2019-2020年高中数学 7.2直线的方程(备课资料) 大纲人教版必修.doc
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2019-2020年高中数学 7.2直线的方程(备课资料) 大纲人教版必修参考例题例1过点P(2,1)作直线l交x,y正半轴于AB两点,当PAPB取到最小值时,求直线l的方程.解:设直线l的方程为:y1k(x2)(k0)令y0解得x2x0,解得y12kA(2,0),B(0,12k),APBP当且仅当k21即k1时,PAPB取到最小值.又根据题意k0k1所以直线l的方程为:xy30评述:此题在求解过程中运用了基本不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k1的情形.例2一直线被两直线l1:xy60,l2:3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.解:设所求直线与l1,l2的交点分别是A、B,设A(x0,y0),则B点坐标为(x0,y0)因为A、B分别在l1,l2上,所以得:x06y00,即点A在直线x6y0上,又直线x6y0过原点,所以直线l的方程为x6y0.例3直线AxBy10在y轴上的截距是1,而且它的倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍,则( )A. A,B1 B.A,B1C.A,B1 D.A,B1解:将直线方程化成斜截式y.因为1,B1故否定A、D.又直线xy3的倾斜角,直线AxBy10的倾斜角为2,斜率-AA,B1故选B.例4若直线AxByC0通过第二、三、四象限,则系数A、B、C需满足条件( )A.A、B、C同号B.AC0,BC0C.C0,AB0D.A0,BC0解法一:原方程可化为yx(B0).直线通过第二、三、四象限,其斜率小于0,y轴上的截距小于0,即0,且00,且0即A、B同号,B、C同号.A、B、C同号,故选A. 解法二:(用排除法)若C0,AB0,则原方程化为yx.由AB0,可知0.此时直线经过原点,位于第一、三象限,故排除C.若A0,BC0,则原方程化为y.由BC0,得0.此时直线与x轴平行,位于x轴上方,经过一、二象限.故排除D.若AC0,BC0,知A、C异号,B、C异号A、B同号,即AB0.此时直线经过第一、二、四象限,故排除B.故A、B、C同号,应选A.例5直线yaxb(ab0)的图象是( )解法一:由已知,直线yaxb的斜率为a,在y轴上的截距为b.又因为ab0.a与b互为相反数,即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数.图A中,a0,b0,图B中,a0,b0图C中,a0,b0故排除A、B、C.选D. 解法二:由于所给直线方程是斜截式,所以其斜率a0,于是令y0,解得x.又因为ab0ab,x1直线在x轴上的截距为1,由此可排除A、B、C,故选D.备课资料参考例题例1已知直线的斜率为,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求该直线的方程.分析:由题意知所围三角形为直角三角形,而根据直角三角形面积公式,直线方程应设为截距式较好.解:设直线方程为1直线斜率kk又Sab3解得所求直线方程为x6y60或x6y60例2过点A(1,)且纵横截距的绝对值相等的直线共有的条数为( )A.1 B.2 C.3 D.分析:此题应注意直线方程截距式的适用前提是横、纵截距都存在且都不为零,同时注意体会分类讨论思想.解:(1)当直线经过原点时,横纵截距都为0,符合题意;(2)当直线不经过原点时,设直线方程为:由题意解得综合(1)(2),符合题意的直线共有三条.故选C.例3一条直线经过A(1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程.解:由已知,可设直线方程为1.又因直线过点A(1,2),所以1.又已知所求直线与两坐标轴正半轴相交.故a0,b0,且ab. 解得所求直线方程为1,即2xy0例4已知直线通过点(2,2),且与两坐标轴构成单位面积的三角形,求此直线的方程.解法一:设过点(2,2)的直线方程为:y2k(x2).令y0,得x,令x0,得y2k2,由已知得()(2k2)1,即2(k1)2k(1)当k0时,方程化为2k25k20.解得k2或k.所求直线方程为:2xy20和x2y20(2)当k0时,方程化为2k23k209220方程无实解解法二:设方程为1,由已知,有解方程组(1)得;而方程组(2) 无解,故所求方程为:y1或x1,即x2y20或2xy20.例5直线yax2穿过以A(1,)、B(3、1)两点为端点的线段,求a的取值范围.解法一:直线yax2与线段AB的交点为P,且P分AB的比为.显然P为AB的内分点,其内分比0,所以0.0解得a2.解法二:直线方程yax2表示的是过定点P(0,2)、斜率为a的一条直线.依题意,此直线穿过线段AB,其位置介于PA、PB之间,其斜率a也在kA与kPB之间.而kPA2,kPB.所以kPBakPA即a2.例6过点P(1,2)作直线l,交x,y轴的正半轴于A、B两点,求使AOB面积取得最小值时直线l的方程.解:设直线l的截距式方程为:1,依题意,a0,b0,又因为点P(1,2)在直线l上,所以1即b2aab.又因为AOB的面积SOAOBab所以Sab(b2a),当且仅当b2a时等号成立.ab.解这个不等式,得ab.从而Sab,当且仅当b2a时,S取最小值4.将b2a代入到b2aab解得a2,b.此时,直线的方程为1,即2xy0.于是当过点P(1,2)的直线的方程为2xy0时,AOB的面积取最小值.备课资料一、参考例题例1(xx年全国)设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且PAPB,若直线PA的方程为xy10,则直线PB的方程是( )A.2yx0 B.2xy10C.xy50D.2xy70解法一:由xy10得A(1,0).又PAPB知点P为AB中垂线上的点,故B(5,0),且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补,则斜率互为相反数,故所求直线的斜率为1,所以选C.解法二:y0代入xy10得A(1,0).由解得P(2,3).设B(xB,0),由PAPB解得xB5.由两点式整理得PB直线方程:xy50,故选C.例2(1997年全国)已知过原点O的一条直线与函数ylogx的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C、D两点.(1)求证点C、D和原点O在同一条直线上.(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.(1)证明:设A、B的横坐标分别为x1,x2,由题设知x11,x21,点A(x1,logx1),B(x2,logx2).因为A、B在过点O的直线上,所以又C、D的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).由于log2x13logx1,log2x23logx2.OC的斜率和OD的斜率分别为:kOC,由此得kOCkOD,又OC、OD有相同起点O,O、C、D三点在同一直线上.(2)解:由BC平行于x轴,有log2x1logx2,解得x2x13,将其代入,得x13logx13x1lox1由于x11,得logx10x133x1,解得x1.于是点A坐标为(,log).二、参考练习题某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢大楼,问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2)说明:此题作为一数学应用题,要求学生具备建立坐标系的意识,这也是表示直线方程的前提,同时题目涉及到二次函数在已给定区间上求最值问题.解:如图建立直角坐标系,以BC边作x轴,AE边作y轴,EA与CB交点为原点O,则由题可知:A(0,20),B(30,0),C(10,0),D(100,0),(0,0).如图在直线段AB上任取一点P,分别向CD、D作垂线画得一块长方形土地,设面积为S,则AB方程为:1,点P(x,20),(0x30)则长方形面积S(100x)0(20)x6000(0x30)当x5,y时,Smax6017(m2)- 配套讲稿:
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