2019-2020年高考数学总复习必做03二项式定理及其应用试题含解析.doc
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2019-2020 年高考数学总复习必做 03 二项式定理及其应用试题含解析 【三年高考】 1. 【xx 年高考四川理数改编】设 i 为虚数单位,则的展开式中含 x4的项为 【答案】15 x4 【解析】 试题分析:二项式展开的通项,令,得,则展开式中含的项为 考点:二项展开式,复数的运算. 【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算,复数的概念及运算也是高考的热点,几乎 是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式的 展开式可以改为,则其通项为,即含的项为 2 【xx 年高考北京理数】在的展开式中,的系数为_.(用数字作答) 【答案】60. 【解析】 试题分析:根据二项展开的通项公式可知,的系数为,故填:. 考点:二项式定理. 【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项,是指展开式中的某一项,如第项、常数项、有理 项、字母指数为某些特殊值的项.求解时,先准确写出通项,再把系数与字母分离出来(注意 符号),根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式来求解即可;2、 求有理项时要注意运用整除的性质,同时应注意结合的范围分析. 3.【xx 高考新课标 1 卷】的展开式中, x3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】 考点:二项式定理 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定 r 的值,从而确定指定 项系数. 4.【xx 高考天津理数】的展开式中 x2的系数为_.(用数字作答) 【答案】 【解析】 试题分析:展开式通项为 281631 81()()rrrrrrTCxCx,令, ,所以的故答案 为 考点:二项式定理 【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和 通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n, r 均 为非负整数,且 n r);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项 2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据 具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解 5.【xx 高考山东理数】若(a x2+) 5的展开式中 x5的系数是80,则实数 a=_. 【答案】-2 【解析】 试题分析:因为 5102521 51()rrrrrTCaxCax ,所以由,因此 考点:二项式定理 【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型,二项展开式的通项公式,往往是考试的 重点.本题难度不大,易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等. 6 【xx 高考湖南,理 6】已知的展开式中含的项的系数为 30,则_. 【答案】16 【解析】 ,令,可得. 7.【xx 高考新课标 1,理 10】的展开式中,的系数为_. 【答案】30 【解析】在的 5 个因式中,2 个取因式中剩余的 3 个因式中 1 个取,其余因式取 y,故的系数 为=30. 8.【xx 高考湖北,理 3】已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二 项式 系数和为_. 【答案】 【解析】因为的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,所以,解得, 所以二项式中奇数项的二项式系数和为. 9.【xx 高考新课标 2,理 15】的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 _ 【答案】 【解析】由已知得 4234(1)6xx,故的展开式中 x 的奇数次幂项分别为, , , , ,其系数之和为,解得 10.【xx 高考上海,理 11】在的展开式中,项的系数为 (结果用数值表示) 【答案】 【解析】因为 10101092525 2015()()()xxxCx ,所以 项只能在展开式中,即为,系数为 11.【xx 高考湖北卷理第 2 题】若二项式的展开式中的系数是 84,则实数_. 【答案】1 【解析】因为 rrrrr xaCxaC2777)( ,令,得, 所以,解得. 14. 【xx 山东高考理第 14 题】 若的展开式中项的系数为 20,则的最小值 . 【答案】 【解析】展开式的通项为 2661231()rrrrrbTCaxaCx,令得,所以,由得,从 而,当且仅当时,的最小值为. 13. 【xx 全国 1 高考理第 13 题】的展开式中的系数为_.(用数字填写答案) 【答案】 14.【xx 高考安徽卷理第 13 题】设是大于 1 的自然数,的展开式为nxaxa210 .若点的位置如图所示,则. 【答案】 【解析】由图易知,则 1213,()4nnaCa,即 2 3(1)4na ,解得. 【xx 年高考命题预测】 纵观近几年各地高考,我们可以发现对二项式定理的考查,重点是二项式定理的通项公式、 二项式系数及项的系数;以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常 数项、求有理项、求所含参数的值或范围等;难度不大,属于中档题和容易题,题型为选择 题或填空题二项式定理是高考数学相对独立的内容,二项式定理的知识在高考中经常以客 观题的形式出现,多为课本例题、习题迁移的改编题,难度不大,个别题有一定的难度,重 点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分,化归转化等思想方法.为此,只要我 们把握住二项式定理及其系数性质,会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决, 就可顺利获解.预测 xx 年高考仍可能以二项式的通项,二项式系数,展开式系数为主,可单 独考查本节知识,也可出现与其他章节知识结合的小综合.如可能与定积分结合出题,试题 难度中等复习建议: 运用二项式定理一定要牢记通项,注意与虽然相同,但具体到它们 展开式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与 该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分. 对于二项式系 数问题,应注意以下几点:求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法” ,通常令 字母变量的值为 1;关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”构造函数或构造同一 问题的两种算法;证明不等式时,应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项,通常 是先根据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出. 有些三项展开式问题可以 变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏. 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二 项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采 用“配凑法” “消去法”配合整除的有关知识来解决. 【xx 年高考考点定位】 本节内容高考的重点就是利用二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数;以考查基本 概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或 范围等,题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,而小题目综合化是这部分内容的考查 一种趋势. 【考点】二项式定理 【备考知识梳理】 1. 二项式定理 01 *nnrnnabCabCabN ,这个公式所表示的定理叫 做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中的系数 ()叫做二项式系数式中的 叫做二项展开式的通项,用表示,即展开式的第项;. 2二项展开式形式上的特点:(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数,即与的指 数的和为.(3)字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减 1 直到零;字母按升幂排列, 从第一项起,次数由零逐项增 1 直到.(4)二项式的系数从, ,一直到,. 3. 二项式系数的性质:(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即, , ,.(2)增减性与最大值:二项式系数,当时,二项式系数是递增的;由对称性知:当时, 二项式系数是递减的当是偶数时,中间的一项取得最大值当是奇数时,中间两项 和相 等,且同时取得最大值(3)各二项式系数的和:的展开式的各个二项式系数的和等于,即012rnnnCC ,二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二 项式系数的和,即 0413512nnnnC , 4.注意:(1) 分清是第项,而不是第项.(2)在通项公式中,含有、 、 、 、 、这六个参数,只 有、 、 、是独立的,在未知、的情况下,用通项公式解题,一般都需要首先将通式转化为方程 (组)求出、,然后代入通项公式求解.(3)求二项展开式中的一些特殊项,如系数最大项, 常数项等,通常都是先利用通项公式由题意列方程,求出,再求所需的某项;有时则需先求,计 算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中,就是该项的二项式系数, 它与,的值无关;而项的系数是指化简后字母外的数 5二项式的应用:(1)求某些多项式系数的和;(2)证明一些简单的组合恒等式;(3) 证明整除性,求数的末位;数的整除性及求系数;简单多项式的整除问题;(4)近似 计算.当充分小时,我们常用下列公式估计近似值: ; 211nnxx;(5)证明不等式. 【规律方法技巧】 1.在应用通项公式时,要注意以下几点:它表示二项展开式的任意项,只要与确定,该项 就随之确定; 是展开式中的第项,而不是第项;公式中, ,的指数和为且,不能随便颠倒位置; 对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题在二项式定理的应用中, “赋值思 想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:运用二项式定理一定要牢记通项,注意与虽然相同, 但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式 系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分前者只与 和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负 对于二项式系数问题,应注意以下几点:求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值 取代法” ,通常令字母变量的值为 1;关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”构造 函数或构造同一问题的两种算法;证明不等式时,应注意运用放缩法. 求二项展开式中 指定的项,通常是先根据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出. 有些三项 展开式问题可以变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚, 不重不漏. 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋 值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开 式中若干项. 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再 展开,常采用“配凑法” “消去法”配合整除的有关知识来解决. 多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运 算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中, 要注意项的系数和二项式系数的区别. 3. 排列组合在二项展开式中的应用:展开式可以由次数、项数和系数来确定(1)次数的确 定:从个相同的中各取一个(或)乘起来,可以构成展开式中的一项,展开式中项的形式是, 其中.(2)项数的确定:满足条件的共组 即将展开共项,合并同类项后共项(3)系数的确定:展开式中含()项的系数为 (即个,个 的排列数)因此展开式中的通项是: (), 01 *nnrnnabCabCabN 这种方法比数学归纳法推导 二项式定理更具一般性和创造性,不仅可二项展开,也可三项展开,四项展开等 4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时,一般要根据这几个二项式的结构特 征进行分类搭配,分类时一般以一个二项式逐项分类,分析其他二项式应满足的条件,然后 再求解结果 5. “赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如、 ()的式子求其展开式的各 项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对形如 ()的式子求其展开式各项系数之和,只需 令即可 “赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决, 可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解题易出现漏项等情况,应引起注意例:若 201nfxaxa ,则展开式中各项系数之和为,奇数项系数之和为0241f ,偶数项系数之和为 13512fa ,令, 可得 6. 求展开式系数最大项:如求 ()的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开 式各项系数分别为,且第项系数最大,应用从而解出 k 来,即得 7. (1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意:要证 明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一 个式子整除即可 (2)求余数问题时,应明确被除式与除式 (),商式与余式的关系及余式的范围 (3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数解决这类问题 时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析 (4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方 程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围 【考点针对训练】 1.已知的展开式的前三项的系数成等差数列; (1)求展开式中所有的有理项; (2)求展开式中系数的绝对值最大的项。 【答案】 。 (1) 429351,86TxTx (2) 171269,9,TxTx 【解析】 试题分析:根据已知条件展开式的前三项的系数成等差数列可以求出的值,求展开式中所 有的项,将有理项选出;通过判断系数绝对值最大的两项分别为第项 展开式中系数的绝对值最大的项为 同理 则其系数的绝对值的最大项为和 2.求的展开式中的常数项,其中是除以的余数 【答案】 【解析】 试题分析:由是除以的余数求了出,再由二项展开式的通项求常数项即可 试题解析: 9760176017 m除以的余数是,所以 设是展开式中的常数项, 则 103 51032101 2552 rrrrrr xCxxCT 令得,所以 68 46107 所以展开式中的常数项为 【两年模拟详解析】 1.已知二项展开式中,第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8:3 (1)求 n 的值; (2)求展开式中项的系数 (3)计算式子 012310014824CC 的值 【答案】 (1) ;(2)180;(3)1. 【解析】 试题分析: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,注意根据题意,分 析所给代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,求展开式的系数和,属于基础题第一问, 直接利用条件可得,求得 n 的值;第二问,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展开式中 x3项的系数第三问,在二项展开式中,令 x=1,可得 式子 012310014824CC 的值 (3)由二项式定理可得 105102()()nrrrxCx , 所以令 x=1 得 012301104824C . 2已知 20123()tatatt (1)求的值 (2)求 (3)求 02420aa 的 值 【答案】 (1) (2)0(3) 【解析】 试题分析:(1)求时利用二项式定理的展开式通项公式,取 x 的次数为 2 时求对应的系数; 求(2) (3)中奇数项和偶数项系数和时分别令,将得到的两式整理即可求得 试题解析:(1) (2) 1001223taa令 得 : , 1001223taa令 得 : (3) 100242=3aa由 ( ) 得 3若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列 (1)求 n 的值及展开式中二项式系数最大的项 (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 【答案】 (1) n = 7 , , (2) 无常数项 【解析】 试题分析:首先求得二项式定理的展开式通项,得到第二、三、四项的二项式系数,列出等 式关系求得值,二项式系数最大的项为中间的一项或两项,常数项即通项中的次数为零的项 试题解析:(1)解:由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列,得 2=+ 解之得 n = 7 由于 n=7 为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是314365475TCxx4334610575x (2)由 7276616rrrrrTCCx (0r7) 令=0 得 r=, (舍去) 所以无常数项 4已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大 ()求该展开式中所有有理项的项数; ()求该展开式中系数最大的项 【答案】 (1)6;(2) 2 5257108360xxCT 【解析】 试题分析:(1)先由只有第六项的二项式系数最大求出,再利用通项进行求解;(2)设第 项的系数最大,利用进行求解 试题解析:()由题意可知:, 25102101 rrrrr xCxT, 要求该展开式中的有理项,只需令, ,所有有理项的项数为 6 项 ()设第项的系数最大, 则,即 120r , 解得:, ,得 展开式中的系数最大的项为 2 5257108360xxCT 5已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大 (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 【答案】 (1) , (2) 【解析】 试题分析:(1)本题考察的是二项式定理的相关知识点,要求二项式系数最大项,首先要 确定的值,然后就能确定展开式中二项式系数最大的项。易错点主要在分不清各项系数之和 与二项式系数之和的差别。 (2)本题考察的是求展开式中的系数最大项,设第项系数最大,只需建立两个不等式,求 出的取值范围,再根据就可以求出的值,最后根据二项式定理展开式的公式即可写出相应的 系数最大的项。 试题解析:由题意, 210452331 5(13)29,5,()rn rrrrnTCxCx , (1)展开式中二项式系数最大的项是, ; (2)由解得 26264335.4.,0k 为所求的系数最大的项。 考点:(1)二项式定理(2)二项式系数的性质 6解下列方程: 123534xxxCA 【答案】14 【解析】 试题分析:本题主要考察组合数公式的应用,根据公式就可以把所给方程化简成简单方程, 就可以解出答案。本题易错点在记错公式,从而导致化简出错,本题中的上下标较多 ,化 简时要多加注意。 试题解析: (5)4()3!5!4xx得 7在的展开式中,前三项的系数成等差数列。 ()求展开式中含有的项的系数; ()求展开式中的有理项。 【答案】 () ;() ; 【解析】 试题分析:()首先将前三项的系数写出,然后因为是等差数列,所以列出关于 n 的式子, 求解 n,按通项公式列项,判定当 r 为何值是,会出现含的项;()同样写,有理项指为整 数, 试题解析:解:的展开式中前三项的系数分别为;,由题意知 8098)1(412201 nnnCn 或(舍去) ()设展开式中含有的项为; 则,含有的项为第 5 项,它的系数为 ()设展开式中第项为有理项,则 当时对应的项为有理项,有理项分别为:; 8设数列a n是等比数列, ,公比 q 是的展开式中的第二项(按 x 的降幂排列) (1)用 n、x 表示通项 an与前 n 项和 Sn; (2)若 An+1S 1S 2S nS n+1,用 n、x 表示 An+1 【答案】 (1) , ,1nnx ;(2) 111 ()2nnx 【解析】 试题分析:(1)根据组合数的性质可求得的值,根据二项展开式的通项可求得的值,从而可 求得 (2)用倒序相加法及组合数的性质可求得 (2)当时, , 0123 1111nnnnnACCC 又 01nn , 由,得 012112 nnA , 当时, , 23111 11nnnnnxxxACCC 23 231111111nnnnnnnxC 2xxx 111 ()2nnAx 9已知二项式(N*)展开式中,前三项的二项式系数和是,求:()求的值; ()展开式中的常数项 【答案】 () ;() 【解析】 试题分析:()前三项二项式系数分别为,由题意根据组合数的运算可求得 ()由 ()知,根据二项式的展开式,令的系数为 0 可求得的值,从而可求得其常数项 10 (1)若的展开式中,的系数是的系数的倍,求; (2)已知的展开式中, 的系数是的系数与的系数的等差中项,求; (3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求. 【答案】 (1)n=8;(2) 1010.55aa或 (3) 【解析】 试题分析:不必将所有式子进行展开,本题只需要通过对二项式定理的理解求出各项的系数, 根据各小题所给条件(其中包括融入了有关等差数列的应用,级数展开最大项的选择等) , 列出相应的方程,并解出方程解即本题答案,在解方程时要注意多解的适用性,舍掉不必要 的解。 试题解析:(1)的二项式系数是,的二项式系数是.依题意有 ()27.3!nn即 8.(5.)解 得 舍 去 (2)依题意,得 即 1010.55aa解 得 或 (3)依题意得 即 解得,或 所以. 11已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列 (1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中的所有有理项; 【答案】 (1)详见解析; (2) 29541 561,83,xxTT 【解析】 试题分析:(1)根据二项展开式的通项求得前三项系数,根据题意,由等差中项可求得关于 的方程,从而可求得的值因为此展开式至少有 3 项故再根据二项展开式的通项求第项,令 的幂指数为 0 求,当且时说明此展开式有常数项,否则说明此展开式无常数项 (2)由(1) 可知,当且仅当为整数时为有理项,又因为且,所以可得的值,从而可得其有理项 (2)为有理项,当且仅当为整数, 8,40,80rNr ,即展开式中有理项共有三项,它们是 29541 5613,xxTT 12已知: 0122n naax(,n 为常数) (1)求; (2)我们知道二项式的展开式 012()n nnCCx若该等式两边对 x 求导得:= 1232nnnCxx,令 x=1,可得=利用此方法解答以下问题: 求; 求 22213.naa 【答案】 (1) ;(2); 【解析】 试题分析:(1)利用赋值法,令即可;(2)由题目给出的条件可知,需要对已知的式子 进行两边求导,再利用赋值法令即可;因为本题中出现了平方,所以需要两边先同时乘以 x,再求导赋值即可 试题解析:(1)即为的各项系数的绝对值之和且绝对值之和为正数,令 x=-1,则=; (2)对等式两边求导得: 121232().n nxaxax 令 x=1 得=2n (3) 将 1213().n nxa 两边同乘 x 得 231.naxax,两边再对 x 求导: 212(1)()nnnxx122123na ,令 x=1 得 213.naa= 13设 13 *234() ()(,)nnFCCN (1)若数列的各项均为 1,求证:; (2)若对任意大于等于 2 的正整数,都有恒成立,试证明数列是等差数列 【答案】 (1)证明见解析;(2)证明见解析 【解析】 试题分析:(1)由二项式定理得 0123(1)n nnnxCxCx ,令,即可 得 0123nnnC ,所以得证; (2)使用数学归纳法即可证明 试题解析:(1)因数列满足各项为 1,即 0123() (1)nnnFCC , 由 0123()nnnxCxx ,令, 则 3()n ,即 (2)当时, 1223()0FaC,即,所以数列的前 3 项成等差数列 假设当时,由 314+1()0kkkkkaaC ,可得数列的前项成等 差数列, 因对任意大于等于 2 的正整数,都有恒成立,所以成立, 所以 1334+12 +12+1+12()0kkkk kaCaaC , 两式相减得, 12 +112+3+1+1 2()()()()(0kkkkkkaaaaC , 因, 所以 0121+1234+2()()0kkkkkkCC , 即 1kkaaaa , 由假设可知也成等差数列,从而数列的前项成等差数列 综上所述,若对任意恒成立,则数列是等差数列 14已知 201(2)()(1)+(1)*)n nxaxaaxN 求及; 试比较与的大小,并说明理由 【答案】 (1) , ;(2)当时, ;当或时, ;当时, 【解析】 试题分析:(1)本题是二项式定理的应用,求二项展开式中的系数,一般用赋值法,本题 中令可得,令可得;(2)由(1)知题意就是要比较与的大小,它们都是增函数,但从增速 上看,当较大时,增速较大,取特殊值观察结论,分别取,猜想当时有,可试用数学归纳法 证明. 由上述过程可知,当时,结论成立 假设当时结论成立,即, 两边同乘以,得 121224()3()(4)3kkk k+ +6, 而 2()34(k k6604()10k+2 , 所以 13()kk, 即时结论也成立 由可知,当时,成立 综上所述,当时, ;当或时, ; 当时, 15设且对于二项式 (1)当时,分别将该二项式表示为的形式; (2)求证:存在使得等式与同时成立 【答案】 (1) 322()()(3)ababa,422()616ab ; (2)见解析 【解析】 试题分析:(1)由二项式定理展开整理即可;(2)分为奇偶数讨论,用待定系数法求之 试题解析:(1)当 n=3 时, 3()()(3)abab, 2 分 当 n=4 时, 42 22()64(6)4()ab ab,22(616()a (2)证明:由二项式定理得 knk nk baCb)()1(0 , 若为奇数,则 )()()()()( 1133220 nnnnnn baCaCba 13322)()nnnnabbCab , 分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为 vuban1)( 的形式,其中, 也即 qpba2,其中, , , 若为偶数,则 )()()()()( 22220 nnnnnn bCaCbaCba 1333311 ()nnnnCbb 类似地,可将上式表示为 vu2)的形式,其中, 也即 qpabvuban 2)( ,其中, , 所以存在,使得等式 同理可得可表示为, 从而有 )(qpqp nnnbaba)()()( , 综上可知结论成立 16已知展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大 256; ()求展开式中的所有无理项的系数和; ()求展开式中系数最大的项 【答案】 () () 【解析】 试题分析:首先由已知得到,写出二项展开式的通项公式()由通项公式易知当时,为无 理项,故无理项的系数和为 18()128C3578 ()考虑展开式的奇数,可知当时,系数最大 试题解析:由题意展开式中各项的二项式系数和为,令可得到各项的系数和为,则由条件得, 则 ,则的第项为 54821 821()(),01,8rrrrrTCxxC (1)由通项公式易知当时,为无理项 故无理项的系数和为 18()23578 (2)当时,系数为;当时,系数为 当时,系数最大,故系数最大的项为 17在数学上,常用符号来表示算式,如记=,其中,. (1)若, , ,成等差数列,且,求证:; (2)若 2 22011()nk nkxaxax , ,记,且不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】 试题分析:(1)利用,将和项转化为符合二项式展开定理条件,本题也可利用倒序相加法 求和(2)本题关键在于求和及,对于,可利用赋值法求偶数项的系数和得到;对于,则需 构造符合二项式展开定理条件,进行求和,最后根据恒成立,利用变量分离法,求最值得参 数取值范围. 试题解析:(1)设等差数列的通项公式为,其中为公差 则 0112()()n nnnaCdC 因为 所以 所以=. 注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令,则 22320 (14)2nn nnia 令,则, 所以 根据已知条件可知, 0123(4)()(41)(1)4nnnnnndCCC0123 023(4)() ()1n nnC 1nn , 所以 将、代入不等式得, 当为偶数时, ,所以; 当为奇数, ,所以; 综上所述,所以实数的取值范围是. 18已知数列通项公式为,其中为常数,且,等式10 22021 2011xbxbbx ,其中为实常数 (1)若,求的值; (2)若,且,求实数的值 【答案】 (1)6143;(2)2; 【解析】 试题分析:(1)由二项式定理求出的通项,再利用分组求和法、二项式系数的性质、倒序 相加法求和;(2)对所给等式的左边先分组,而后利用二项式定理求和而将方程进行化简, 再利用方程所对应的函数的单调性以及估算求解方程; 试题解析:(1) 101022xx401010CC 2201 2bxbbx 比较可知; 而时, 所以 101010102nnnnabCC , 设 100121000nC , 也可以写成 121000C,相加得即,所以10 10210105643nnnab (2)当时,结合(1)中结论可知0101012220011 0() ()2nnnnnnnababtC = 101010 111() 32t t,即 , 因为为关于的递增的式子,所以关于的方程最多只有一解,而观察可知,有一解,综上 可知: 19已知数列通项公式为,其中为常数,且,等式10 22021 2011xbxbbx ,其中为实常数 (1)若,求的值; (2)若,且,求实数的值 【答案】 (1)6143;(2) 【解析】 试题分析:(1)由二项式定理易知 101022xx240 1010CxCx 22001 2011bxbbx比较可知而此时所以0210101011nnnnaCC 设00121011010n ,利用倒序相加法可得所以001021101 5643nnnabC (2)当时, 1nnAtBt,结合(2)中结论可知101002221n nnnabab01012nnntC 10 010t = 101103t,因为为关 于的递增的式子,所以关于的方程最多只有一解,而观察可知,有一解,综上可知: 试题解析:(1) 101022xx401010CC 2201 2bxbbx 比较可知; 而时, 所以 101010102nnnnabCC , 设 100121000nC ,也可以写成100121000nC ,相加得即,所以1110102526143nnnabC 20已知 2301()()(1)()(1),n nxaxaxax (其中) (1)求及; (2)试比较与的大小,并说明理由 【答案】 (1) , (2)当时, ; 当时, ;当时, -7 分 【解析】 试题分析:(1)赋值法求二项展开式的项的系数:令,则,令, 则,;(2)要比较与的大小,即比较:与的 大小,这需先归纳:当时, ;当时, ; 当时, ;再猜想当时, ,最后用数学归纳法证明,关键将时的式子与情形建立关系:121223()()(3)4kkk k 试题解析:解:()令,则,令, 则,; ()要比较与的大小,即比较:与的大小,-1 分 当时, ;当时, ; 当时, ; 猜想:当时, ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, 时结论成立, 假设当时结论成立,即, 两边同乘以 3 得: 12122()()(3)4kkk k 而 2 2(3)4(3)4()6(2)4()160k k kk 112(k 即时结论也成立, 当时,成立. 综上得,当时, ; 当时, ;当时, 【一年原创真预测】 1. 已知的展开式中前三项的系数成等差数列 (1)求的值; (2)求展开式中系数最大的项 【答案】 (1)8;(2) , 【解析】 试题分析:(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数,列出方程求出; (2)设出系数最大的项,根据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项 的系数,列出不等式组求出,进而求出系数最大的项 【入选理由】本题考查二项式定理等基础知识,意在考查基本运算能力,二项展开式的通项 公式的运用是高考考查的重点内容,一般用以求展开式中的特定项,以选择题或填空题的形 式出现,本题系数字母的值,立意新颖,考查全面,故押此题. 2. 已知数列为,表示, 若数列为等比数列,求; 若数列为等差数列,求. 【答案】 (1) , (2). 试题解析: 0121nnb,所以10213210()()()()ni nnnnniCCC10213212 nnnnn01 012( )()nn)23nn ; 04(1)nb,1230()234(1)i nnnnniCCC , 因为 0123nnnxxx, 两边同乘以,则有 012341() nnnx, 两边求导,左边, 右边 01234()nnnnCxCx, 即 0123()()4(1)nnnCxx(*) , 对(*)式两边再求导,得 12123212()() ()nn nnnnxx Cx 取,则有 22123334(1)nnCC 所以. 【入选理由】本题考查二项式定理,数列中的等差数列和导数等基础知识,意在考查分析问 题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力,本题是由一道高考题演化而来,它与数列、 函数交汇命题,立意新颖、考查全面,综合性较强,难度中等,符合高考的方向,故押此题.- 配套讲稿:
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- 2019 2020 年高 数学 复习 03 二项式 定理 及其 应用 试题 解析
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