2019-2020年高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质(备课资料) 大纲人教版必修.doc
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2019-2020年高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质(备课资料) 大纲人教版必修1.ysinx与ysinx的图象有怎样的对称性?解:ysinx与ysinx的图象关于x轴对称.2.当xR时,余弦函数ycosx与正弦函数ysin(x)是否为同一个函数?为什么? ysinx与ycos(x)呢?答:是,因为sin(x)cosx不是,因为cos(x)sinxsinx3.求下列函数的定义域和值域:(1)y=lg(sinx);(2)y=2.分析:根据函数有意义列不等式,求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解:(1)要使lg(sinx)有意义,必须且只须sinx,解之得:2k+x2k+,kZ又0sinx1lg(sinx)lg(1)定义域为(2k+,2k+),(kZ)值域为(,lg(1).(2)要使2有意义,必须且只须2cos3x10,即cos3x,解之得2k3x2k+即x,kZ.又02cos3x11故022定义域为,kZ值域为0,2评述:求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题,要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小:(1)sin195与cos170;(2)cos;(3)sin(sin),sin().分析:化为同名函数,进而利用单调性来比较函数值的大小.解:(1)sin195=sin(180+15)=sin15cos170=cos(18010)=cos10=sin800158090又y=sinx在0,90上是递增函数,sin15sin80sin15sin80sin195cos170.(2)sin=cos()cos=cos()又=1.471.5=1.391.4而y=cosx在0,上是减函数,由得coscos()cos()即cossincos.(3)cos=sin0cossin1而y=sinx在0,1内递增sin(cos)sin(sin).备课资料给出下列命题:ysinx在第一象限是增函数;是锐角,则ysin()的值域是1,1;ysinx的周期是2;ysin2xcos2x的最小值是1;其中正确的命题的序号是_.分析:ysinx是周期函数,自变量x的取值可周期性出现,如反例:令x1,x22,此时x1x2而sinsin(2)错误;当为锐角时,由图象可知sin()1错误;ysinx(xR)是偶函数.其图象是关于y轴对称,可看出它不是周期函数.错误;ysin2xcos2xcos2x,最小值为1正确.答案:评述:函数的单调性是函数的局部选择,是针对区间而言的;我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数,而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.附1:三角函数单调区间的求法单调性是函数的重要性质之一,求三角函数的单调区间是三角中常见的题型,现将常用的几种方法总结如下:一、代换法所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间,这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间,即:ysinx在2k,2k(kZ)上单调递增,在2k,2k(kZ)上单调递减.ycosx在2k,2k(kZ)上单调递增,在2k,2k(kZ)上单调递减;ytanx在(k,k)(kZ)上单调递增.下面举例说明:例求下列函数的单调递增区间:ycos(2x);y3sin()解:设u2x,则ycosu当2ku2k时ycosu随u的增大而增大又u2x随xR增大而增大ycos(2x)当2k2x2k(kZ)即kxk时,y随x增大而增大ycos(2x)的单调递增区间为:k,k(kZ)设u,则y3sinu当2ku2k时,y3sinu随x增大在减小,又u随xR增大在减小y3sin()当2k2k即4kx4k时,y随x增大而增大y3sin()的单调递增区间为4k,4k(kZ)二、图象法函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,如果能画出三角函数的图象,那它的单调区间就直观明了了.例求函数ysin(x)的单调区间.解:利用“五点法”可得该函数的图象为:显然,该函数的周期为在k,k(kZ)上为单调递减函数;在k,k(kZ)上为单调递增函数.附2:正余弦函数图象的对称性现行新编高中数学试用教材,对正余弦函数ysinx,ycosx及yAsin(x),yAcos(x)的性质,只研究了定义域、值域、最值、奇偶性、单调性及周期性,而没有涉及它们的对称性,事实上这些函数具有下列对称性.性质1 函数ysinx的图象具有无数条对称轴,其方程为xkk(kZ)性质1 函数yAsin(x)的图象具有无数条对称轴,其方程为xk(kZ)性质2 函数ycosx的图象具有无数条对称轴,其方程为xkk(kZ)性质2 函数yAcos(x)的图象具有无数条对称轴,其方程为xk(kZ)掌握了它们的对称性之后,我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为一体,显然,它们的值域为f(xk)与f(xk1)之间的一切实数组成的集合,最大、最小值由f(xk)与f(xk1)相应确定,一个单调增或单调减区间为xk,xk1,半周期xk1xk(kN*),可见,若能直接运用对称轴方程解题,则显得十分简明而又准确可靠.例1函数ysin(2x)的图象的一条对称轴方程是( )A.x B.xC.xD.x方法一:运用性质1,ysin(2x)的所有对称轴方程为xk(kZ),令k1,得x1,对于B、C、D都无整数k对应.故选A.方法二:运用性质2,ysin(2x)cos2x,它的对称轴方程为xk(kZ),令k1,得x1,对于B、C、D都无整数k对应,故选A.例2在下列区间中函数ysin(x)的单调增区间是( )A., B.0,C.,0D.,分析:函数ysin(x)是一个复合函数即ysin(x),(x)x,欲求ysin(x)的单调增区间,因(x)x在实数集上恒递增,故应求使y随(x)递增而递增的区间.方法一:(x)x在实数集上恒递增,又ysinx在2k,2k(kZ)上是递增的,故令2kx2k2kx2kysin(x)的递增区间是2k,2k取k1、0、1,分别得、,、,对照选择肢,可知应选B.像这类题型,上述解法属常规解法,而运用yAsin(x)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,如本题倘若运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二:函数ysin(x)的对称轴方程是:xkkk(kZ),对照选择肢,分别取k1、0、1,得一个递增或递减区间分别是,或,对照选择肢思考即知应选B.注:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方程求其一个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得.例3若函数ysin2xacos2x的图象关于直线x对称,试求a的值.解:显然a0,如若不然,x就是函数ysin2x的一条对称轴,这是不可能的.当a0时,ysin2xacos2x(cos2xsin2x)cos(2x)其中cos,sin即tan函数ycos(2x)的图象的对称轴方程的通式为2xkk(kZ)xk,令xkktantan(k)1.即1,a1为所求.附3:精析周期函数中学课本中写着:“对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(xT)f(x)都成立,那么就把函数yf(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.”书中又说,对于一个周期函数来说:“如果在所有的周期中,存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.”这个定义是采用内涵定义法定义的,要正确理解周期函数的定义,应从定义的内涵(性质)和外延(对象)两个方面来分析,应注意以下几点:1.式子f(xT)f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x,式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”,另一方面,判断一个函数不是周期函数,只需举一个反例就行了.例如:由于sin()sin,即sin(x)sinx.该式中x取时等式成立,能否断定是sinx的周期呢?不能,因对于其他一些x值该式不一定成立.如x时,sin(x)sinx.例函数ycosx(x0)是周期函数吗?解:不是,举反例,当T2时,令x2,则有cos(x2)cos(22)cos01,但x0,不属于题设的定义域,则x不能取2,故ycosx(x0)不是周期函数.2.式子f(xT)f(T)是对“x”而言.例如,由cos(2k)cos(kZ),是否可以说cos的周期为2k呢?不能!因为cos(2k)cos,即coscos(kZ),所以cos的周期是6k,而不是2k(kZ).3.一个函数是周期函数,但它不一定有最小正周期.例如,f(x)a(常数),显然任何一个正数T都是f(x)的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数f(x)a无最小正周期.4.设T是f(x)(xR)的周期,那么kT(kZ,且k0)也一定是f(x)的周期,定义规定了T为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了T的取值范围,只要求不为零,不要误认为T一定是的倍数.众所周知,函数yAsin(x)的周期即最小正周期是T,函数yAcos(x)的周期也是T,函数yAtan(x)的周期是T,不难看到,上述各函数的周期中都含有“”,而且,同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“”,于是,有的同学认为:周期函数的周期一定含“”.事实上,这种看法是错误的,实际上,有许多周期函数的周期中是不含“”的,如下面几例:例1函数ysinx的周期是T2.例2函数ytan2x的周期是T.例3若对于函数yf(x)定义域内的任何x的值,都有f(x1)f(x)成立,则由周期函数的定义可知,函数yf(x)是周期函数,且T1是其周期.例4设f(x)定义在R上,并且对任意的x,有f(x2)f(x3)f(x4).求证:f(x)是周期函数,并找出它的一个周期.证明:f(x2)f(x3)f(x4) f(x3)f(x4)f(x5) 得:f(x2)f(x5) 由得:f(x5)f(x8) f(x2)f(x8)即f(x)f(x6)f(x)为周期函数,一个周期为6.5.周期函数必须是函数,但一定要克服思维定势,认为周期性是三角函数所独有的,实质上我们学过的非周期函数f(x)(如ylog2x,yx,y2x,yx2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上,经左右平移,可以延拓变为周期函数,例如将非周期函数yx2(xR)在其定义域R内限制在(1,1,然后将yx2(1x1)的图象左、右平移,可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)(x2k)2(2k1x2k1),kZ,如图:例已知f(x)x,x(1,1,求定义在R上的一个周期为2的函数g(x),使x(1,1时,g(x)f(x).解:由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图:对于任意的xR,x一定在周期为2的区间(2n1,2n1内,则x2n(1,1.g(x)g(x2n)f(x2n)x2n,即g(x)评述:(1)要判定f(x)是周期函数,自变量x必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点,只有深层次的理解周期函数的意义,才能臻化入境,运用自如.备课资料1.求函数y的值域.解:由已知:cosxcosx1()213y22y802yymax,ymin22.f(x)sinx图象的对称轴是_.解:由图象可知:对称轴方程是:xk(kZ)3.(1)函数ysin(x)在什么区间上是增函数?(2)函数y3sin(2x)在什么区间是减函数?解:(1)函数ysinx在下列区间上是增函数:2kx2k(kZ)函数ysin(x)为增函数,当且仅当2kx2k即2kx2k(kZ)为所求.(2)y3sin(2x)3sin(2x)由2k2x2k得kxk(kZ)为所求.或:令u2x,则u是x的减函数又ysinu在2k,2k(kZ)上为增函数,原函数y3sin(2x)在区间2k,2k上递减.设2k2x2k解得kxk(kZ)原函数y3sin(2x)在k,k(kZ)上单调递减.评述:在求三角函数的单调区间时,一定要注意复合函数的有关知识,忽略复合函数的条件,是同学们解题中常发生的错误.下面请看一错例剖析: 例求函数ysin的单调增区间.误解:令uysinu在2k,2k(kZ)上递增2k2k解得4kx4k2原函数的单调递增区间为4k,4k2(kZ)分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u,忽视了u是x的减函数,未考虑复合后单调性的变化.正解如下:解法一:令u,则u是x的减函数又ysinu在2k,2k(kZ)上为减函数,原函数在2k,2k(kZ)上递增设2k2k解得4k2x4k(kZ)原函数在4k2,4k(kZ)上单调递增解法二:将原函数变形为ysin因此只需求siny的减区间即可u为增函数只需求sinu的递减区间2k2k解之得:4k+2x4k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4k2,4k4(kZ)附:谈三角函数最值的求解三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力.本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如sinx1,cosx1来求三角函数的最值.例1a、b是不相等的正数.求y的最大值和最小值.解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).y2acos2xbsin2x2asin2xbcos2xabab,(ab)20,0sin22x1当sin2x1时,即x(kZ)时,y有最大值;当sinx0时,即x(kZ)时,y有最小值.二、利用三角函数的增减性如果f(x)在,上是增函数,则f(x)在,上有最大值f(),最小值f();如果f(x)在,上是减函数,则f(x)在,上有最大值f(),最小值f().例2在0x条件下,求ycos2xsinxcosx3sin2x的最大值和最小值.解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有y2sin2x32(cos2xsin2x)12(cos2xcossin2xsin)12cos(2x)10x,2xcos(2x)在0,)上是减函数故当x0时有最大值当x时有最小值1cos(2x)在,上是增函数故当x时,有最小值1当x时,有最大值综上所述,当x0时,ymax1当x时,ymin21三、换元法利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.例3求f(x)sin4x2sin3xcosxsin2xcos2x2sinxcos3xcos4x的最大值和最小值.解:f(x)(sin2xcos2x)22sin2xcos2x2sinxcosx(sin2xcos2x)sin2xcos2x=12sinxcosxsin2xcos2x令tsin2xt f(t)12tt2(t1)22 在的范围内求的最值当t,即xk(kZ)时,f(x)max当t,即xk(kZ)时,f(x)min附:求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考、高考必考内容,在求解中欲达到准确、迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:一、注意sinx、cosx自身的范围例1求函数ycos2x3sinx的最大值.解:ycos2x3sinxsin2x3sinx1(sinx)21sinx1,当sinx1时,ymax3说明:解此题易忽视sinx1,1这一范围,认为sinx时,y有最大值,造成误解.二、注意条件中角的范围例2已知x,求函数ycos2xsinx的最小值.解:ysin2xsinx1(sinx)2xsinx当sinx时ymin()2说明:解此题注意了条件x,使本题正确求解,否则认为sinx1时y有最小值,产生误解.三、注意题中字母(参数)的讨论例3求函数ysin2xacosxa(0x)的最大值.解:y1cos2xacosxa(cosx)2a当0a2时,cosx,ymaxa当a2时,cosx1,ymaxa当a0时,cosx0,ymaxa说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx时,y有最大值会产生误解.四、注意代换后参数的等价性例4已知y2sincossincos(0),求y的最大值、最小值.解:设tsincossin()2sincos1t2yt2t1(t)2又tsin(),01t当t时,ymax当t1时,ymin1说明:此题在代换中,据范围,确定了参数t1,从而正确求解,若忽视这一点,会发生t时有最大值而无最小值的结论.- 配套讲稿:
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