2019-2020年高二数学 排列 组合 和概率 二项式定理同步教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高二数学 排列 组合 和概率 二项式定理同步教案 新人教A版【教学内容】第十章 排列 组合 和概率 二项式定理 要求:(1)了解二项式、二项展开式、二项式系数等基本概念;理解和掌握二项式定理,掌握二项展开式的通项公式及其应用,会利用“杨辉三角”展开二项式。 (2)理解和掌握二项式系数的性质,能够运用二项式宣中蕴含的数学思想,计算和证明一些简单的问题。【知识提要】 (一)重要概念1、二项式定理 二项式系数(,r=0,1,2n) 二项展开式 二项展开式的通项 2、二项展开式中(1)各项的二项式系数之和 (2)展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和:(二)学习提示 1、二项式定理实际上是二项式的n次方公式,是初中所学公式(a+b)2=a2+2ab+b2的一般情况。使用二项式定理时,a、b可以为任何数、式,包括在高三时将要学到的复数。2、二项展开式的通项表示(a+b)n展开式中的第项r+1项。应用时应注意结构上的统一。如要求“(1+x)10展开式中第4项”。即T4(不是T4+1,切记)。则“”将T4写成T3+1的好处是求得公式结构上的统一,也提醒解题时,不要把T4中的二项式系数写成。3、关于公式的证明。课本采用了“赋值法”,这是一个常用的方法。我们对式子(a+b)n中的a,b赋以值1,-1,,可以求得展开式中的系数和,奇数项、偶次项系数和参见例5也可以构造一个问题(情景)来解决。记集合A=1,2,3,n是一个n元集合,它的r元子集(r=0,1,2,n)有个(空集有个,1元素有个,以此类推),则它的所有子集共有个。另一方面,从元素的角度考虑:元素“1”可以“选择进入”或“选择不进入”A的子集,同理,每个元素都和元素“1”一样,有2种选择方式,这样,可以求得A的子集个数为个。n个【典型例题分析】例1、求(1-2x)7展开式中第4项的二项式系数、系数。分析:先求出T4 解:T4=T3+1= 二项式系数为=35 系数为=-280回顾:注意“系数”与“二项式系数”是不同的概念,在二项展开式中不论a、b的取值如何,第r+1项(Tr+1)的二项式系数总是。例2、(1)求(2x+1)8展开式中含x3的项。(2)求的展开式中含x3的项(3)求展开式中含x4的项(1)分析与解:(2x+1)8=(2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) 按多项式乘法公式,展开式的每一项都是形如(2x)m1n的8次齐次式(其中m+n=8)。要出现x3,只要有3个因式选用“2x”其余5个选用“1”参与运算即可。所求的项为。(2)分析与解:(法一)本题无法直接象上题那样求解,可考虑用通项公式Tr+1=,令9-2r=3,从而得r=3,即T4=。(法二)要求展开式中的x3项即求分子展开式中的x12项,即T=(3)分析与解:(法一)直接求解:含x4项为(法二) 其中展开式的通项为 展开式的通项为 要使积为x4项,则4-r+4-k=4 k+r=4 x4项为 = = x4 回顾:1、选题目的,遇到三项式或多项式的n次展开,要求其中某一项的,如“求(x+y+z)8展开式中的x2y3z3项”,可采用直接求解法,(结果为)。具体思路参见题(1)的解法或课本P105。2、若要求将(x+y+z)8展开,可考虑用两次二项式定理:如(x+y+z)8将(y+z)看作一项。展开后再将(y+z)r展开。发展题:1、求(x+y+z)8展开后的项数。(答案45项) 2、求展开式中的常数项(-51) (略解)常数项即为 例3、已知的展开式中,前3项的系数成等差数列,求展开式中的各有理项。分析:先应解出n,再利用二项展开式的通项,求有理项。(整式与分式都为有理式)解:,系数为1 ,系数为 ,系数为 由T1,T2,T3的系数成等差数列 n2-9n+8=0得n=8(n=1舍去,至少有3项,n2)设第r+1项为有理项,则有则必为整数r被4整除,r=0,4,8这个展开式的有理项分别为 回顾:本题考查通项的应用,在解二项式定理有关问题时,通项是最基本的手段。例4、求的展开式中含有项的系数。解:(法一)原式= 要求展开式中x2的系数即求分子上x3项的系数,即为(法二)原式中,从第2项起展开后含有x2项,其系数依次为 则x2项的系数为回顾:本题考查的是组合数性质的应用。二项式定理涉及许多组合数,应注意前后知识点的联系。法一是用到的等比数列前n项和公式。例5、(1)已知,则= (2)若,则= (3)多项式展开式中,x的偶次项系数之和为解:(1)令x=-1,则 又a0=16=1 =728(2) (3)设=a0+a1x+a2x2+axxx 则a0-a1+a2-a3+ a0+a1+a2+a3+ 则偶次项系数之和 回顾:本例题赋值法的一个应用,令x=1或-1可以区分开含x的奇次项、偶次项的系数和。注意“赋值法”是用来计算二项式系数或是系数和的,若要计算展开式中某一项的系数,可以用展开式的通项。例6、(1)求被8除的余数解:91=8 展开式的前92项都被8整除,末项为 被8除余1(2)求被5除所得的余数解:(不能把2写成5-3,这样会余下这一项,依然无法求解)被5除余2回顾:利用二项式定理解整除性问题,如“Am被8除”,关键要将A写成A=KB+n(k,nZ)的形式。最好是使n=1,这样,才能更快地求出结果。此外应该注意n本身的正负号,否则可能获得错误结论。发展题:求被11除的余数。 (提示:被11除余8)例7、求证分析与证明:直接证较为困难,考虑“构造法”(法一)构造二项展开式即求:展开式中的常数项:左边另一方面要求常数项,即求得分子上的项所求为=右边(法二)构造问题情景“从2n个元素中取n个元素”方法有种另一方面,将2n个元素分成甲、乙两组(每组n个元素)列表 甲 乙 取法数 0个 n个 1个 n-1个 n个 0个 (下略)回顾:证明组合恒等式,若一味从公式出发证明,繁琐而费力,应注意构造“多项式”定理或是构造“组合问题”利用计数原理,从而“巧妙”地加以证明。【同步练习】1、在(1-x3)(1+x)6的展开式中,x5的系数是 2、若二项式展开式中第八项为含有的项,则自然数n= 3、若的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值是 4、在的展开式中,若存在相邻两项的系数之比为8:15,那么n的最小值为 5、已知,那么|a0|+|a1|+|a6|= 6、的展开式中,x2的系数为 7、展开式中含x4项的系数为 8、若(a+2b)20的展开式中的第4r项与第r+2项的二项式系数相等,则展开式中的第r项是 9、若展开式中各项的二项式系数和为512,则展开式中系数最大的项为 10、327被11除的余数为 11、若,则b= 12、展开式的第二项小于第一项,但不小于第3项,求x的取值范围。13、计算:14、求证:15、求的近似值(精确到0.001)【参考答案】1、-9 2、29 T8=T7+1= n=293、7 设为Tr+1,Tr+1= 2n-2r-=0 6n=7r 当r=6时n=74、22 即 8n=23r+15 n=3r+2- 当r=7时n小=225、729 由题意知a1,a3,a50 即求a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=1-2(-1)6=7296、 即 提示:两边均补上一个7、-960 含x4项为 8、9120a17b3 (4r-1=r+1舍去)则4r-1=20-r-1 得r=4 T4=T3+1=9、126x6 2n=512 n=9 二项式系数最大为第5项与第6项 而T5=126x6 T6=-126x3 系数最大的项为126x6 10、9 327=3最后一项为-2133 -3 最后一项为-24,余数为-24+33=9 另法: 被11除余911、-7 令x+1=t,则x=t-1 b=12、解: 依题意 x的取值范围是13、解: 14、证明: 这样左边=15、解:原式= =- 配套讲稿:
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