2019-2020年高中数学 函数与方程思想练习(1) 新人教A版必修1.doc
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2019-2020年高中数学 函数与方程思想练习(1) 新人教A版必修1一、 选择题(1)函数的值域是( )(A) (B) (C) (D)(2)非零复数z1、z2满足;若|z1|=k|z2|,则k的值是( )(A)1 (B)2 (C) (D)无法确定(3)定义在R上的奇函数f(x),a、b为任意正实数且ab,若x(a,b)时,恒有成立,则下列关系式中正确的是( )(A)f(-3)f(-1) (B)f(-3)=f(-1)(C)f(-3)f(-1) (D)以上都不正确(4)有下面四人命题:奇函数f(x)一定有反函数偶函数一定没有反函数若函数f(x)的反函数是f-1(x),则方程f(x)=f-1(x)的解集必是有限集若奇函数f(x)的定义域是R,则f(0)=0其中正确的命题是 ( )(A) (B) (C) (D)(5)aR时,方程asinx+cosx=a+ ( )(A)至少有一解 (B)至多有一解 (C)一定有两解 (D)肯定无解(6)已知函数y=f(x)的图象如图2-3-1,那么f(x)= ( )(A) (B)x2-2|x|+1(C) (D)|x2-1| (7)函数f(x-2)=,则函数f(x)是( )(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既奇又偶函数(8)设有三个函数,第一个函数是y=f(x),它的反函数y=f-1(x)是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于原点对称,那么第三个函数是( )(A)y=-f(x) (B)y=f-1(-x)(C)y=-f-1(x) (D)y=-f-1(-x)(9)等比数列an,公比q1若a1a2a3a30=330则a2a5a8a29的值是( )(A)35 (B)310 (C)315 (D)320二、 填空题(10)函数的值域是_(11)函数f(x)=(x+a)3(其中aR),若对任何实数x恒有f(2-x)=-f(x+2)成立,则f(-3)+f(3)=_(12)aR,参数方程(是参数)的曲线是_(13)设函数f(x)=x2+x+的定义域是n,n+1(n是自然数),那么在f(x)的值域中共有_个整数(14)方程7|x|-7-|x|=2的解集是_三、 解答题(15)长方形的长是a,宽是b;周长和面积都是此长方形2倍的长方形是否存在?作出结论,并说明理由(16)设有对数方程lg(ax)=2lg(x-1)()当a=2时,解该方程()讨论当a在什么范围内取值时,该对数方程有解,并求出它的解(17)若曲线(y+1)2=x+1上总存在两个对称于直线y=ax的不同的点,求a的值的范围(18)如图2-3-2,MN为一条平直的海岸线,一条船在海中的A处,它距海岸最近的点为B,A、B间的距离是2km船上人划船的速度为每小时4km,他在岸上步行的速度为每小时5km此人欲以最短的时间赶到距B点6kM的海岸边C处,那么他登岸的D点与B点的距离是多少km? (19)三棱锥S-ABC,SA=x,其余的所有棱长均为1,它的体积V;()求V=f(x)的解析表达式,并求此函数的定义域;()当x为何值时,V有最大值?并求此最大值(20)定义在自然数集N上的函数f(n),满足下列条件:f(1)=0,pf(n)-qf(n-1)=1(其中pq0,nN,n2)()计算f(2)、f(3)、f(4),猜测f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想;()计算(21)已知定义在上的减函数f(x)使得:对一切实数x均成立求实数m的取值范围(22)已知集合M=z|z|=1且z是复数若z1,z2,z3,z4,z5,z6是集合M中的六个不同的元素,试证明这六个元素中至少有两个元素的和的模不小于(23)二次函数f(x)=ax2+2bx+c中,a、b、c为整数,且f(0)、f(1)是奇数()系数a是奇数还是偶数,并说明理由;()证明方程f(x)=0无整数解(24)三角形ABC的三边a、b、c是整数,其周长为20,面积是,又三个内角A、B、C成等差数列求三角形三边的长(25)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a,b,cR,且a0如果当|x|1时,|f(x)|1那么当|x|1时,求|2ax+b|的最大值专题练习三 函数与方程思想答案一、(1)B (2)B (3)A (4)B (5)D (6)C (7)A (8)D (9)B提示(1) 当xR+时,x+2,等号在x=,即x2=1,x=1时成立但已知定义域x2,在所有可以取得的x中,2最接近理论值x=1x=2时,x+最小值为(2) 两个未知数只有一个方程,只能解出两个变量之间的关系式(3) 方程表示过两点(a,f(a)(b,f(b)的直线的方程这条直线上横坐标为x的点的纵坐标y为:函数f(x)的图象在x0时是向上凸的即它是增函数(因为ab为任何正实数均成立)则奇函数f(x)在x0时也是增函数f(-3)f(-1)(4) 奇函数不一定有反函数,如:偶函数由于y=f(x)=f(-x),一个y值对应两个x值,一定没有反函数若有无限多x适合(5) 方程可化为(其中满足),则这样的实数x不存在,原方程无解(6)所给图象是直线构成图形,其方程也应是一次方程(从解析几何知),否定答案中B、D(y=x2-2|x|+1,y=|x2-1|是二次曲线);图形关于Y轴对称,是偶函数的图象(从代数函数论知),则可否定A(是非奇非偶函数)(7)设t=x-2,x2时,t0;x2时,t0则函数为,经过这种变换,其图象关于原点对称,判断是奇函数本题说明,在复合函数关系的情况下,不好判断自变量对函数的直接关系(8)关于对称问题解决的基本方法是解析几何中求动点轨迹方程的方法设第三个函数图象上任意一点是P(x,y),则P点关于原点的对称点Q(x0,y0)在第二个函数y=f-1(x)上(关于原点对称点的坐标关系方程式) (点在曲线上其坐标满足曲线方程)消去x0,y0得:(9)设所求a2a5a8a29=x,则a1a4a7a28=,a3a6a9a30=xq10,a1a2a3a30=xxq10=x3=330,x=310,即a2a5a8a29=310通过设未知数,运用数列知识(等比数列定义:an+1=an9)转化为普通的方程问题求解可以这样说:一般情况下,在存在变量(或未知量)问题中,所学的各种知识都能帮助我们来布列方程或函数关系式,再用相应知识解题二、(10)0y1 (11)-124(12)a0时,抛物线一段,a=1时,X轴上-1到1间线段(13)2n+2 (14)x|x1=log7(1+)或x=-log7(1+)提示(10)求函数的值域就是解复杂的不等式,为得到不等关系,往往又多从方程下手原式变形为yex+y=ex-1,ex(y-1)=-y-1,由于y1,(11)将关系式f(2-x)=-f(x+2)化为方程式(2-x+a)3=-(x+2+a)3(2-x+a)3+(x+2+a)3=0,(4+2a)(2+a-x)2+(2+a+x)2-(2+a-x)(2+a+x)=0(4+2a)(2+a)2+3x2=0,aR,对任何xR上式成立,(2+a)2+3x20,只有4+2a=0,a=-2f(x)=(x-2)3,f(3)=1,f(-3)=-125(12)参数方程是函数式,化普通方程时,必须考虑函数的定义域与值域cos2-1,1,则-1x=cos21cos2=1-2sin2,x=1-2(a0时)当a=0时,则y=0(-1x1)(13)由于当x=n(nN)时,x2+x+,所以当xn,n+1内变化时,只须计算两个边界值的函数值之间相差的整数的个数(14)设7|x|=t70=1(据函数性质)原方程化为t2-2t-1=0,说明:我们设t=7|x|,实际上给定了两个变量t,x间的一个函数关系,就要运用函数的观点来分析其特征三、(15)设新长方形的长是A,宽是B,消去A得:B2-2(a+b)B+2ab=0,判别式=4(a+b)2-8ab=4(a2+b2)0B必然有解(A也必然有解),这样的长方形是存在的说明:所给问题是几何图形的存在问题,所给的量(长方形的长、宽)可在R+中任意变化,只给定二个函数关系(2倍周长与面积),从几何上证明很难下手。但将其给定函数关系视作方程,只要将已知给的变量a、b视作已知,则得到含两个未知量A、B的方程组,此方程组有解,则长方形(所求)存在,此方程组无解,则长方形(所求)不存在我们学过的函数与方程的知识,只要熟练掌握、能恰当地与各类问题建立联系(模型关系),则可以解决许多问题(16)()当a=2时,lg(2x)=lg(x-1)22x=(x-1)2,即x2-4x+1=0,x=2,x1,则x=2+()ax=(x-1)2,x2-(a+2)x+1=0,=(a+2)2-4=a2+4a0(a0),说明:中学所遇到的函数,多是给出等量关系的解析式来表达,因此也可将其视为多变元的方程式二者的关系更是密不可分,研究问题时,可变换视角考虑,更严谨、更全面,有时可以找到更简捷的思路考虑复杂的含函数概念的方程(或不等式),应先从定义域下手(复杂问题也需考虑值域),确定研究的变量的总范围,再深入考虑特殊要求的细节的范围要求,这样思考,富有层次感,往往又能避免复杂的讨论(17)设曲线(y+1)2=x+1上关于直线y=ax对称的两点为(Ax1,y1),B(x2,y2)则由对称的几何定义知:直线y=ax是线段AB的垂直平分线当a=0时,y=ax是X轴,平行于抛物线(y+1)2=x+1的轴,不可能有解a0,直线AB的方程是,必有两不同的解由得x=-ay+am,代入得y2+(a+2)y-am=0=(a+2)2+4am0y1+y2=-(a+2),设线段AB的中点M(x0,y0),它在y=ax上,也在x=-ay+am上;说明:中学数学中的对称问题,一般均用解析法求解将所求问题的几何特征,化为代数的方程式,运用代数中的函数与方程有关的理论,进行推理或运算求解(18)由A沿水路直接到C用时为t1,则t1=(小时)由A到B再到C用时t2,(小时)由A到D再到C,设|BD|=xkm设,整理得:9x2-160ux-400u2+100=0 =162102u2-49102(1-4u2)0解得:u03代入方程解得x=15km,t3=03+12=15(小时)距B点15km处的D点上岸再到C用时15小时为最短时间说明:随D点位置不同(D、C重合,D、B重合,D在BC中间),有三种不同的走法,应对各种走法计算所需时间进行比较,确定答案,这样处理问题,更有实际意义(19)如图答2-3-1 ()取BC中点D,连SD、AD,则SDBC,ADBC,BC平面SAD作DESA于E,由于SD=AD,则E是SA的中点,的定义域是()等号在x2=3-x2时即x=时成立,当x=时,体积V最大为1/8说明:求最大(或最小)值问题,设所求量为函数并求出其解析表达式,然后利用代数中有关的知识求得结果,并给出解答本题的几何解法为:设三棱锥S-ABC的高为h,因为底面ABC的面积为定值,所以h大则体积也大因为hSD,当h=SD=时,体积最大,此时(20)()f(2)=,证明:n=2时,f(2)=,n=2时,公式是正确的设n=k时,公式正确,pf(k+1)-qf(k)=1,f(k+1)=n=k+1时,公式也正确由、可知对任何n2,公式正确()f(n)=pq0,01,说明:对有规律的变化量(函数)间的关系,可将抽象取值具体结果,然后解主程求出确定关系,随取值变化来观察其相互间的依存规律,这种归纳思想,是人类认识事物的一种重要方法,在研究抽象变量相互间依存关系的规律时,经常使用(如函数的描点法作图,函数的边界值估计等)(21)m-4sinx对一切xR成立,m-4-1(比sinx最小值还小)m3对一切xR成立,对一切xR恒成立,或m联立四个不等式求解得说明:此题关键是几个不等式中,对一切xR不等式均成立的理解,即:如果g(m)h(x)g(m)h(x)最大值,如果g(m)h(x)g(m)h(x)最小值所以对非单变量的代数式(函数式或方程式或不等式),变量间如果互相独立变化,必须考虑变化时的各种可能,选择继续推理的充要条件作为考虑因素(22)如图答2-3-2,设六个复数对应的六个向量间的夹角分别是1,2,6,1+2+3+4+5+6=2设1,2,3,4,5,6中最小的一个k(k可能取值为1、2、3、4、5、6)6k1+2+3+4+5+6=2,k=设k是二向量的夹角 ,再向量加法的平行四边形法则得说明:运用学过的复数知识,将复数计算与其对应的向量计算沟通,建立无定规的六个变量中某两个量的有关方程(或函数式)求解,这种数和形结合方法是数学中常用的思维方法之一(23)()f(0)=c,f(1)=a+2b+c是奇数设c=2n+1,a+2b+c=2m+1(n,mZ)a+2b=2m+1-(2n+1)=2(m-n)是偶数a=2(m-n-b),m、n、b是整数a是偶数()设方程f(x)=0有整数解为k(kZ),即ak2+2bk+c=0c=-ak2-2bk=-k(ak+2b)a是偶数,ak是偶数,2b是偶数,ak+2b是偶数,-k(ak+2b)也是偶数c是偶数,与已知f(0)=c是奇数矛盾,方程f(x)=0无整数解说明:整数问题中的变数问题,中学一般用计算并辅以讨论的方法求解(24)A、B、C成等差数列,2B=A+CA+B+C=,由得ac=40,代入得b2=(a+c)2-340c=13a,代入ac=40得a2-13a+40=0,则三角形三边的长为a=5,b=7,c=8或a=8,b=7,c=5说明:几何中有关三角形的定理,全作为用方程思想解题时布列方程的思维工具。中学教学中,求未知量布列方程求解时,涉及的知识都起同样的作用。(25)|x|1时,|f(x)|1,|f(-1)|1,|f(0)|1,lf(1)l1则|2ax+b|4(当x=1时,等号成立)- 配套讲稿:
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