2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第五课时)大纲人教版选修.doc
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2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第五课时)大纲人教版选修课题2.1.5研究性课题:杨辉三角(二)教学目标一、教学知识点1.理解杨辉三角的性质6、7、8、9等有关整除、恒等式问题.2.掌握有关杨辉三角的基本性质,.二、能力训练要求1.会应用杨辉三角的基本性质1、2、3证明杨辉三角新的性质.2.会用数学归纳法,无穷递降的思想证明性质6、7、8、9.3.能灵活运用概率知识和组合恒等式解决问题9.三、德育渗透目标1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题和解决问题的能力.让学生在探索过程中体验数学活动、数学发现的成功的愉悦.2.培养学生实际动手操作实践创新的能力,培养学生的创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想,相信科学.3.加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而发奋读书的斗志.教学重点杨辉三角的性质6、7、8、9的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,它与整数的整除理论、排列组合知识、概率等知识结合起来,形成丰富多彩的数学问题.研究和探索杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有裨益的,对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.教学难点杨辉三角的性质6、7、8、9的探索和发现是本节课的教学难点,整除性的证明是本节课的最大难点.从特殊到一般的先猜后证是突破难点的有效方法.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易能被发现的,而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味,学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制,我们利用建构主义观点中学生主动探索,发现和证明(失败时总结经验,另寻他路,重新启动,走向成功)的全程的尝试是最为主要的,这样不是被动地接受,而是主动地建构,学生的认知结构得到了较好的发展和培养,他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难.走向成功的高峰的非智力因素的调节作用,要求同学们不仅是个体参与,而且是集体参与、智力参与.教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片或多媒体课件)教学过程.课题导入上节课我们学习了研究性课题,杨辉三角中的有关性质,杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.我们应该珍惜目前的宝贵时间,为实现党中央提出的科技兴国、科技强民的政策而发奋读书,为中华民族的伟大复兴而顽强拼搏.为此,今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.讲授新课师一般的杨辉三角如下表.(打出幻灯片,或多媒体课件,银幕显示)第0行 1第1行11第2行 121第3行 1331第4行 14641第5行 15101051第6行 1615201561第7行 17213535 2171第8行 18285670562881第n-1行1 1第n行1 1其中.师在杨辉三角的第2行、第3行、第5行、第7行中,除去两端的数字1以外,这些数字与各自的行数(2,3,5,7)之间有什么联系?(学生在自己的座位上,分别写出第2、3、5、7行的数字,并比较它们与各自行数的关系,有的学生开始与其他同学讨论,有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的,学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)生1第2行数字(除两端1外)是2;第3行数字(除两端1外)是3,3;第5行数字(除两端1外)是5,10,10,5;第7行数字(除两端1外)是7,21,35,35,21,7.第2行的数2能被2整除;第3行的两个3都能被3整除;第5行的四个数都能被5整除;第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为:这些数字都能被各自的行数整除.师总结概括得很好!你们能再找出具有类似性质的三行吗?这时的行数p是一个什么样的数?(学生开始在杨辉三角中接着往下写,他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字,然后他们再找这种类似的规律)生1我经过计算第11、13、17行中,除去两端的数字1以外,行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般的规律我没有找到.师同学们,这位同学找的对吧?众生(齐声回答)对!师你们能否找到一般规律呢?生2奇数行中的数字都具有这种规律.生3不对,第2行中的数字具有这种性质,但2是偶数,所以你的规律是不对的.由于2,3,5,7,11,13,17这些数字都是素数,所以,我可以猜想:如果p是素数,那么在杨辉三角的第p行中,除去两端的数字1外,行数整除其余的所有的数.师你们能证明这个猜想吗?(稍等片刻,留给学生一定的思考时间和空间)生4由的计算公式可知我们的目标是要证明p能够整除(r=1,2,3,4,p-1),将r=1,2,3,代入检验可知.都是整数,所以p能整除.生5你利用代入检验,必定是有限步骤,而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理,证明是个整数.师你的思路是正确的,请同学们课后去证明这一猜想,即杨辉三角的性质6:如果p是素数,那么在杨辉三角的第p行中,除去两端的数字1外,行数p整除其余的所有的数,即p| (r=1,2,p-1).师如图24(打出幻灯片)(幻灯片显示)图24我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10),根据杨辉三角的基本性质,它是它左右肩上的两数之和(10=4+6);然后把左肩固定而考虑右肩,它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去,总是把左肩固定而对右肩运用这一规则,我们便可以得出:杨辉三角中,从一个数的“左肩”出发,向右上方作一条和左斜边平行的直线,位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+3+(2+1),即1+2+3+4=10.你们能将这个规律推广吗?生6将上面的规律推广,我们可以得到:在杨辉三角中,第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和,等于第m+1条斜线上的第n个数.师根据这一性质,请猜想下列数列的前n项和:1+1+1+1=_,1+2+3+=_,1+3+6+=_,1+4+10+=_,生6第1个结果是n.第二个是1+2+3+(n-1)=.第三个是.第四个是.师上述四个和式是刚才我们推广结论的特例,你们能用和式写出上述等式吗?生7一般地,我们有(nm).师你们有哪些方法可以证明它呢?生7我可以用数学归纳法证明它.师证明时,n所取的第一个值n0应该为多少?生8当n0=1,这时m=0,于是有,.所以等式成立.生9对于没有定义,所以不能取n0=1,而应该取n0=2.这时m=1,左边,右边.所以等式成立.师对!最好是取n0=2才有意义,避免争议.生8假设当n=k时等式成立,即.那么当n=k+1时,.n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对于一切大于1的自然数n都成立.师这样证明过程就完善了.这里主要是运用组合数性质或杨辉三角基本性质来证明.生10也可不用数学归纳法,而直接使用组合数的性质进行证明.对于任意的自然数n(n1),m是给定的且小于n的正整数,只要经过有限步的变换就可以了.事实上,因为,故等式成立.由于n是任意的大于1的自然数,所以猜想完全正确.生11我是构造二项式求和,比较系数证明的.事实上,(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+(1+x)n-1的展开式中xm项的系数之和为.又因为(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+(1+x)n-1,展开式中xm项的系数就是右式分子展开式中的xm+1项的系数.由比较法知.师好!这个证明方法利用比较法和构造法,将二项式定理与杨辉三角再次联系在一起.这样,我们就探索了三种证明方法.下图的斜线中,前几行数字的和已经在行末标出,请你在“?”处标出其余各行的和,仔细观察这些和,你能发现什么规律吗?生12前12项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.根据这些数的规律,任何一个数都等于它前面的两个数之和,即an+2=an+1+an,a1=a2=1(nN*).(幻灯片显示)图25师请大家回忆一下,这个数列是什么样的数列?生12这种数列是斐波那契数列.师你能求出它的通项公式吗?生13用特征方程根求出它的通项公式.事实上,因为n+2=an+1+an的特征方程是x2-x-1=0,其根为x1,.an的通项公式设为an=c1x1n+c2x2n,即(c1、c2是待定系数).a1=1,a2=1,得,.(nN*).斐波那契数列a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,它的通项公式为(nN*).师完全正确.斐波那契数列所具有的性质都是杨辉三角中蕴含的性质,请同学们课后接着研究.事实上,许多重要的数学公式都跟组合数有关,因此,适当记住杨辉三角的一部分,对于发现某些数学法则是不无帮助的.对于杨辉三角的构成,还有一种有趣的看法:(打出幻灯片或多媒体,显示如下)图26如图26,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上面的漏斗直通到下面的长方形框子,前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面,以后,落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后,它又会落到下一层的三个通道之一里边去依此类推,最终落到最下边的长方形框子里.假设我们总共在木板上做了n+1层通道,在顶上的漏斗里一共放了颗弹子,让它们自由落下,落到下边n+1个长方形框子里,那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目(按照可能情形来计算)会是多少?你能用学过的排列、组合与概率的知识来解释这一现象吗?(学生讨论,教师巡视并参与讨论,课堂气氛活跃且高涨)生把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面,以后落到第二层中间一个六棱柱的左边或右边两个竖直通道里去.再以后,它不会落到下一层的三个竖直通道之一里去.这时,如果要弹子落在最左边的通道里,那么它一定是从上一层左边的通道里落下来才行(1个可能情形);同样,如果要它落在最右边的通道里,它也非要从上一层的右边通道里落下来不可(1个可能情形);而要它落在中间的通道里,那么无论它从上一层的左边或右边落下来都行(2个可能情况).这样一来,弹子落在第三层的三个通道里就分别有1,2,1个可能情形,概率分别为,;不难看出,落到第四层的四个通道分别有1,3,3,1个可能情形,概率分别为,;类推下去,很容易发现,弹子落到第n+1层各个框子里的概率分别为, .因此,如果在漏斗里放颗弹子,那么它们落在第n+1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n行.师该同学解释得非常好,请同学们要多向他学习,要能灵活运用所学知识解决有关问题.课堂练习1.如图27,将圆珠堆成三角垛,底层每边为n个,向上逐层每边减少1个,顶层是1个.容易看出,当n=1,2,3,4,时,三角垛中的圆珠总数分别为1,4,10,20,.根据前面的结论,这样的一个n层的三角垛中的圆珠总数是1+3+6+(n+1)(n+2).用数学归纳法证明这一结论.图27提示:(1)当n=1时,左边=1,右边1(1+1)(1+2)=123=1,即.等式成立.(2)假设当n=k(k1)时等式成立,即1+3+6+.当n=k+1时,1+3+6+.当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,等式对一切nN*都成立.另法:,左边.(注:这里运用了)2.将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个只由单位分数(分子为1的分数)组成的三角形.这个三角形最早由德国数学家莱布尼茨(Leibniz)作出,所以叫做莱布尼茨单位分数三角形,或简称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质.例如,杨辉三角中,除1以外的每一个数,都等于它肩上的两个数字相加.在莱布尼茨三角形中,有什么类似性质?你能证明你的猜测吗?提示:莱布尼茨三角形中每一个数,等于其“脚下”两数的和,例如,等等.一般情况是.证明:右边=左边,.课时小结师本节课主要是研究了杨辉三角的有关性质,请同学们总结一下.生(6)如果p是素数,那么在杨辉三角的第p行中,除去两端的数字1之外,行数p整除其余的所有的数,即若p是素数,则p| (r=1,2,p-1).(7).(8)a1=1,a2=1,an+2=an+an+1.斐波那契数列,通项公式.(9)如果在漏斗里放颗弹子,那么它们落在第n+1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n行的数字,即,.课后作业1.性质(8)中,计算a5,a10,a15,a20的值,你能总结一般规律吗?并证明你的结论.提示:斐波那契数列的前20项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,600,977,1577,2554,4131,6685.a5=5,a10=55,a15=600,a20=6685.这四个数都能被5整除,猜想:a5n都是5的倍数(nN*).证明方法有两种:一是数学归纳法;二是递推法.2.研究莱布尼茨三角形中的有关性质.3.(xx年上海春季高考题)杨辉三角中,第_行中的第14个数与第15个数之比为23.答案:34板书设计2.1.5研究性课题:杨辉三角(二)性质(6),若p是素数(p为行数),则p|(r=1,2,p-1).(7).(8)an+2=an+an+1,a1=a2=1.(9),.性质(6)的证明分析.性质(7)的证明:法一数学归纳法.法二法三(构造法)(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)n-1=.性质(8)的推导:求an的通项公式.特征方程根求法:x2-x-1=0.,an=c1x1n+c2x2n.待定求出c1、c2.性质(9)的解释:第三层的三个通道的概率分别为,第四层的四个通道的概率分别为,第n+1层有n+1个通道.- 配套讲稿:
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