高考数学大一轮复习 8.4直线、平面垂直的判定与性质课件 理 苏教版.ppt
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,8.4 直线、平面垂直的判定与性质,第八章 立体几何,数学 苏(理),基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线与平面垂直,任意,mnO,a,b,ab,几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直; (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直; (3)垂直于同一直线的两个平面互相平行.,知识拓展,2.两个平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,(2)平面与平面垂直的判定定理,垂线,(3)平面与平面垂直的性质定理,交线,l,3.线面角与二面角 (1)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在 所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 .,平面内的射影,90和0,(2)二面角的有关概念 二面角:从一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.( ) (2)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直.( ) (3)直线a,b,则ab.( ) (4)若,aa.( ) (5)a,a.( ),可填与中的一个,解析,中,由mn, n,可得m或m或m与相交,错误; 中,由m,可得m或m或m与相交,错误; 中,由m,n,可得mn,又n,则m,正确; 中,由mn,n,可得m与相交或m或m,错误.,解析,思维升华,例1 如图所示, 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,思维点拨,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,解析,思维升华,思维点拨,通过CD平面PAC证明;也可通过AE平面PCD得到结论;,例1 如图所示, 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,解析,思维升华,证明 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD,CD平面ABCD, PACD.ACCD,PAACA, CD平面PAC. 而AE平面PAC,CDAE.,思维点拨,例1 如图所示, 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,(1)证明直线和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质.,解析,思维升华,思维点拨,例1 如图所示, 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,例1 如图所示, 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD, ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)PD平面ABE.,例1 (2)PD平面ABE.,利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.,思维点拨,解析,思维升华,证明 由PAABBC, ABC60,可得ACPA. E是PC的中点,AEPC. 由(1),知AECD, 且PCCDC, AE平面PCD. 而PD 平面PCD,,例1 (2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,AEPD. PA底面ABCD,PAAB. 又ABAD且PAADA, AB平面PAD, 而PD平面PAD,,例1 (2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,ABPD. 又ABAEA, PD平面ABE.,例1 (2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)PD平面ABE.,(1)证明直线和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)PD平面ABE.,(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1 (2014重庆)如图,四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB2,BAD , M为BC上一点,且BM . (1)证明:BC平面POM;,证明 如图,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,连结OB,则AOOB.,OM2OB2BM22OBBMcosOBM,所以OB2OM2BM2,故OMBM. 又PO底面ABCD,所以POBC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直, 所以BC平面POM.,OM2OB2BM22OBBMcosOBM,所以OB2OM2BM2,故OMBM. 又PO底面ABCD, 所以POBC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直, 所以BC平面POM.,(2)若MPAP,求四棱锥PABMO的体积.,解 由(1)可得,,设POa,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA2PO2OA2a23. 由POM也是直角三角形,,(2)若MPAP,求四棱锥PABMO的体积.,连结AM,在ABM中,AM2AB2BM22ABBMcosABM,由已知MPAP,故APM为直角三角形,则,(2)若MPAP,求四棱锥PABMO的体积.,此时S四边形ABMOSAOBSOMB,所以四棱锥PABMO的体积,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 (2013北京)如图, 在四棱锥PABCD中, ABCD,ABAD, CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD;,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,平面PAD底面ABCD,可由面面垂直的性质证PA底面ABCD;,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 (2013北京)如图, 在四棱锥PABCD中, ABCD,ABAD, CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD;,解析,思维升华,思维点拨,证明 平面PAD平面ABCDAD. 又平面PAD平面ABCD,且PAAD. PA底面ABCD.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 (2013北京)如图, 在四棱锥PABCD中, ABCD,ABAD, CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD;,(1)判定面面垂直的方法: 面面垂直的定义; 面面垂直的判定定理(a,a). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 (2013北京)如图, 在四棱锥PABCD中, ABCD,ABAD, CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD;,解析,思维升华,例2 (2)BE平面PAD;,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)BE平面PAD;,由BEAD可得线面平行;,证明 ABCD,CD2AB,E为CD的中点, ABDE,且ABDE. 四边形ABED为平行四边形.BEAD. 又BE平面PAD, AD平面PAD, BE平面PAD.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)BE平面PAD;,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)BE平面PAD;,(1)判定面面垂直的方法: 面面垂直的定义; 面面垂直的判定定理(a,a). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (3)平面BEF平面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (3)平面BEF平面PCD.,证明直线CD平面BEF.,证明 ABAD,且四边形ABED为平行四边形. BECD,ADCD. 由(1)知PA底面ABCD,则PACD, 又PAADA, CD平面PAD,,解析,思维升华,思维点拨,例2 (3)平面BEF平面PCD.,从而CDPD,又E、F分别为CD、CP的中点, EFPD,故CDEF. 由EF,BE在平面BEF内,且EFBEE, CD平面BEF.又CD平面PCD, 平面BEF底面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (3)平面BEF平面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (3)平面BEF平面PCD.,(1)判定面面垂直的方法: 面面垂直的定义; 面面垂直的判定定理(a,a). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2014北京)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点. (1)求证:平面ABE平面B1BCC1;,证明 在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC, 所以BB1AB. 又因为ABBC,,跟踪训练2 (2014北京)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点. (1)求证:平面ABE平面B1BCC1;,所以AB平面B1BCC1, 又AB平面ABE, 所以平面ABE平面B1BCC1.,(2)求证:C1F平面ABE;,证明 取AB的中点G,连结EG,FG. 因为E,F分别是A1C1,BC的中点,,因为ACA1C1,且ACA1C1, 所以FGEC1,且FGEC1, 所以四边形FGEC1为平行四边形.,(2)求证:C1F平面ABE;,所以C1FEG. 又因为EG平面ABE,C1F平面ABE, 所以C1F平面ABE.,(3)求三棱锥EABC的体积.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,思维点拨,解析,思维升华,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,思维点拨,解析,思维升华,因为两平面垂直与M点位置无关,所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD,考虑证明BD平面PAD.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,思维点拨,解析,思维升华,证明 在ABD中, AD4,BD8, AB4 ,,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,AD2BD2AB2.,ADBD.,又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD,,思维点拨,解析,思维升华,BD平面ABCD, BD平面PAD. 又BD平面MBD, 平面MBD平面PAD.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,思维点拨,解析,思维升华,垂直关系综合题的类型及解法: (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,思维点拨,解析,思维升华,(3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD, ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD;,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,四棱锥底面为一梯形,高为P到平面ABCD的距离.,解 过P作POAD,,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,平面PAD平面ABCD, PO平面ABCD,,即PO为四棱锥PABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形,,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,在底面四边形ABCD中, ABDC,AB2DC,,四边形ABCD为梯形. 在RtADB中,斜边AB边上的高为,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,此即为梯形的高.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,垂直关系综合题的类型及解法: (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求四棱锥PABCD的体积.,(3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.,跟踪训练3 (2013江西)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD ,AA13,E为CD上一点,DE1,EC3. (1)证明:BE平面BB1C1C;,跟踪训练3 (2013江西)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD ,AA13,E为CD上一点,DE1,EC3. (1)证明:BE平面BB1C1C;,跟踪训练3 (2013江西)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD ,AA13,E为CD上一点,DE1,EC3. (1)证明:BE平面BB1C1C;,在BEC中,因为BE2BC29EC2,故BEBC.,跟踪训练3 (2013江西)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD ,AA13,E为CD上一点,DE1,EC3. (1)证明:BE平面BB1C1C;,由BB1平面ABCD得BEBB1, 又BB1BCB,所以BE平面BB1C1C.,(2)求点B1到平面EA1C1的距离.,(2)求点B1到平面EA1C1的距离.,设点B1到平面A1C1E的距离为d,,则三棱锥B1A1C1E的体积,思维点拨,解析,思维升华,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,先找出PB和平面PAD所成的角,线面角的定义要能灵活运用;,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,思维点拨,解析,思维升华,解 在四棱锥PABCD中, 因为PA底面ABCD,AB平面ABCD, 故PAAB. 又ABAD,PAADA, 从而AB平面PAD,,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,思维点拨,解析,思维升华,从而APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中,ABPA,故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,思维点拨,解析,思维升华,故PB在平面PAD内的射影为PA,,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.,思维点拨,解析,思维升华,题型四 线面角、二面角的求法,例4 如图,在四棱锥 PABCD中,PA底 面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,(2)二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法;垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (2)证明:AE平面PCD;,证明 在四棱锥PABCD中, 因为PA底面ABCD,CD平面ABCD, 故CDPA.由条件CDAC,PAACA, CD平面PAC. 又AE平面PAC,AECD. 由PAABBC,ABC60,可得ACPA.,例4 (2)证明:AE平面PCD;,E是PC的中点, AEPC. 又PCCDC, 综上得AE平面PCD.,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,解 过点E作EMPD, 垂足为M, 连结AM, 如图所示. 由(2)知,AE平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM, 则可证得AMPD.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,因此AME是二面角APDC的平面角. 由已知,可得CAD30. 设ACa,可得,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,在RtADP中, AMPD, AMPDPAAD,,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,在RtAEM中,,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.,思维点拨,解析,思维升华,例4 (3)求二面角APDC的正弦值.,(2)二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法;垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练4 已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PAD是正三角形,平面PAD平面ABCD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点. (1)求证:EF平面PAD;,证明 平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCDAD,ABAD, AB平面PAD. E、F为PA、PB的中点, EFAB, EF平面PAD.,(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;,解 取AD的中点H, 连结EH,GH. EFHG,ABHG, HG是所求二面角的棱, HGEF, HG平面PAD,,(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;,ADHG,EHHG, EHA是锐二面角的平面角, PAD为正三角形,且EDPD, EHA60.,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于 ?,解 过M作MK平面EFG于K,连结KF, 则KFM即为MF与平面EFG所成角, 因为ABEF,故AB平面EFG,故AB上的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离. HG平面PAD,平面EFGH平面PAD于EH,,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于 ?,在直角梯形EFMA中,AEEF2,,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于 ?,思想与方法系列13 立体几何证明问题中的转化思想,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,典例:(14分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点. 求证:(1)AN平面A1MK;,要证线面平行,需证线线平行.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,证明 如图所示,连结NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中, 四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形, AA1DD1,AA1DD1,C1D1CD,C1D1CD. N,K分别为CD, C1D1的中点,,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,DND1K,DND1K, 四边形DD1KN为平行四边形. KNDD1,KNDD1,AA1KN,AA1KN. 四边形AA1KN为平行四边形.ANA1K. A1K平面A1MK,AN平面A1MK, AN平面A1MK.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,(2)平面A1B1C平面A1MK.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,要证面面垂直,需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,证明 如图所示,连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,ABC1D1,ABC1D1. M,K分别为AB,C1D1的中点, BMC1K,BMC1K. 四边形BC1KM为平行四边形.MKBC1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C,,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,BC1平面BB1C1C,A1B1BC1. MKBC1,A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形,BC1B1C. MKB1C. A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1B1CB1,MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK,平面A1B1C平面A1MK.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,方 法 与 技 巧,1.三类论证 (1)证明线线垂直的方法 定义:两条直线所成的角为90; 平面几何中证明线线垂直的方法; 线面垂直的性质:a,bab; 线面垂直的性质:a,bab.,方 法 与 技 巧,(2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义:a与内任何直线都垂直a;,判定定理2:ab,ab; 面面平行的性质:,aa; 面面垂直的性质:,l,a,ala.,方 法 与 技 巧,(3)证明面面垂直的方法 利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; 判定定理:a,a.,2.转化思想:垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.,失 误 与 防 范,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.,2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.给出下列四个命题: 垂直于同一平面的两条直线相互平行; 垂直于同一平面的两个平面相互平行; 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是_.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析 由直线与平面垂直的性质,可知正确; 正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面,而不平行,故错; 由直线与平面垂直的定义知正确,而错. 答案 2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.有以下四个条件:平面与平面,所成的锐二面角相等; 直线ab,a平面,b平面; a,b是异面直线,a,b,且a,b; 平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线.其中能推出的条件有_.(填写所有符合要求的条件的序号).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析 正三棱锥的底面与侧面所成的锐二面角都相等,但侧面不平行,故不符合; 由ab,a,得b,又b,得,符合; 由图1可知,不符合; 由图2可知,不符合.故能推出的条件只有.,答案 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在_. 直线AB上 直线BC上 直线AC上 ABC内部,解析 由ACAB,ACBC1,AC平面ABC1. 又AC面ABC,平面ABC1平面ABC. C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.如图所示,已知E,F分别是正方体的棱BB1,AD的中点,则直线EF和平面BDD1B1所成角的正弦值是_.,解析 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,如图,连结AE,过F作BD的垂线FH交BD于H,连结EH,则FH平面BDD1B1,所以直线EF和平面BDD1B1所成的角为FEH,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.如图所示,直线PA垂直于O所在的平面, ABC内接于O,且AB为O的直径,点M 为线段PB的中点.现有结论:BCPC; OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,其中正确的是_. 解析 对于,PA平面ABC,PABC, AB为O的直径,BCAC,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,BC平面PAC, 又PC平面PAC,BCPC; 对于,点M为线段PB的中点,OMPA, PA平面PAC,OM平面PAC; 对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故都正确. 答案 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.如图,BAC90,PC平面ABC,则在ABC和PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_;与AP垂直的直线有_.,解析 PC平面ABC, PC垂直于直线AB,BC,AC;ABAC,ABPC,ACPCC,AB平面PAC, 与AP垂直的直线是AB.,AB、BC、AC,AB,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.在正三棱锥PABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:ACPB;AC平面PDE;AB平面PDE.其中正确论断的序号为_. 解析 如图,PABC为正三棱锥, PBAC; 又DEAC,DE平面PDE,AC平面PDE, AC平面PDE.故正确.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_. 解析 画出图形,如图,BB1与平面ACD1 所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角, 在三棱锥DACD1中,由三条侧棱两两垂 直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连结D1H,DH,则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体的棱长为a,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,AD2,AB3,BCBE7,DCE是边长为6的正三角形. (1)求证:平面DEC平面BDE; 证明 因为四边形ABCD为直角梯形, ADBC,ABBC,AD2,AB3,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又因为BC7,CD6, 所以根据勾股定理可得BDCD, 因为BE7,DE6,同理可得BDDE. 因为DECDD,DE平面DEC,CD平面DEC, 所以BD平面DEC.因为BD平面BDE, 所以平面DEC平面BDE.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求点A到平面BDE的距离. 解 如图,取CD的中点O, 连结OE,因为DCE是边长为6的正三角形,,由(1)易知EO平面ABCD,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又因为RtBDE的面积为,设点A到平面BDE的距离为h, 则由VEABDVABDE,,10.(2014山东)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB60,AB2CD2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M平面A1ADD1; 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形, 且AB2CD, 所以ABDC.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又由M是AB的中点,因此CDMA且CDMA. 连结AD1,如图(1). 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中, 因为CDC1D1,CDC1D1, 可得C1D1MA,C1D1MA, 所以四边形AMC1D1为平行四边形, 因此C1MD1A.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又C1M平面A1ADD1, D1A平面A1ADD1, 所以C1M平面A1ADD1.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1 ,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值. 解 方法一 如图(2),连结AC,MC. 由(1)知CDAM且CDAM, 所以四边形AMCD为平行四边形, 可得BCADMC, 所以ABCDAB60,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,所以MBC为正三角形,,因此CACB. 以C为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,设平面C1D1M的一个法向量为n(x,y,z),,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,方法二 由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB, 过点C向AB引垂线交AB于点N, 连结D1N,如图(3). 由CD1平面ABCD, 可得D1NAB, 因此D1NC为二面角C1ABC的平面角. 在RtBNC中,BC1,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,在RtD1CN中,,1.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且ABCD为菱形,M在PC边上滑动,则当点M满足_时,平面MBD平面PCD.,2,3,4,5,1,解析 四边形ABCD是菱形,ACBD. 又PA面ABCD,PABD. BD平面PAC,BDPC. 当PCMD时,则PC平面BMD. 从而得出平面MBD平面PCD. 答案 MDPC,2,3,4,5,1,2.已知,是三个不同的平面,命题“,且”是真命题,如果把,中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有_个. 解析 若,换为直线a,b,则命题化为“ab,且ab”,此命题为真命题;,2,3,4,5,1,若,换为直线a,b,则命题化为“a,且abb”,此命题为假命题; 若,换为直线a,b,则命题化为“a,且bab”,此命题为真命题. 答案 2,2,3,4,5,1,3.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA2AB,则下列结论中:PBAE;平面ABC平面PBC;直线BC平面PAE;PDA45.,其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).,2,3,4,5,1,解析 由PA平面ABC,AE平面ABC,得PAAE, 又由正六边形的性质得AEAB,PAABA, 得AE平面PAB, 又PB平面PAB,AEPB,正确; 平面PAD平面ABC, 平面ABC平面PBC不成立,错;,2,3,4,5,1,由正六边形的性质得BCAD, 又AD平面PAD,BC平面PAD,BC平面PAD, 直线BC平面PAE也不成立,错; 在RtPAD中,PAAD2AB,PDA45, 正确. 答案 ,2,3,4,5,1,4.如图,A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB2,ACBC ,等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB平面ABC时,求CD的长; 解 取AB的中点E,连结DE,CE. ADB是等边三角形, DEAB.,2,3,4,5,1,当平面ADB平面ABC时, 平面ADB平面ABCAB, DE平面ABC,可知DECE.,2,3,4,5,1,(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论. 解 当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD.证明如下:当D在平面ABC内时,ACBC,ADBD, C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD. 当D不在平面ABC内时,由(1)知ABDE. 又ACBC,ABCE.,2,3,4,5,1,又DE,CE为相交直线,AB平面CDE. 由CD平面CDE,得ABCD. 综上所述,总有ABCD.,2,3,4,5,1,5.(2014天津)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点. (1)证明:BEDC;,(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; (3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角FABP的余弦值.,2,3,4,5,1,方法一 (1)证明 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系如图(1),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).,2,3,4,5,1,所以BEDC.,设n(x,y,z)为平面PBD的法向量,,2,3,4,5,1,不妨令y1,可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,设n1(x,y,z)为平面FAB的法向量,,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,不妨令z1,可得n1(0,3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2(0,1,0),,易知,二面角FABP是锐角,,2,3,4,5,1,方法二 (1)证明 如图(2),取PD中点M,连结EM,AM. 由于E,M分别为PC,PD的中点,,又由已知,可得EMAB且EMAB, 故四边形ABEM为平行四边形,所以BEAM. 因为PA底面ABCD,故PACD.而CDDA,,2,3,4,5,1,从而CD平面PAD.因为AM平面PAD, 于是CDAM.又BEAM,所以BECD. (2)解 如图(2),连结BM.由(1)有CD平面PAD,得CDPD.而EMCD,故PDEM. 又因为ADAP,M为PD的中点, 故PDAM,所以PD平面BEM. 故平面BEM平面PBD,,2,3,4,5,1,所以,直线BE在平面PBD内的射影为直线BM. 而BEEM,可得EBM为锐角, 故EBM为直线BE与平面PBD所成的角.,2,3,4,5,1,(3)解 如图(3),在PAC中,过点F作FHPA交AC于点H.,因为PA底面ABCD, 故FH底面ABCD, 从而FHAC.,2,3,4,5,1,又BFAC, 得AC平面FHB, 因此ACBH. 在底面ABCD内,可得CH3HA,从而CF3FP. 在平面PDC内,作FGDC交PD于点G, 于是DG3GP. 由于DCAB,故GFAB,所以A,B,F,G四点共面.,2,3,4,5,1,由ABPA,ABAD,得AB平面PAD. 故ABAG, 所以PAG为二面角FABP的平面角,,APG45,,2,3,4,5,1,- 配套讲稿:
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