高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识课件 理.ppt
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,14.1 几何证明选讲,课时1 相似三角形的进一步认识,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 . 推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必 . 推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必 . 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段 . 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 .,相等,平分另一腰,平分第三边,成比例,成比例,知识梳理,1,答案,3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理:,(2)性质定理:相似三角形的对应线段的比等于 ,面积比等于 .,两角,两边,夹角,三边,相似比,相似比的平方,答案,4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该 ,斜边上的高的平方等于 .,直角边在斜边上的射影与,斜边的乘积,两条直角边在斜边上射影,的乘积,答案,1.如图,在四边形ABCD中,ABCBAD.求证:ABCD.,证明 由ABCBAD得ACBBDA, 故A,B,C,D四点共圆,从而CABCDB. 由ABCBAD得CABDBA, 因此DBACDB,所以ABCD.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,2.如图,BDAE,C90,AB4,BC2,AD3,求EC的长度.,依题意得,ADBACE,,解析答案,1,2,3,3.如图,在ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC于点F,求 的值.,解 如图,过点D作DGAF,交BC于点G,易得FGGC, 又在BDG中,BEDE, 即EF为BDG的中位线,,1,2,3,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K.求证:KO2KEKF.,题型一 平行截割定理的应用,解析答案,思维升华,证明 延长CK,BA,设它们交于点H, 因为KOHB,,因为KFHB,,即KO2KEKF.,思维升华,当条件中给出平行线时,应优先考虑平行线分线段成比例定理,在有关比例的计算与证明题中,常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线,利用比例线段作平行线等.,思维升华,(1)如图,在梯形ABCD中,ADBC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于E,F,且EFBC,若AD12,BC20,求EF的长度. 解 ADBC,,EFOEOF15.,跟踪训练1,解析答案,(2)如图所示,在ABC中,DEBC,EFCD,若BC3,DE2,DF1,求AB的长. 解 DEBC,,解析答案,例2 如图,在RtABC中,ACB90,CDAB,E为AC的中点,ED、CB延长线交于一点F. 求证:FD2FBFC.,证明 E是RtACD斜边上的中点, EDEA,A1,12,2A, FDCCDB2902,FBDACBA90A, FBDFDC, F是公共角,FBDFDC,,题型二 相似三角形的判定与性质,解析答案,思维升华,(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点,灵活选择判定定理.在一个题目中,相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等.,思维升华,(1)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知AC,PD2DA2,求PE的长. 解 BCPE, PEDCA, PDEPEA,,又PD2DA2,PAPDDA3.,跟踪训练2,解析答案,(2)如图,四边形ABCD中,DFAB,垂足为F,DF3,AF2FB2,延长FB到E,使BEFB,连结BD,EC.若BDEC,求四边形ABCD的面积.,解 如图,过点E作ENDB交DB的延长线于点N, 在RtDFB中,DF3,FB1,,所以EN为BCD底边BD上的高,,解析答案,例3 如图,在ABC中,D、F分别在AC、BC上,且ABAC,AFBC,BDDCFC1,求AC的长.,题型三 射影定理的应用,解析答案,思维升华,解 在ABC中,设AC为x, ABAC,AFBC. 又FC1,根据射影定理,得AC2FCBC, 即BCx2. 再由射影定理,得AF2BFFC(BCFC)FC,,在BDC中,过D作DEBC于E.,解析答案,在RtDEC中,DE2EC2DC2,,思维升华,(1)在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时,作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.,思维升华,(1)如图所示,在RtABC中,ACB90,CDAB于D,且ADBD94,求ACBC.,解 AC2ADAB,BC2BDAB, AC2BC2ADBD94, ACBC32.,跟踪训练3,解析答案,(2)已知圆的直径AB13,C为圆上一点,过C作CDAB于D(ADBD),若CD6,求AD的长.,解 如图,连结AC,CB,AB是O的直径, ACB90. 设ADx,CDAB于D, 由射影定理得CD2ADDB, 即62x(13x), x213x360,解得x14,x29. ADBD,AD9.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等; (2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例; (3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.,2.直角三角形中常用的四个结论 在RtABC中,ACB90,CDAB(如图):,(1)ABCD,BACD. (2)ABCACDCBD. (3)a2pc,b2qc,h2pq,abch(其中cpq). (4)在a、b、p、q、h五个量中,知道两个量的值,就能求出其他三个量的值.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.如图,OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点, 且PO3,PAPB4,求腰长OA的长度. 解 如图,作ODAP,垂足为D, 则PO2PD2OB2BD2, 所以PO2OB2PD2BD2, 因为ADBD, 所以PD2BD2PD2AD2(PDAD)(PDAD)PAPB4, 所以PO2OB24,所以OB2945,,解析答案,2.如图,BD,AEBC,ACD90,且AB6, AC4,AD12,求AE的长.,解 由于ACDAEB90,BD, ABEADC,,又AC4,AD12,AB6,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.如图,RtABC中,BAC90,AD是斜边BC上的高,若ABAC21,求ADBC.,BAC90,ADBC,AC2CDBC,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.在ABC中,ACB90,CDAB于D,ADBD23,求ACD与CBD的相似比. 解 如图所示,在RtACB中,CDAB, 由射影定理得:CD2ADBD, 又ADBD23,令AD2x.则BD3x(x0),,又ADCBDC90,ACDCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,证明 BE是ABC的角平分线,,在RtABC中,由射影定理知,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如图所示,在RtABC中,ACB90,M是BC的中点, CNAM,垂足是N,求证:ABBMAMBN. 证明 CM2MNAM, 又M是BC的中点,,又BMNAMB,AMBBMN,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一 点,BE与AD交于点F,DE CD. (1)求证:ABFCEB;,证明 四边形ABCD是平行四边形, AC,ABCD. ABFCEB. ABFCEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积. 解 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD. DEFCEB,DEFABF.,SDEF2,SCEB18,SABF8. S四边形BCDFSCEBSDEF16. S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BECD,垂 足为E,连结AE,F为AE上一点,且BFEC. (1)求证:ABFEAD.,证明 ABCD, BAFAED. 又BFEC,BFEBFACADE, BFAADE. ABFEAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若BAE30,AD3,求BF的长. 解 BAE30,AEB60,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如图,在梯形ABCD中,ABCD,且AB2CD,E、F分 别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:EDMFBM; 证明 E是AB的中点,AB2EB. AB2CD,CDEB. 又ABCD,四边形CBED是平行四边形. CBDE,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DB9,求BM.,F是BC的中点, DE2BF.DM2BM,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EFAD,假设EF做上下平行移动.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明 过点A作AHCD分别交EF,BC于点G,H.,又EGGFEGADEF,,即3EFBC2AD.,解析答案,解 EF与BC,AD的关系式为5EF2BC3AD,理由和(1)类似.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,即(mn)EFmBCnAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,- 配套讲稿:
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