2019-2020年高二上学期第一次联考数学试卷(理科) 含解析.doc
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2019-2020年高二上学期第一次联考数学试卷(理科) 含解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1已知点A(,1),B(3,1),则直线AB的倾斜角是()A60B30C120D1502与直线y=3x+1平行,且与直线y=2x+4交于x轴上的同一点的直线方程是()Ay=3x+4By=x+4Cy=3x6Dy=x+3已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,AC=2,BC=3,AA1=4,则此三棱柱的体积等于()A24B12C8D44圆x2+y2+4x2y1=0关于坐标原点对称的圆的方程是()A(x+2)2+(y1)2=6B(x2)2+(y1)2=6C(x2)2+(y+1)2=6D(x+2)2+(y+1)2=65某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A(5+)B(20+2)C(10+)D(5+2)6若m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A若m,则mB若m,m,则C若,则D若=m,=n,mn,则7某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH正四棱锥PEFGH的高为,EF长为2,AE长为1,则该组合体的表面积为()A20B4+12C16D4+88已知圆M:x2+y22mx+4y+m21=0与圆N:x2+y2+2x+2y2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,则圆M的圆心坐标为()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)9已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()ABCD10已知点A、B、C、D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,DB平面ABC,四面体ABCD的体积为,则这个球的体积为()A8BC16D11曲线y=1+与直线kxyk+3=0有两个交点,则实数k的取值范围是()A(,)(0,+)B(,0)CD2,)(0,12如图正方体ABCDA1B1C1D1,棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是()当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1交点R满足C1R1=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13过点P(2,1)且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为14几何体ABCDEF如图所示,其中ACAB,AC=3,AB=4,AE、CD、BF均垂直于面ABC,且AE=CD=5,BF=3,则这个几何体的体积为15直线x2y3=0与圆(x2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则EOF(O为坐标原点)的面积等于16如图,在三棱锥SABC中,ABC是边长为2的正三角形,SA=SB=SC=4,平面DEFH分别与三棱锥SABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H,若直线SB平面DEFH,直线AC平面DEFH,则平面DEFH与平面SAC所成的二面角(锐角)的余弦值等于三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,BAD=45,AB=2,AD=,PA平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点(1)求证:BE平面PDF;(2)求证:平面PDF平面PAB18已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点(1)求圆A的方程(2)当|MN|=2时,求直线l方程19如图,正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,D是BC的中点 (1)求直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求三棱锥C1ADB1的体积20已知点(0,1),(3+2,0),(32,0)在同圆C上 (1)求圆C方程 (2)若圆C与直线xy+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值21如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,PAB=60(1)证明AD平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值;(3)求二面角PBDA的正切值22如图,圆C:x2(1+a)x+y2ay+a=0(1)若圆C的半径为,求圆C的方程;(2)已知a1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B问:是否存在实数a,使得ANM=BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由xx重庆市名校联盟高二(上)第一次联考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1已知点A(,1),B(3,1),则直线AB的倾斜角是()A60B30C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】先求出直线AB的斜率k,设倾斜角,根据斜率的定义得到tan=k【解答】解:设直线的倾斜角为,而直线AB的斜率k=,根据斜率的定义得:tan=k即tan=,0180,=150故选:D2与直线y=3x+1平行,且与直线y=2x+4交于x轴上的同一点的直线方程是()Ay=3x+4By=x+4Cy=3x6Dy=x+【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】依题意,可求得所求直线斜率及与x轴交点坐标,利用点斜式即可求得其方程【解答】解:直线y=3x+1的斜率为3,则所求直线斜率k=3,直线方程y=2x+4中,令y=0,则x=2,即所求直线与x轴交点坐标为(2,0)故所求直线方程为y=3(x+2),即y=3x6故选C3已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,AC=2,BC=3,AA1=4,则此三棱柱的体积等于()A24B12C8D4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】三棱柱为直三棱柱,则侧棱垂直于底面,故体积V=SABCAA1【解答】解:三棱柱为直三棱柱,则侧棱垂直于底面;AA1面ABC;V=SABCAA1=234=12故选:B4圆x2+y2+4x2y1=0关于坐标原点对称的圆的方程是()A(x+2)2+(y1)2=6B(x2)2+(y1)2=6C(x2)2+(y+1)2=6D(x+2)2+(y+1)2=6【考点】圆的标准方程【分析】吧已知圆的方程化为标准形式,求出圆心关于坐标原点对称的圆的圆心,可得要求的圆的标准方程【解答】解:圆x2+y2+4x2y1=0,即(x+2)2+(y1)2 =6,它的圆心为(2,1),故它关于坐标原点对称的圆的圆心为(2,1),故它关于坐标原点对称的圆的方程(x2)2+(y+1)2 =6,故选:C5某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A(5+)B(20+2)C(10+)D(5+2)【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项【解答】解:由三视图可知这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,圆柱的底面积为,圆柱的侧面积为22=4,圆锥的母线长为,侧面积为,所以总的侧面积为,故选A6若m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A若m,则mB若m,m,则C若,则D若=m,=n,mn,则【考点】平面与平面垂直的判定【分析】可以通过空间想象的方法,想象每个选项中的图形,并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论,即可找出正确选项【解答】解:A错误,由,得不出内的直线垂直于;B正确,m,根据线面平行的性质定理知,内存在直线nm,m,n,n,;C错误,若两个平面同时和一个平面垂直,可以想象这两个平面可能平行,即不一定得到;D错误,可以想象两个平面、都和相交,交线平行,这两个平面不一定平行故选B7某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH正四棱锥PEFGH的高为,EF长为2,AE长为1,则该组合体的表面积为()A20B4+12C16D4+8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】求出正四棱锥PEFGH的斜高,即可求出该组合体的表面积【解答】解:由题意,正四棱锥PEFGH的斜高为=2,该组合体的表面积为22+421+4=20,故选A8已知圆M:x2+y22mx+4y+m21=0与圆N:x2+y2+2x+2y2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,则圆M的圆心坐标为()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意在RtAMN中,|AM|2=|AN|2+|MN|2,即可求圆M的圆心坐标【解答】解:由题意,圆M的圆心坐标为(m,2),半径为圆N的圆心N(1,1),半径为2,N为弦AB的中点,在RtAMN中,|AM|2=|AN|2+|MN|2,5=4+(m+1)2+1,m=1,圆M的圆心坐标为(1,2)故选C9已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角(如A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cos=故选D10已知点A、B、C、D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,DB平面ABC,四面体ABCD的体积为,则这个球的体积为()A8BC16D【考点】球的体积和表面积【分析】将四面体扩充为长方体,体对角线为=2,求出球的半径,即可求出球的体积【解答】解:根据题意知,ABC是一个直角三角形,其面积为1DB平面ABC,四面体ABCD的体积为,=,DB=2,将四面体扩充为长方体,体对角线为=2,球的半径R=则这个球的体积为:S=()3=故选B11曲线y=1+与直线kxyk+3=0有两个交点,则实数k的取值范围是()A(,)(0,+)B(,0)CD2,)(0,【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线过定点,以及直线和圆的位置关系即可得到结论利用数形结合作出图象进行研究即可【解答】解:由kxyk+3=0知直线l过定点(1,3),将y=1+两边平方得x2+(y1)2=4,则曲线是以(0,1)为圆心,2为半径,且位于直线y=1上方的半圆当直线l过点(2,1)时,直线l与曲线有两个不同的交点此时2k1k+3=0,解得k=,当直线l过点(2,1)时,直线l与曲线有两个不同的交点此时2k1k+3=0,解得k=2,当直线l与曲线相切时,直线和圆有一个交点,圆心(0,1)到直线kxyk+3=0的距离d=2,解得k=0或要使直线kxyk+3=0与曲线y=1+有两个交点时,则实数k的取值范围是2,)(0,故选:D12如图正方体ABCDA1B1C1D1,棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是()当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1交点R满足C1R1=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由已知情况根据CQ的不同取值,分别作出图形,利用数形结合思想能求出结果【解答】解:当CQ=时,S为等腰梯形,正确,图如下:当CQ=1时,S是菱形,面积为=,正确,图如下:当CQ=时,画图如下:C1R=,正确当时,如图是五边形,不正确;当0CQ时,如下图,是四边形,故正确故选:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13过点P(2,1)且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为2x+y3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】设与直线x2y+3=0垂直的直线的方程为 2x+y+c=0,把点P(2,1)的坐标代入求出c值,即得所求的直线的方程【解答】解:设所求的直线方程为2x+y+c=0,把点P(2,1)的坐标代入得41+c=0,c=3,故所求的直线的方程为2x+y3=0,故答案为2x+y3=014几何体ABCDEF如图所示,其中ACAB,AC=3,AB=4,AE、CD、BF均垂直于面ABC,且AE=CD=5,BF=3,则这个几何体的体积为26【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】如图所示,延长BF到M,使FM=2,连接EM,MD,则几何体ABCDEM为直三棱柱,FDEM为三棱锥,FM底面DEM利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解:如图所示,延长BF到M,使FM=2,连接EM,MD,则几何体ABCDEM为直三棱柱,FDEM为三棱锥,FM底面DEM几何体ABCDEF的体积V=26故答案为:2615直线x2y3=0与圆(x2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则EOF(O为坐标原点)的面积等于【考点】直线与圆相交的性质【分析】先求出圆心O1(2,3)到直线的距离,由弦长公式求得|EF|,再利用点到直线的距离公式求出O到l的距离,代入三角形的面积公式进行运算【解答】解析:如图:圆心O1(2,3)到直线 l:x2y3=0的距离为,则由弦长公式可得|EF|=2=4,O到l的距离d=,故SOEF=d|EF|=,故答案为:16如图,在三棱锥SABC中,ABC是边长为2的正三角形,SA=SB=SC=4,平面DEFH分别与三棱锥SABC的四条棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H,若直线SB平面DEFH,直线AC平面DEFH,则平面DEFH与平面SAC所成的二面角(锐角)的余弦值等于【考点】二面角的平面角及求法【分析】取AC的中点O,连结连结OB,交DE于N,连结SO,交HF于M,由已知条件推导出NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角,由此能求出结果【解答】解:D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点,DEAC,FHAC,DHSBEFSB,则四边形DEFH是平行四边形,SA=SB=SC=4,ABC是边长为2的正三角形,且HD=EF=2,DE=HF=1,取AC的中点O,连结OB,交DE于N,连结SO,交HF于M,SA=SC=SB=4,AB=BC=AC=2,ACSO,ACOB,S0OB=O,AO平面SOB,HFAO,HF平面MON,MOHF,MNHF,平面DEFH平面SAC=HF,NMO为平面DEFH与平面SAC所成角的平面角,MN=,MO=,NO=,cosNMO=故答案为:三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,BAD=45,AB=2,AD=,PA平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点(1)求证:BE平面PDF;(2)求证:平面PDF平面PAB【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定【分析】(1)取PD的中点M,由三角形的中位线定理,结合已知条件,易证明四边形MEBF是平行四边形,且BEMF,结合线面平行的判定定理,即可得到BE平面PDF;(2)连接BD,由BAD=45,AB=2,AD=,F为AB的中点,可得DFAB,由PA平面ABCD,可得PADF,结合线面垂直的判定定理可得DF平面PAB,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面PDF平面PAB【解答】证明:(1)取PD的中点M,E是PC的中点,ME是PCD的中位线,MEFB,四边形MEBF是平行四边形,BEMF,BE平面PDF,MF平面PDF,BE平面PDF(2)连接BD,BAD=45,AB=2,AD=,F为AB的中点,DFAB,又PA平面ABCD,PADF,又由PAAB=A,DF平面PAB,又DF平面PDF,平面PDF平面PAB18已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点(1)求圆A的方程(2)当|MN|=2时,求直线l方程【考点】直线与圆相交的性质【分析】(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径,从而求解圆的方程;(2)根据相交弦长公式,求出圆心到直线的距离,设出直线方程,再根据点到直线的距离公式确定直线方程【解答】解:(1)意知A(1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r,圆A方程为(x+1)2+(y2)2=20(2)垂径定理可知MQA=90且,在RtAMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为:y=k(x+2)或x=2,显然x=2合题意由A(1,2)到l距离为1知3x4y+6=0或x=2为所求l方程19如图,正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,D是BC的中点 (1)求直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求三棱锥C1ADB1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系【分析】(1)连结A1C交AC1于E,连结DE,由三角形中位线性质可得C1DE为直线A1B与C1D所成的角,然后由已知求解直角三角形得到三角形C1DE的三边长,利用余弦定理求得直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)直接利用等积法把三棱锥C1ADB1的体积转化为三棱锥ADB1C1的体积求解【解答】解:(1)连结A1C交AC1于E,连结DE,D为BC中点,E为A1C的中点,DEA1B,C1DE为直线A1B与C1D所成的角侧棱长和低面边长均为2,在C1DE中,cos=;(2)C1C平面ABC,AD平面ABC,C1CAD,在正三角形ABC中,D为BC中点,ADBC,则AD平面BCC1B1,=20已知点(0,1),(3+2,0),(32,0)在同圆C上 (1)求圆C方程 (2)若圆C与直线xy+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值【考点】直线与圆的位置关系;圆的标准方程【分析】(1)设出圆的标准方程,把三个点代入,联立方程组求得(2)设出点A,B的坐标,联立直线与圆的方程,消去y,确定关于x的一元二次方程,已知的垂直关系,确定x1x2+y1y2=0,利用韦达定理求得a【解答】解:(1)圆过(3+2,0),(32,0)点,故圆心的横坐标为3,设圆的方程为(x3)2+(yn)2=r2,把点(3+2,0)代入圆的方程得8+n2=r2,把点(0,1)代入圆的方程得9+(1n)2=r2,联立求得n=1,r2=9,故圆C的方程为(x3)2+(y1)2=9(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),若OAOB,则x1x2+y1y2=0,联立直线与圆的方程,2x2+2(a4)x+(a1)2=0,x1x2+y1y2=x1x2+(a+x1)(a+x2)=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,代入两根之和与两根之积,解得a=121如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,PAB=60(1)证明AD平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值;(3)求二面角PBDA的正切值【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定【分析】()通过就是PA2+AD2=PD2,证明ADPA结合ADAB然后证明AD平面PAB()说明PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角在PAB中,由余弦定理得PB,判断PBC是直角三角形,然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值()过点P做PHAB于H,过点H做HEBD于E,连结PE,证明PEH是二面角PBDA的平面角RTPHE中,【解答】()证明:在PAD中,由题设,可得PA2+AD2=PD2,于是ADPA在矩形ABCD中,ADAB又PAAB=A,所以AD平面PAB()解:由题设,BCAD,所以PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角在PAB中,由余弦定理得由()知AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,因而BCPB,于是PBC是直角三角形,故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为:()解:过点P做PHAB于H,过点H做HEBD于E,连结PE因为AD平面PAB,PH平面PAB,所以ADPH又ADAB=A,因而PH平面ABCD,故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知,BDPE,从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得,于是再RTPHE中,所以二面角PBDA的正切函数值为22如图,圆C:x2(1+a)x+y2ay+a=0(1)若圆C的半径为,求圆C的方程;(2)已知a1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B问:是否存在实数a,使得ANM=BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由【考点】圆方程的综合应用【分析】(1)由r=,得=,由此求得a的值,从而求得所求圆C的方程(2)先求出所以M(1,0),N(a,0),假设存在实数a,当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x1),代入x2+y2=4,利用韦达定理,根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值经过检验,当直线AB与x轴垂直时,这个a值仍然满足ANM=BNM,从而得出结论【解答】解:(1)由r=得=,所以a=1或a=0,故所求圆C的方程为x22x+y2y+1=0或x2x+y2=0;(2)令y=0,得x2(1+a)x+a=0,即(x1)(xa)=0,求得x=1,或x=a,所以M(1,0),N(a,0)假设存在实数a,当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x1),代入x2+y2=4得,(1+k2)x22k2x+k24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),从而x1+x2=,x1x2=因为NA、NB的斜率之和为+=,而(x11)(x2a)+(x21)(x1a)=2x1x2(a+1)(x2+x1)+2a=,因为ANM=BNM,所以,NA、NB的斜率互为相反数, +=0,即=0,得a=4当直线AB与x轴垂直时,仍然满足ANM=BNM,即NA、NB的斜率互为相反数综上,存在a=4,使得ANM=BNMxx12月7日- 配套讲稿:
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