高考数学四模试卷含解析.doc
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2019年高考数学四模试卷含解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。1集合A=x|0x3,xR,B=x|1x2,xR,则AB=2在复平面内,复数z=(i是虚数单位)对应的点在第象限3函数f(x)=log(2x)的定义域为4数据1,3,5,7,9的标准差为5如图是一个算法流程图,则输出的T的值为6若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为4的概率是7在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(1,2),=(2,1),则|的值为8现用一半径为10cm,面积为100cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为cm39已知实数x,y满足+y2=1,则u=|3x+3y7|的取值范围为10已知0,且coscos=,sinsin=,则tan()的值为11在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(4,0),直线xy+m=0上存在唯一的点P满足=,则实数m的取值集合是12已知an为等差数列,an+1为等比数列,且a1=3,则an的值为13已知8a3+9a+c=0,b3c=0,其中a,b,c均为非零实数,则的值为14如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=,ACCD,AC=CD,当ABC变化时,对角线BD的最大值为二、解答题:本大题共6小题,共90分。解答写出文字说明、证明或验算步骤15已知tan=2,cos=,且a,(0,)(1)求cos2的值;(2)求2的值16如图,四棱锥PABCD的底面为矩形,AB=,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点,DEPA()求证:EF平面PAD;()求证:平面PAC平面PDE17在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的焦距F1F2的长为2,经过第二象限内一点P(m,n)的直线+=1与圆x2+y2=a2交于A,B两点,且OA=(1)求PF1+PF2的值;(2)若=,求m,n的值18如图,一个角形海湾AOB,AOB=2(常数为锐角)拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:方案一 如图1,围成扇形养殖区OPQ,其中=l;方案二 如图2,围成三角形养殖区OCD,其中CD=l;(1)求方案一中养殖区的面积S1;(2)求证:方案二中养殖区的最大面积S2=;(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由19已知函数 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)sin2x1,aR(1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程);(2)求函数 f(x)的最大值;(3)当a=1时,若函数 f(x)在区间(0,k)(kN*)上恰有xx个零点,求k的值20已知数列an满足:a1=a2=a3=k(常数 k0),an+1=(n3,nN*)数列bn满足:bn=(nN*)(1)求 b1,b2,b3,b4的值;(2)求出数列bn的通项公式;(3)问:数列an的每一项能否均为整数?若能,求出k的所有可能值;若不能,请说明理由【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评定。解答写出文字说明、证明或验算步骤选修4-1:几何证明选讲21如图,AB是半圆O的直径,延长AB到C,使BC=,CD切半圆O于点D,DEAB,垂足为E若AE:EB=3:1,求DE的长选修4-2:矩阵与变换22设矩阵A=的逆矩阵为A1,矩阵B满足AB=,求 A1,B选修4-4:坐标系与参数方程23已知点P在曲线C:(为参数)上,直线 l:(t为参数),求P到直线l距离的最小值选修4-5:不等式选讲24求函数 f(x)=+,x(0,)的最小值【必做题】第22题、23题,每题10分,共计20分。解答写出文字说明、证明或验算步骤25假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P(0P1)现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完3次投篮机会的概率是(1)求P的值;(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望E()26已知数列an满足 an+1=(1+)an+( nN*),且 a1=1(1)求证:当 n2 时,an2;(2)利用“x0,ln(1+x)x,”证明:an2e (其中e是自然对数的底数)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。1集合A=x|0x3,xR,B=x|1x2,xR,则AB=x|1x3【考点】并集及其运算【分析】根据题意,做出数轴,进而结合并集的意义即可得答案【解答】解:根据题意,做出数轴可得再由并集的意义,可得AB=x|1x3,故答案为x|1x32在复平面内,复数z=(i是虚数单位)对应的点在第一象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案【解答】解:z=,复数z=对应的点的坐标为(2,1),在第一象限故答案为:一3函数f(x)=log(2x)的定义域为(,2)【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求出解集即可【解答】解:函数f(x)=log(2x),2x0,解得x2,f(x)的定义域为(,2)故答案为:(,2)4数据1,3,5,7,9的标准差为2,【考点】极差、方差与标准差【分析】首先做出这组数据的平均数,再利用方差的公式,代入数据做出这组数据的方差,最后把方差开方做出这组数据的标准差【解答】解:样本的平均数=5,这组数据的方差是S2= (15)2+(35)2+(55)2+(75)2+(95)2,S2=8,标准差S=2,故答案为:2,5如图是一个算法流程图,则输出的T的值为14【考点】程序框图【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S的值,判定是否满足S10,不满足则循环,直到满足就跳出循环,最后求出T值即可【解答】解:模拟执行程序,可得S=0,i=1S=1,不满足条件S10,执行循环体,i=2,S=3,不满足条件S10,执行循环体,i=3,S=6,不满足条件S10,执行循环体,i=4,S=10,满足条件S10,退出循环,T=10+4=14,输出T的值为14故答案为:146若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为4的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】分别求出基本事件数,“点数和为4”的种数,再根据概率公式解答即可【解答】解析:基本事件共66个,点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,故故填:7在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(1,2),=(2,1),则|的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出的坐标,得出的坐标,代入模长公式计算即可【解答】解:=(1,2),=(2,1),=(3,1),=(15,5)=(14,3)|=故答案为:8现用一半径为10cm,面积为100cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为cm3【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【分析】设圆锥形容器的底面半径是r、高为h,由扇形的面积公式列出方程求出r,结合条件求出h,代入圆锥的体积公式求解即可【解答】解:设圆锥形容器的底面半径是r,高为h,由题意得,解得r=10(cm),则h=10(cm),所以圆锥形容器的体积V=(cm3),故答案为:9已知实数x,y满足+y2=1,则u=|3x+3y7|的取值范围为1,13【考点】椭圆的简单性质【分析】令t=3x+3y7,与椭圆方程联立,由判别式等于0求得t的范围,则u=|3x+3y7|的取值范围可求【解答】解:令t=3x+3y7,即,联立,得12x26(t+7)x+t2+14t+40=0由=36(t+7)248(t2+14t+40)=0,得t214t+13=0,即t=1或t=13u=|3x+3y7|的取值范围为1,13故答案为:1,1310已知0,且coscos=,sinsin=,则tan()的值为【考点】两角和与差的正切函数【分析】由已知求得cos(),利用平方关系求得sin(),再由商的关系求得tan()【解答】解:由coscos=,sinsin=,得cos()=coscos+sinsin=,cos()=,0,0,则sin()=,则tan()=故答案为:11在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(4,0),直线xy+m=0上存在唯一的点P满足=,则实数m的取值集合是2,2【考点】两点间距离公式的应用【分析】设出点P(x,x+m),由=得出4|PA|2=|PB|2,利用两点之间的距离公式求出m的解析式,通过三角函数代换即可得出它的取值范围【解答】解:根据题意,设P(x,x+m),=,4|PA|2=|PB|2,4(x1)2+4(x+m)2=(x4)2+(x+m)2,化为(x+m)2=4x2,4x20,解得x2,2,m=x,令x=2cos,0,m=2cos2sin=2sin()2,2,故实数m的取值范围是2,2故答案为:2,212已知an为等差数列,an+1为等比数列,且a1=3,则an的值为27【考点】数列的求和【分析】根据等差数列和等比数列的性质求出公差d=0,得到数列为常数列,即可求出前9项和【解答】解:由an为等差数列,设公差为d,a2=3+d,a3=3+2d,由an+1为等比数列,a1+1,a2+1,a3+1为等比数列,即4,4+d,4+2d为等比数列,(4+d)2=4(4+2d),解得d=0,an=93=27,故答案为:2713已知8a3+9a+c=0,b3c=0,其中a,b,c均为非零实数,则的值为【考点】有理数指数幂的化简求值【分析】化简方程可得(2a)3+32a+b33b=0,从而可得(2a)3+32a=(b)3+3b,再由y=x3+3x在R上是增函数可得2a=b,从而解得【解答】解:8a3+9a+c=0,(2a)3+32a+c=0,b3c=0,b33bc=0,(2a)3+32a+b33b=0,(2a)3+32a=(b)3+3b,y=x3+3x在R上是增函数,2a=b,=故答案为:14如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=,ACCD,AC=CD,当ABC变化时,对角线BD的最大值为+1【考点】解三角形的实际应用【分析】设ABC=,ACB=,求出AC,sin,利用余弦定理,即可求出对角线BD的最大值【解答】解:设ABC=,ACB=,则AC2=42cos,由正弦定理可得sin=,BD2=3+42cos2cos(90+)=72cos+2sin=7+2sin(45),=135时,BD取得最大值+1故答案为: +1二、解答题:本大题共6小题,共90分。解答写出文字说明、证明或验算步骤15已知tan=2,cos=,且a,(0,)(1)求cos2的值;(2)求2的值【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正切函数【分析】(1)由tan=2,利用弦化切公式求得cos2的值;(2)由(1)中求得的cos2,结合平方关系求得sin2,再由已知求得sin,结合两角差的正弦求得sin(2),再由2的范围求得答案【解答】解:(1)tan=2,cos2=;(2)由已知tan=2,(0,),可得,(),2(),则sin2=,又cos=,且(0,),(),sin=则sin(2)=sin2coscos2sin=2(),(),2(),则2=16如图,四棱锥PABCD的底面为矩形,AB=,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点,DEPA()求证:EF平面PAD;()求证:平面PAC平面PDE【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定【分析】()连接EC,并延长与DA的延长线交于N,则E是AC的中点,可得EFPA,即可证明EF平面PAD;()证明DE平面PAC,再证明平面PAC平面PDE【解答】证明:()连接EC,并延长与DA的延长线交于N,则E是AB的中点,因为F是PC的中点,所以EFPN,又EF平面PAD,PN平面PAD,故EF平面PAD ()设ACDE=G,由AEGCDG及E为AB中点得=,又因为AB=,BC=1,所以AC=,AG=AC=所以,又BAC为公共角,所以GAEBAC所以AGE=ABC=90,即DEAC 又DEPA,PAAC=A,所以DE平面PAC 又DE平面PDE,所以平面PAC面PDE 17在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的焦距F1F2的长为2,经过第二象限内一点P(m,n)的直线+=1与圆x2+y2=a2交于A,B两点,且OA=(1)求PF1+PF2的值;(2)若=,求m,n的值【考点】椭圆的简单性质【分析】(1)由OA=,可得a=把点P(m,n)代入直线方程+=1,可得: =1,可得点P在椭圆上,即可得出(2)由a=,c=1,可得b2=a2c2=1设A(x1,y1),B(x2,y2)联立,化为:(4n2+m2)x24mx+48n2=0. =,化为2(x2x1)=,即x2x1=,4x1x2=,把根与系数的关系代入可得:56n4+10n2m236n2m4=0,又=1,联立解出即可得出【解答】解:(1)OA=,a=把点P(m,n)代入直线方程+=1,可得: =1,点P在椭圆上,PF1+PF2=2a=2(2)由a=,c=1,b2=a2c2=1设A(x1,y1),B(x2,y2)联立,化为:(4n2+m2)x24mx+48n2=0,x1+x2=,x1x2=,(x2x1,y2y1)(2,0)=,化为2(x2x1)=,即x2x1=,4x1x2=,代入可得:=,化为:56n4+10n2m236n2m4=0,又=1,把m2=22n2代入化为8n42n21=0,联立解得m2=1,n2=点P在第二象限,取m=1,n=18如图,一个角形海湾AOB,AOB=2(常数为锐角)拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:方案一 如图1,围成扇形养殖区OPQ,其中=l;方案二 如图2,围成三角形养殖区OCD,其中CD=l;(1)求方案一中养殖区的面积S1;(2)求证:方案二中养殖区的最大面积S2=;(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由【考点】扇形面积公式【分析】(1)方案一:设此扇形所在的圆的半径为r,则l=r2,可得r=利用扇形面积计算公式可得S1(2)设OC=x,OD=y,利用余弦定理与基本不等式的性质可得:l2=x2+y22xycos22xy2xycos2,可得:xy,即可得出(3)=,对当tan与l的大小关系分类讨论即可得出【解答】解:(1)方案一:设此扇形所在的圆的半径为r,则l=r2,r=S1=证明:(2)设OC=x,OD=y,则l2=x2+y22xycos22xy2xycos2,可得:xy,当且仅当x=y时取等号养殖区的最大面积S2=sin2=;解:(3)=,当tanl时,选取方案一;当tan=l时,选取方案一或二都可以;当tanl时,选取方案二19已知函数 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)sin2x1,aR(1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程);(2)求函数 f(x)的最大值;(3)当a=1时,若函数 f(x)在区间(0,k)(kN*)上恰有xx个零点,求k的值【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值【分析】(1)由周期函数的定义(2)换元,由二次函数的性质得到最值(3)由一个周期内的情况类比出xx个零点的情况【解答】解:(1)函数 f(x)的最小正周期为(2)f(x)=a(|sinx|+|cosx|)sin2x1,aR=asin2x1=a(sin2x+1),令t=,t0,y=att2=(ta)2+a2,a0时,在t=0处,ymax=0,0a时,在t=a处,ymax=a2,a时,在t=处,ymax=a2(3)当a=1时,f(x)=sin2x1,当且仅当sin2x=0时,f(x)=0,x(0,时,f(x)有且仅有两个零点分别为,xx=21007+1,k=100820已知数列an满足:a1=a2=a3=k(常数 k0),an+1=(n3,nN*)数列bn满足:bn=(nN*)(1)求 b1,b2,b3,b4的值;(2)求出数列bn的通项公式;(3)问:数列an的每一项能否均为整数?若能,求出k的所有可能值;若不能,请说明理由【考点】数列递推式【分析】(1)经过计算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+,由数列bn满足:bn=(n=1,2,3,4),从而可求求b1,b2,b3,b4;(2)由条件可知:an+1an2=k+anan1得an+2an1=k+an+1an,两式相减整理得bn=bn2,从而可求数列bn的通项公式;(3)假设存在正数k,使得数列an的每一项均为整数则由(2)可知:,由a1=kZ,a6=k+4+Z,可求得k=1,2证明 k=1,2时,满足题意,说明k为1,2时,数列an是整数列【解答】解:(1)由已知可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+把数列an的项代入bn=,求得b1=b3=2,;(2)由an+1=(n3,nN*),可知:an+1an2=k+anan1则:an+2an1=k+an+1an有:,即:bn=bn2,;(3)假设存在正数k,使得数列an的每一项均为整数,则由(2)可知:,由a1=kZ,a6=k+4+Z,可知k=1,2当k=1时, =3为整数,利用a1,a2,a3Z,结合式,可知an的每一项均为整数;当k=2时,变为,用数学归纳法证明a2n1为偶数,a2n为整数n=1时,结论显然成立,假设n=k时结论成立,这时a2n1为偶数,a2n为整数,故a2n+1=2a2na2n1为偶数,a2n+2为整数,n=k+1时,命题成立故数列an是整数列综上所述,k为1,2时,数列an是整数列【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评定。解答写出文字说明、证明或验算步骤选修4-1:几何证明选讲21如图,AB是半圆O的直径,延长AB到C,使BC=,CD切半圆O于点D,DEAB,垂足为E若AE:EB=3:1,求DE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】设EB=x,即有AE=3x,OE=x,半径为2x,由勾股定理,可得DE=x,连接OD,可得ODCD,运用射影定理,可得DE2=OECE=OE(EB+BC),解方程可得x,进而得到DE的长【解答】解:由AE:EB=3:1,可设EB=x,即有AE=3x,OE=x,半径为2x,在直角三角形DOE中,DE=x,连接OD,可得ODCD,在直角三角形DOC中,由射影定理可得DE2=OECE=OE(EB+BC),即为3x2=x(x+),解得x=,则DE=选修4-2:矩阵与变换22设矩阵A=的逆矩阵为A1,矩阵B满足AB=,求 A1,B【考点】逆变换与逆矩阵【分析】由逆矩阵的公式A1=A*,求得其伴随矩阵和|A|,即可求得 A1,由AB=,列二元一次方程组,求得a和b的值,即可求得矩阵B【解答】解:|A|=adbc=7+6=1,A1=A*=,A1=,设B=AB=,解得:,B=选修4-4:坐标系与参数方程23已知点P在曲线C:(为参数)上,直线 l:(t为参数),求P到直线l距离的最小值【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】求出直线的普通方程,利用点到直线的距离公式,通过三角函数的有界性求解最小值【解答】解:直线 l:(t为参数),的普通方程为:xy6=0P到直线l距离为: =,其中tan=当cos(+)=1时,表达式取得最小值:选修4-5:不等式选讲24求函数 f(x)=+,x(0,)的最小值【考点】基本不等式【分析】x(0,),可得14x,4x(0,1)变形f(x)=+=4x+(14x),展开利用基本不等式的性质即可得出【解答】解:x(0,),14x,4x(0,1)f(x)=+=4x+(14x) =17+17+8=25,当且仅当x=时取等号f(x)的最小值为25【必做题】第22题、23题,每题10分,共计20分。解答写出文字说明、证明或验算步骤25假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P(0P1)现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完3次投篮机会的概率是(1)求P的值;(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望E()【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列【分析】(1)利用对立事件,结合恰用完3次投篮机会的概率是,求P的值;(2)的可能取值为0,1,2,3,求出相应的概率,即可求的概率分布及数学期望E()【解答】解:(1)设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”由题意,P(A)=1(1p)2=,p=;(2)的可能取值为0,1,2,3,则P(=0)=(1p)2=,P(=1)=p(1p)2+(1p)p(1p)=,P(=3)=p3=P(=2)=1P(=0)P(=1)P(=3)=,的概率分列为 0 1 23 P数学期望E()=0+1+2+3=26已知数列an满足 an+1=(1+)an+( nN*),且 a1=1(1)求证:当 n2 时,an2;(2)利用“x0,ln(1+x)x,”证明:an2e (其中e是自然对数的底数)【考点】数列递推式【分析】(1)由已知结合数列递推式可得a2=20,an0,然后利用作差法证明an+1an;(2)利用an+1=(1+)an+,结合x0,ln(1+x)x,得到an+1=(1+)an+(1+)an+=()an两边取对数,可得(n2)然后累加证得答案【解答】证明:(1)a1=10,由an+1=(1+)an+,得a2=20,可得an0,又,即an+1an,a2=2,当n2 时,ana2=2;(2)由(1)知,当n2时,an+1=(1+)an+(1+)an+=()an两边取自然对数得:,令f(x)=ln(1+x)x(x0),则当x0时,f(x)=恒成立,f(x)为0,+)上的增函数,则f(x)f(0)=0x0,ln(1+x)x恒成立(n2)故(n3),累加得:lnanlna2a2=2,ln,则an2e (n3)又成立an2exx8月27日- 配套讲稿:
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- 2019 年高 数学四 试卷 解析
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