2019-2020年高考数学 试题分类汇编-数列 大纲人教版.doc
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2019-2020 年高考数学 试题分类汇编-数列 大纲人教版 一、选择题 1.(xx 年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且=2,=1,则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数,所以,故,选 B 2.( xx 广 东 卷 理 ) 已知等比数列满足,且,则当时, 212321logllognaa A. B. C. D. 【解析】由得, ,则, 212 )(3lognan ,选 C. 3.(xx 安徽卷文)已知为等差数列, ,则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】即同理可得公差.选 B。 【答案】B 4.(xx 江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 答案:C 【解析】由得 2111(3)()6adad得,再由得 则,所以,.故选 C 5.(xx 湖南卷文)设是等差数列的前 n 项和,已知, ,则等于【 C 】 A13 B35 C49 D 63 解: 17267()()7(31)49.aaS故选 C. 或由 211635d, 所以 177()()49.2aS故选 C. 6.(xx 福建卷理)等差数列的前 n 项和为,且 =6,=4, 则公差 d 等于 A1 B C.- 2 D 3 【答案】:C 解析且 3112 =4 da.故选 C 7.(xx 辽宁卷文)已知为等差数列,且21, 0,则公差 d (A)2 (B) (C) (D)2 【解析】a 72a 4a 34d2(a 3d)2d1 d 【答案】B 8.(xx 辽宁卷理)设等比数列 的前 n 项和为 ,若 =3 ,则 = (A) 2 (B) (C) (D)3 【解析】设公比为 q ,则1q 33 q 32 于是 6 6947S 【答案】B 9.(xx 宁夏海南卷理)等比数列的前 n 项和为,且 4,2,成等差数列。若=1,则= (A)7 (B)8 (3)15 (4)16 解析:4,2,成等差数列, 2213211 4,4,0,15aaqq即 , S ,选 C. 10.(xx 四川卷文)等差数列的公差不为零,首项1,是和的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】设公差为,则.0,解得2,100 11.(xx 湖北卷文)设记不超过的最大整数为,令=-,则,, A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列. 12.(xx 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项,同理可得正方形数构成的数列通项,则由可 排除 A、D,又由知必为奇数,故选 C. 13.(xx 宁夏海南卷文)等差数列的前 n 项和为,已知,,则 (A)38 (B)20 (C)10 (D)9 【答案】C 【解析】因为是等差数列,所以, ,由,得:20,所以,2,又,即38,即 (2m1)238,解得 m10,故选.C。 14.(xx 重庆卷文)设是公差不为 0 的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( ) A B C D 【答案】A 解析设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去) ,所以数列的前项和2(1)724nnS 15.(xx 安徽卷理)已知为等差数列,+=105,=99,以表示的前项和,则使得达到最大值的 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 解析:由+=105 得即,由=99 得即 , 4()241nan,由得,选 B 16.(xx 江西卷理)数列的通项 22(cosi3n,其前项和为,则为 A B C D 答案:A 【解析】由于以 3 为周期,故22222 23014589()(6)(30)S221 103151()547k kk 故选 A 17.(xx 四川卷文)等差数列的公差不为零,首项1,是和的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】设公差为,则.0,解得2,100 二、填空题 1.(xx 全国卷理) 设等差数列的前项和为,若,则= 。 解: 是等差数列,由,得 2492945645()()32aaaa . 2.(xx 浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则 答案:15 【解析】对于 4 4314413(),15()aqsqsa 3.(xx 浙江文)设等比数列的公比,前项和为,则 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前项和的知识联系 【解析】对于 4 4314413(),15()aqsqsa 4.(xx 浙江文)设等差数列的前项和为,则, , ,成等差数列类比以上结论有:设等比数列 的前项积为,则, , ,成等比数列 答案: 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和 等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列的前项积为,则, ,成等比数列 5.(xx 北京文)若数列满足:,则 ;前 8 项的和 .(用数字作答) 【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考 查. 121324354,8,216aaa , 易知,应填 255. 6.(xx 北京理)已知数列满足: 43412,0,N,nnna则 _;=_. 【答案】1,0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得, 201407142510aa. 应填 1,0. 7.(xx 江苏卷)设是公比为的等比数列, ,令,若数列有连续四项在集合中,则= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合,四项成等比数列,公比为,= -9 8.(xx 山东卷文)在等差数列中,则. 【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 9.(xx 全国卷文)设等比数列的前 n 项和为。若,则= 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 10.(xx 湖北卷理)已知数列满足:(m 为正整数) , 1,2 nn当 为 偶 数 时 ,当 为 奇 数 时 。 若,则 m 所有可能的取值为_。 11.【答案】4 5 32 【解析】 (1)若为偶数,则为偶, 故 当仍为偶数时, 故 当为奇数时, 故得 m=4。 (2)若为奇数,则为偶数,故必为偶数 ,所以=1 可得 m=5 12.(xx 全国卷理)设等差数列的前项和为,若则 9 . 解:为等差数列, 13.(xx 辽宁卷理)等差数列的前项和为,且则 【解析】S nna 1n(n1)d S 55a 110d,S 33a 13d 6S 55S 330a 160d(15a 115d)15a 145d15(a 13d)15a 4 【答案】 14.(xx 宁夏海南卷理)等差数列前 n 项和为。已知+-=0,=38,则 m=_ 解析:由+-=0 得到 122210, 13810mmmm maaSa又 。 答案 10 15.(xx 陕西卷文)设等差数列的前 n 项和为,若,则 . 答案:2n 解析:由可得的公差 d=2,首项=2,故易得 2n. 16.(xx 陕西卷理)设等差数列的前 n 项和为,若,则 . 答案:1 611 22325211()limlinnnadaSSSs 解 析 : 17.(xx 宁夏海南卷文)等比数列的公比, 已知=1, ,则的前 4 项和= 【答案】 【解析】由得:,即, ,解得:q2,又=1,所以, ,。 18.(xx 湖南卷理)将正ABC 分割成(2,nN)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给 出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于ABC 的三遍及平行于某边 的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的 三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)= ,f(n)= (n+1)(n+2) 【答案】: 【解析】当 n=3 时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知121212,abcxabycza12 212()xyzgxyzy12126gc 即 12120(3) 3fabcxyz而 进一步可求得。由上知中有三个数,中 有 6 个数,中共有 10 个数相加 ,中有 15 个数相 加.,若中有个数相加,可得中有个数相加,且由 63045(1),(2)(),(3)(),()(),.3 3fffffff 可得所以 111()(2). (1)3nnnfnf f = 1()336 19.(xx 重庆卷理)设, , , ,则数列的通项公式= 【答案】:2n+1 【解析】由条件得 11 221nnnnaabb 且所以数列是首项为 4,公比 为 2 的等比数列,则 三、解答题 1.(xx 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1, )是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满 足=+(). (1)求数列和的通项公式; (2)若数列前项和为,问的最小正整数是多少? 【解析】 (1), , 21afcfc, 3 27 . 又数列成等比数列, 2134183ac ,所以 ; 又公比,所以 12nnn ;1111nnnnSSSSQ 又, ; 数列构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列, , 当, 22nnb ; (); (2) 12341n nTbL 11357(2)nK 52721nK ; 由得,满足的最小正整数为 112. 2.(xx 全国卷理) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 在数列中, 111,()2nnaa (I)设,求数列的通项公式 (II)求数列的前项和 分析:(I)由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () (II)由(I)知, = 而,又是一个典型的错位相减法模型, 易得 = 评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求 前 n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出在有意 识降低难度和求变的良苦用心。 3.(xx 浙江文) (本题满分 14 分)设为数列的前项和, , ,其中是常数 (I) 求及; (II)若对于任意的, , ,成等比数列,求的值 解析:()当, 12)1()(,2221 knnkSann () 经验, ()式成立, ()成等比数列, , 即 )18)()14(2kmkkm,整理得:, 对任意的成立, 4.(xx 北京文) (本小题共 13 分) 设数列的通项公式为 (,0)napqNP. 数列定义如下:对于正整数 m,是使 得不等式成立的所有 n 中的最小值. ()若,求; ()若,求数列的前 2m 项和公式; ()是否存在 p 和 q,使得?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明 理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. ()由题意,得,解,得. 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即. ()由题意,得, 对于正整数,由,得. 根据的定义可知 当时, ;当时,. 1221321242mmmbbb 31 22. ()假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式及得. ,根据的定义可知,对于任意的正整数 m 都有 ,即 231mpq对任意的正整数 m 都成立. 当(或)时,得(或) , 这与上述结论矛盾! 当,即时,得,解得. 存在 p 和 q,使得; p 和 q 的取值范围分别是,. 5.(xx 北京理) (本小题共 13 分) 已知数集 1212, ,nnAaa 具有性质;对任意的 ,与两数中至少有一个属于. ()分别判断数集与是否具有性质,并说明理由; ()证明:,且; ()证明:当时,成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. ()由于与均不属于数集,该数集不具有性质 P. 由于 6123612,3,都属于数集, 该数集具有性质 P. ()具有性质 P,与中至少有一个属于 A, 由于,故. 从而,. , ,故. 由 A 具有性质 P 可知. 又, 211,nnnaaa , 从而 12112nnn , . ()由()知,当时,有,即, , 由 A 具有性质 P 可知. ,得,且, ,即是首项为 1,公比为成等比数列. 6.(xx 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足 223457,aaS。 (1)求数列的通项公式及前项和; (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为,则,由性质得 4343()()daa,因为,所以,即,又由得, 解得,,(2) (方法一) =,设, 则=, 所以为 8 的约数 (方法二)因为 12222 2(4)()86mmmaaa为数列中的项, 故为整数,又由(1)知:为奇数,所以 231,即 经检验,符合题意的正整数只有。 7.(xx 江苏卷) (本题满分 10 分) 对于正整数2,用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数,其中(和可以相 等) ;对于随机选取的(和可以相等) ,记为关于的一元二次方程有实数根的概率。 (1)求和; (2)求证:对任意正整数2,有. 【解析】 必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。 8.(xx 山东卷理)(本小题满分 12 分) 等比数列的前 n 项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数且均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 2(log1)(nnbaN 证明:对任意的 ,不等式 121nb成立 解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时, 1111()()nnnnnaSbr ,又因为为等比数列,所以,公比 为, (2)当 b=2 时,, 122(log)(log)nnna 则,所以 12135746nbb 下面用数学归纳法证明不等式 1213572146nbn 成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即 12 12kbkb 成立.则当时,左 边= 112 3571346kkb k223()()()1()()14 4()k k 所以当时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数 学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9.(xx 山东卷文)(本小题满分 12 分) 等比数列的前 n 项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数且均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时, 当时, 1111()()nnnnnaSbrbb, 又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以 (2)当 b=2 时,, 142nnba 则 2341n nT 521n 相减,得 234512n n 12()1n 所以 11332nnnT 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错 位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和. 10.(xx 全国卷文) (本小题满分 10 分) 已知等差数列中,求前 n 项和. 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设的公差为,则 1126350ad 即 解得 因此 819819n nSnSn, 或 11.( xx 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已知曲线 22:0(1,)nCxy 从点向曲线引斜率为的切线,切点为 (1)求数列的通项公式; (2)证明: 135212sinnnxxx y . 解 : ( 1) 设 直 线 :,联立得 0)()( 2nnnkk,则 0)1(4)2(2nnkk,(舍去) , 即 , 1xynn ( 2) 证 明 : 121nxn 12534321531 nxn nnx12531 由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,即在恒成立, 又, 则有 12sin12,即. 12.(xx 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 首项为正数的数列满足 (I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数; (II)若对一切都有,求的取值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数, 则由递推关系得 213(1)4kam 是奇数。 根据数学归纳法,对任何,都是奇数。 (II) (方法一)由 1()3nna知,当且仅当或。 另一方面,若则;若,则 根据数学归纳法, 1 10,;3,.n naNaN 综合所述,对一切都有的充要条件是或。 (方法二)由得于是或。 2211113()(),44nnnnn aa 因为所以所有的均大于 0,因此与同号。 根据数学归纳法, ,与同号。 因此,对一切都有的充要条件是或。 13.(xx 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n 项和,数列的前 n 项和 ()求数列与的通项公式; ()设,证明:当且仅当 n3 时, 【思路】由可求出,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出后,进而得到,接下来用作 差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 当时, 221()(1)()4nnasnn 又当时 6mbTb 数列项与等比数列,其首项为 1,公比为 (2)由(1)知 2(1)21()6nnC 由即 202即 又时成立,即由于恒成立. 因此,当且仅当时, 14.(xx 江西卷文) (本小题满分 12 分) 数列的通项 22(cosin)3na,其前 n 项和为. (1) 求; (2) 求数列的前 n 项和. 解: (1) 由于 22csicos3,故31234562312 22()()()(3)k kkSaaaak8(9)2k ,3134,2kkSa23213(9)(31)321,6kkkk 故 1,3236(),14,36nnkSnk () (2) 2139,44n nT 1 两式相减得 1 2319199449338,1242nnnn nT 故 15.(xx 江西卷理) (本小题满分 14 分) 各项均为正数的数列, ,且对满足的正整数都有 .(1)(1)pqmnaa (1)当时,求通项 (2)证明:对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有 解:(1)由 ()1()1pqmnaa得121.()()nn 将代入化简得 所以 故数列为等比数列,从而 即 可验证,满足题设条件. (2) 由题设的值仅与有关,记为则 11 .()()1nnnaab 考察函数 ()01()axfx,则在定义域上有 1,(),2,011afxgaa 故对, 恒成立. 又 , 注意到,解上式得 1()2()1()2()() ,12ngagaga 取 ()()ga,即有 . 16.(xx 天津卷文) (本小题满分 12 分) 已知等差数列的公差 d 不为 0,设 121nnqaaS*121 ,)(NqqaTnn ()若 ,求数列的通项公式; ()若成等比数列,求 q 的值。 ()若 *222 ,1)()1(1, NnqdTSqnn )证 明 ( 【答案】 (1) (2) (3)略 【解析】 (1)解:由题设, 15,)()( 312113 Saaa将 代入解得,所以 (2)解:当 3212321 ,3, dqSdqSda 成等比数列, 所以,即 )22q()( ,注意到,整理得 (3)证明:由题设,可得,则 1223212 nn qaaS 2nqT -得, )(212342 nn qaaS +得, )( 212312 nnqT 式两边同乘以 q,得 )(2)( 212312 nn qaqaTSq 所以 212322 ()1)( ddSnnn (3)证明: nlklklk bababac n)(2121 121 = 11 )( nqdqdldblk 因为,所以 12112 )()()( nlklklc 若,取 i=n, 若,取 i 满足,且, 由(1) (2)及题设知, ,且 1211 )()()( nqlkqlkldbc 当时, ,由, ,1,iili 即, 221)()(iiii qlk 所以 11)()1(11212 iiii qqqdbc 因此 当时,同理可得因此 综上, 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和 等基本知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 17.(xx 湖北卷理)(本小题满分 13 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知数列的前 n 项和(n 为正整数) 。 ()令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式; ()令,试比较与的大小,并予以证明。 19.解析:(I)在中,令 n=1,可得,即 当时, 2 11 11() ()2n nn nnnSaaSa , ,112,即 . 1 1,2nn nbbb 即 当 时 , . 又数列是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 1()2,nn nba. (II)由(I)得,所以 231123()4()()2nnTK411 ( 由-得 231()()nnn 1141()223nnnnT55(3)21)2121nnn 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 2345;2;K 可猜想当证明如下: 证法 1:(1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设时 12(1)4(1)()2(1)kkkkg 所以当时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切的正整数,都有 证法 2:当时 012101() 21nn nnn nCCCnK 综上所述,当,当时 18.(xx 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。 (I)求数列与数列的通项公式; (II)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立?若存在,找出一个正整数;若不存 在,请说明理由; (III)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有; 【解析】 (I)当时, 又 15,5nnaSS11,4即nnna 数列是首项为,公比为的等比数列, , * 14()nnbN 3 分 (II)不存在正整数,使得成立。 证明:由(I)知 14()5(4)1nn nb21212520156408888.(4)()64() kkkkkkb 当 n 为偶数时,设 123421()()()mRbbn 当 n 为奇数时,设 12342321()()()8()48mbmn 对于一切的正整数 n,都有 不存在正整数,使得成立。 8 分 (III)由得 21221 2255161561564()4()34()nnnnnnnncb 又, 当时, , 当时, 2223 21()411465()53663931486nn nT 14 分 19.(xx 全国卷理) (本小题满分 12 分) 设数列的前项和为 已知 (I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式。 解:(I)由及,有 2112135,3aba 由, 则当时,有 得 11 14,2()nnnnaaa 又,是首项,公比为的等比数列 (II)由(I)可得, 数列是首项为,公差为的等比数列 131()24nan, 评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 第(II)问中由(I)易得,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:1(,nnapq为 常 数 ) ,主要的处理手段是两边除以 总体来说,09 年高考理科数学全国 I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新 数列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法 基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出在有意识降低难度和求变的良苦用心。 20.(xx 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 对于数列,若存在常数 M0,对任意的,恒有 1121nnuuuM , 则称数列为数列. ()首项为 1,公比为的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; ()设是数列的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:数列是 B-数列, 数列不是 B-数列; B 组:数列是 B-数列, 数列不是 B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; ()若数列是 B-数列,证明:数列也是 B-数列。 解: ()设满足题设的等比数列为,则.于是 1221 31()()(),.2nnnna 1121|nnaa = 2n32 -( ) ( ) = 所以首项为 1,公比为的等比数列是 B-数列 . ()命题 1:若数列是 B-数列,则数列是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设=1, ,易知数列是 B-数列,但=n, 1121|nnSSSn . 由 n 的任意性知,数列不是 B-数列。 命题 2:若数列是 B-数列,则数列不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的,有 1121|nnSSS , 即 2|xx .于是 121nnxxx112nn , 所以数列是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) ()若数列是 B-数列,则存在正数 M,对任意的有 1121nnaaa . 因为 21n a 12 1n M . 记,则有 2 1()()nnaa 1 12nKa. 因此 2221 1.nn. 故数列是 B-数列. 21.(xx 辽宁卷文) (本小题满分 10 分) 等比数列的前 n 项和为,已知,成等差数列 (1)求的公比 q; (2)求3,求 解:()依题意有 )(2)( 21111 qaqa 由于 ,故 又,从而 5 分 ()由已知可得 故 从而 )()( )( nnn 2138214S 10 分 22.(xx 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知数列满足, *112,2naaN . 令,证明:是等比数列; ()求的通项公式。 (1)证 当时, 11 11,()222nn nnnabab 所以是以 1 为首项,为公比的等比数列。 (2)解由(1)知 当时, 121321()()()n naa 21()()n)(2 当时, 。 所以 1*5()3nnaN。 23.(xx 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知数列满足, *11,2nnxNx . 猜想数列的单调性,并证明你的结论; ()证明:。 证(1)由 1n+1244n5132382xxx及 得 , 由猜想:数列是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 易知,那么 2314212323(1)()kkkkkkxxx = 2212230(1)()()kkkkx 即 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, ,结论成立 当时,易知 1110,2nnnnxxx11115()()(n nnn111()nnnnxxx 2n-11122n-25556nx( ) ( )( ) 24.(xx 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。 (I)求数列与数列的通项公式; (II)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立?若存在,找出一个正整数;若不存 在,请说明理由; (III)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有; 【解析】 (I)当时, 又 15,5nnaSS11,4即nnna 数列是首项为,公比为的等比数列, , * 14()nnbN 3 分 (II)不存在正整数,使得成立。 证明:由(I)知 14()5(4)1nn nb21212520156408888.(4)()64() kkkkkkb 当 n 为偶数时,设 123421()()()mRbbn 当 n 为奇数时,设 12342321()()()8()48mbmn 对于一切的正整数 n,都有 不存在正整数,使得成立。 8 分 (III)由得 21221 2255161561564()4()34()nnnnnnnncb 又, 当时, , 当时, 2223 21()411465()53663931486nn nT 14 分 25.(xx 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 已知a n是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a655, a 2+a716. ()求数列a n的通项公式: ()若数列a n和数列b n满足等式:a n )(2.2n31为 正 整 数bb,求数 列b n的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列的公差为 d,则依题设 d0 由 a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 24,0,2,11()1nddan又 代 入 得 a (2)令 2121, ,n nnbcccac 则 有 两式相减得 111 11,(), 2,2()nn nabbab由 得 即 当 时 , 又 当 =时 , 于是 341132nnnS =-4= 22()46,6nS即 26.(xx 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 对于数列若存在常数 M0,对任意的,恒有 1121.nnuuu 则称数列为 B-数列 (1) 首项为 1,公比为的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (2) 设是数列的前项和,给出下列两组论断; A 组:数列是 B-数列 数列不是 B-数列 B 组:数列是 B-数列 数列不是 B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (3) 若数列都是数列,证明:数列也是数列。 解(1)设满足题设的等比数列为,则,于是 2121,nnnaqq 因此- +-+-= 21(.).nq 因为所以 211. ,nnqqq即 1121.nnaaa 故首项为 1,公比为的等比数列是 B-数列。 (2)命题 1:若数列是 B-数列,则数列是 B-数列 次命题为假命题。 事实上,设,易知数列是 B-数列,但 1121.nnSSSn 由的任意性知,数列是 B-数列此命题为。 命题 2:若数列是 B-数列,则数列是 B-数列 此命题为真命题 事实上,因为数列是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的有 1121.nnSSS 即。于是 1121.nnxxx 122Mx 所以数列是 B-数列。 (III)若数列 是数列,则存在正数,对任意的有 1121.nnaaa2bbM 注意到 121.nnn 1aaaa 同理: 记,则有 1111nnnnnnababab1nKkb 因此 112122(.)nnKM + 1bbak 故数列是数列 27.(xx 天津卷理) (本小题满分 14 分) 已知等差数列的公差为 d(d0) ,等比数列的公比为 q(q1) 。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I) 若= 1,d=2,q=3,求 的值; (II) 若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n; () 若正数 n 满足 2nq,设 1212,.,.nnkll和 是 , , , 的两个不同的排列, 12.nkkcabab , 12nlllcabab 证明。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 ()解:由题设,可得 1*2,3,nnN 所以, 312359Sab ()证明:由题设可得则 2212123.,nnqaq 342122.()nnTaS 式减去式,得 式加上式,得 222131(.)nnSTaqaq 式两边同乘 q,得 32121()(.)nn 所以, 2222(1)()()()nnnnqSTSqST 3212*()1),nndqNK ()证明: 1212()()()nklklklcababab 111ndqdqK 因为所以 11212()()()nckllklb (1) 若,取 i=n (2) 若,取 i 满足且 由(1),(2)及题设知,且 212121()()()()iiiiickllqklqkldb K 当时,得 , ,3.i ilnlii由 , 得 即, 21()(1)iiiikq 又所以 12112()()()iiic qqdb K 因此 当同理可得,因此 综上, 28.(xx 四川卷理) (本小题满分 14 分) 设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。 (I)求数列的通项公式; (II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有; (III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解:()当时, 又 15,5nnaaQ 115,4nnnaa即 数列成等比数列,其首项,公比是 14()nnb .3 分 ()由()知 21221525164()4nnnnncb = 2266()3)(nnnn 又 当 当 2341125()366n nTK时 , 2 146935.73481分 ()由()知 一方面,已知恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 则 1232145( )44kn K 211()()k 41,4nRn即 ( ) 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立, 1否 则 , ( ) 只对满足的正奇数 n 成立,矛盾。 另一方面,当时,对一切的正整数 n 都有 事实上,对任意的正整数 k,有2121258(4)()1nkkb 1564088()k 当 n 为偶数时,设 则 123421()()()mRbbbK 当 n 为奇数时,设 则 12342321()()()mmbbb 88mn 对一切的正整数 n,都有 综上所述,正实数的最小值为 4.14 分 29.(xx 福建卷文)(本小题满分)2 分) 等比数列中,已知 (I)求数列的通项公式; ()若分别为等差数列的第 3 项和第 5 项,试求数列的通项公式及前项和。 解:(I)设的公比为 由已知得,解得 ()由(I)得, ,则, 设的公差为,则有解得 从而 162()128nbn 所以数列的前项和 26)6nSn 30.(xx 年上海卷理) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题 满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列。 (1) 若,是否存在,有说明理由; (2) 找出所有数列和,使对一切,并说明理由; (3) 若试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项,请证明。 解法一(1)由,得, 2 分 整理后,可得, 、 ,为整数, 不存在、 ,使等式成立。 5 分 (2)若,即, (*) ()若则。 当为非零常数列,为恒等于 1 的常数列,满足要求。 7 分 ()若, (*)式等号左边取极限得, (*)式等号右边的极限只有当时,才能等于 1。此时 等号左边是常数, ,矛盾。 综上所述,只有当为非零常数列,为恒等于 1 的常数列,满足要求。 10 分 【解法二】设 1,nn naadcb若 且 为 等 比 数 列 则 * 221 1/,n nnqNqa 对 都 成 立 , 即 2()()dcdcdc*2.7Nqd对 都 成 立 , 分 (i) 若 d=0,则 0,1,nnab (ii) 若(常数)即,则 d=0,矛盾 综上所述,有 nnn baNc1*,使 对 一 切 , 10 分 (3) *,3,14bann 设 mkpkpmm ,a*21 、 .)()( , Nspppk ,3*,3245、 . 13 分 取 ,03)14(2)14(2, ssssmsk 15 分 由二项展开式可得正整数 M1、 M2,使得(4-1) 2s+2=4M1+1,)(8)14(22ss.,满 足 要 求存 在 整 数 ms 故当且仅当 p=3s,sN 时,命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+am+p为偶数,但 3k为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k = ,)1(4)1()(4)1(41110 ZMCC kkkkkk 当为偶数时,存在,使3 k成立 1 分 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3 k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k成立 2 分 当 p=5 时,则 am+1+am+2+am+5=bk,即 5am+3=bk 也即 5(4m+13)=3 k,而 3k不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2 分 31.(xx 上海卷文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满 分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知是公差为 d 的等差数列,是公比为 q 的等比数列 (1)若 ,是否存在,有?请说明理由; (2)若(a、q 为常数,且 aq0)对任意 m 存在 k,有,试求 a、q 满足的充要条件; (3)若试确定所有的 p,使数列中存在某个连续 p 项的和式数列中的一项,请证明. 【解】 (1)由得, 整理后,可得 、 ,为整数 不存在、 ,使等式成立。 (2)当时,则 即,其中是大于等于的整数 反之当时,其中是大于等于的整数,则, 显然 1211mccmckbqqb,其中 、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数 (3)设 12mmpkba 当为偶数时,式左边为偶数,右边为奇数, 当为偶数时,式不成立。 由式得,整理得 当时,符合题意。 当,为奇数时, 0121212ppppppCC 由,得 12223 1mppCCk 当为奇数时,此时,一定有和使上式一定成立。 当为奇数时,命题都成立。 32.(xx 重庆卷理) (本小题满分 12 分, ()问 5 分, ()问 7 分) 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈 ()若,且是公差为的等差数列,而是公比为的等比数列;数列的前项和满足:320907115,2SSa ,求通项; ()若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项,求证: 2216712ma ; (21) (本小题 12 分) 解:(I)因是公比为 d 的等比数列,从而 由 20908120891Saa得 ,故 解得或(舍去) 。因此 又 。解得 从而当时, 1()23(1)nadn 当时,由是公比为 d 的等比数列得209(1)2011(6209)nnnd 因此 209 3,5nna (II)由题意 22211(),nnmmaaa得112(),nma- 配套讲稿:
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