2019-2020年高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修2-1.doc
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2019-2020年高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21【本讲教育信息】一. 教学内容:双曲线的标准方程及简单的几何性质。(3.1双曲线及标准方程+3.2双曲线的简单的几何性质)二. 教学目标:(1)熟练地掌握双曲线的定义及标准方程的形式。会求双曲线标准方程。(2)掌握双曲线的简单的几何性质及其应用。理解渐近线的意义。(3)体会用方程的数学思想、等价转化的数学思想及待定系数法等数学思想方法解决双曲线的问题。三. 知识要点分析:1. 双曲线定义:第一定义:平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的集合叫做双曲线。定点叫双曲线的焦点,两焦点间距离是焦距。M= 第二定义:平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线。 M=注意:(1)在第一定义中:若2a=,则点的集合是以为端点的射线,若2a,点的集合是空集。(2)在第一定义中:当,则点的集合是双曲线的右支(如图1),当,点的集合是双曲线的左支(如图2)。 (3)在定义二中定点F不在定直线L上。 2. 双曲线的标准方程(1),焦点在x轴上(实轴在x轴上),(2),焦点在y轴上(实轴在y轴上),3. 双曲线几何性质图形对称性 关于x轴、y轴、原点对称范围 或或顶点A1(a,0)A2(a,0)实轴:2a, 虚轴:2bA1(0,a) A2(0,a) 实轴: 2a 虚轴:2b离心率 (e:确定双曲线的开口程度)渐近线焦点半径(1)P(点在右支上,则,(2)P点在左支上,则(1)点在上支上(2)P点在下支上4求双曲线标准方程常见的类型及方法:(1)定义法(已知条件满足双曲线定义)(2)待定系数法(定位:确定双曲线的焦点位置,设方程:根据焦点位置设方程,定值:确定系数)(3)已知渐进线方程,可设双曲线方程是,确定值即可。(4)不能确定双曲线的焦点位置时。可设方程为:(5)与双曲线共焦点的双曲线方程设为: 5. 几种特殊的双曲线(1)等轴双曲线:,(等轴双曲线离心率是)(2)共扼双曲线:互为共轭双曲线。(性质:(1)互为共轭双曲线的四个焦点共圆,(2)离心率倒数平方和等于1,(3)有相同的渐近线)6. 双曲线中的基本三角形:(1)如图3:(2)焦点三角形的面积:,()【典型例题】考点(一)双曲线的定义 例1:设上的两个焦点,点P在双曲线上,且满足:,求。 思路分析:利用双曲线的第一定义及勾股定理求解:由双曲线的方程知:a=2, b=1,且双曲线的焦点在x轴上,利用定义:又故。考点二:双曲线的标准方程例2. (1)在三角形ABC中:设求顶点C的轨迹方程。(2)求中心在原点,两条对称轴都是坐标轴。并且过,两点的双曲线方程。 (3)求与双曲线有相同的渐近线,且过点M(3,2)的双曲线的方程。思路分析:(1)利用双曲线的定义求。(2)设双曲线的方程为 (3)设所求的双曲线方程为,确定的值。 解:(1)设C(x,y),由正弦定理得:即 即C点与B,A两点的距离之差是4,且小于两定点A,B的距离。 故C点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支(去掉顶点)。 从而C点轨迹方程是 (2)由已知不能确定双曲线的焦点的位置,故可设双曲线的标准方程是 由P,Q两点在双曲线上得: 故所求的双曲线方程为(3)设所求的双曲线方程是,把M(3,2)代入求得。可求方程。考点三:双曲线的几何性质例3. 已知双曲线的方程是(1)求双曲线的焦点坐标、离心率、准线方程。(2)设是双曲线的左右焦点,点P在双曲线上,且,求的大小。思路分析:(1)把双曲线方程化成标准形式,求出a,b。利用求出c。 (2)利用双曲线的第一定义,然后两边平方,求出的值。解:(1)由已知得:,且焦点在x轴上。故焦点坐标是,离心率e=,渐近线方程是. (3)由双曲线的第一定义知:,将此式两边平方得: ,即是直角三角形 故:=90考点四:双曲线的应用例4. 已知动点P与双曲线的两个焦点的距离之和是定值,且的最小值是(1)求动点P的轨迹方程。(2)若已知点D(3,0). M,N在动点P的轨迹上,且,求的取值范围。思路分析:(1)利用双曲线第一定义及余弦定理表示出,然后根据不等式的性质求出最小值,(2)由知:D,M,N三点共线。从而寻求三点坐标之间的关系利用M,N在P点轨迹上,由P点轨迹允许取值范围的限制,从而求出的取值范围。解:(1):由已知,设|在中,由余弦定理得: = 当且仅当时取得最小值 故由椭圆的定义知:P点的轨迹是以双曲线的两个焦点为焦点的椭圆且a=3,c=,即P点轨迹方程是(2)设M(x,y),N (s,t),则由得:(x,y3)=即又M,N点在P点的轨迹上,故有:(1)(2)由(1)(2)消去s得:,又,故的取值范围是例5. 已知双曲线的离心率取值范围是,左右焦点分别是,左准线是L,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF1|是P到L的距离d与|PF2|的等比中项?思路分析:本题是探索性命题,可先假设存在,再利用已知条件探求结果,若矛盾则不存在,否则,存在,再求P点坐标。解:假设在双曲线的左支上存在一点P满足已知条件:即(*)成立。由第二定义知:由第一定义知:,把代入(*)得:又d解得:,与已知离心率范围矛盾。故双曲线的左支上不存在P点满足已知条件。【本讲涉及的数学思想、方法】: 本讲主要讲述了双曲线的标准方程及其简单的几何性质,在运用这些知识解决问题时充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想及定义法、待定系数法等数学思想方法的应用。预习导学案(选修21,曲线与方程 北师大版 理科)一. 预习前知:1. 说出:“直线的方程”与“方程的直线”的意义。2. 说出:圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义及其对应的方程推导过程。二. 预习导学:反思与探究反思、探究的任务:曲线与方程1. 方程的曲线与曲线的方程的概念:满足(1)_(2)_。则这条曲线叫方程的曲线,这个方程叫曲线的方程。2. 求动点轨迹方程的步骤有哪些?(1)建立坐标系 (2)写出动点的集合(3)推导方程(4)验证 3. 求点的轨迹方程(曲线的方程)的方法有哪些?你知道吗? 4. (1)直译法:根据已知条件直接写出动点P(x,y)的集合,然后转化为关于x,y的方程f(x,y)=0,在我们学过的圆锥曲线的方程推导过程中应用的是否是这样的方法?(2)定义法:所谓定义法求动点的轨迹方程就是根据我们学过的圆、椭圆、抛物线、双曲线等定义求出动点的轨迹方程。你见过这种类型的题目吗?请举例说明。(3)几何法:根据平面几何或立体几何的有关定理建立关于动点P(x,y)的集合,再转化为关于x,y的方程f(x,y)=0请你举例说明。(4)交轨法:所谓交轨法就是:当动点是两个轨迹的交点时,可以直接求出动点的轨迹方程。(5)参数法:当我们要找出动点P(x,y)中的x,y之间关系很困难时,可以引入一个参数t,得到,然后消去参数t,得到关于x,y的方程f(x,y)=05. 求动点的轨迹方程要注意的问题,你知道吗? 保证轨迹的“完备性”和“纯粹性”。(见教材的思考与交流)【模拟试题】(答题时间:60分钟)一、选择题:*1、与双曲线有相同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是( )A、 B、 C、 D、*2、已知双曲线,其左支上的一点P到右焦点的距离与其到右准线的距离之比是( )A、 B、 C、2 D、4*3、已知双曲线,离心率e,则两渐近线的夹角范围是( )A、 B、 C、 D、*4、已知双曲线的两条渐近线的夹角是60,则其离心率是( )A、 B、 C、 D、2*5、已知P点是双曲线上的任意一点,是其左右焦点,若,则离心率是( )A、 B、 C、 D、26、双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的三分之一,则m=( )A、 B、 C、 D、 7、双曲线有相同的( ) A、焦点 B、准线 C、离心率 D、渐近线8、已知双曲线的离心率e,则m的取值范围是( ) A、(12,0) B、( C、(3,0) D、(60,12)二、填空题:9、若双曲线的焦点到它对应的准线的距离是2,则k=_10、双曲线则它到左准线的距离是_。*11、已知双曲线的离心率是2,准线方程是y=2x, 对应的焦点F(1,0),则双曲线的方程是_。*12、设圆过双曲线的右顶点和右焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线的中心的距离是_。三、计算题:13、求经过两点(7,(的双曲线的标准方程*14、双曲线的两个焦点分别是,P为双曲线上一点,|OP|5,、成等比数列,求此双曲线的方程。*15、设a是实数,使得在双曲线上的右支上有三个点是一个正三角形的顶点,其中一点是该双曲线的右顶点,求a的取值范围【试题答案】一、选择题:1、D(解析:设所求的双曲线方程是,把点(2,2)代入求得=3。)2、C(解析:根据双曲线第二定义知:比值是双曲线的离心率)3、B(解析:设渐近线的倾斜角是,则=。由已知,又两直线的夹角的取值范围是故两渐近线的夹角的取值范围是(B)4、A 解析:双曲线中,渐近线的倾斜角的正切值满足:,又两渐近线的夹角是60,故,由可求得答案5、B (解析:,不妨设P点在双曲线的左支上,则有:,)6、C 7、D 8、A二、填空题:9、6(解析:2)10、911、(解析:利用双曲线的第二定义:设M是双曲线上任意一点,则,d是M到准线的距离:d=,|MF|= 化简得:)12、解析:右焦点F(5,0),右顶点A(3,0),圆的圆心C,则代入双曲线方程求得。圆心到双曲线的中心的距离d=三、计算题13、解:设所求的双曲线的方程是把已知点的坐标代入得:故所求的双曲线方程是14、解:设。由中线定理得:即:又由已知得:代入(1)得:故b=1,即所求的双曲线方程是15、解:由于双曲线关于x轴对称,所以不是正三角形的顶点与双曲线右顶点连线的倾斜角是30。由求得正三角形不与右顶点重合的一个顶点是故有:即所求a的取值范围是(3,+- 配套讲稿:
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