高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值课件 理.ppt
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3.2 导数的应用,课时2 导数与函数的极值、最值,内容索引,题型一 用导数解决函数极值问题,题型二 用导数求函数的最值,题型三 函数极值和最值的综合问题,答题模板系列,练出高分,思想方法 感悟提高,题型一 用导数解决函数极值问题,题型一 用导数解决函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值,例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极大值、极小值分别是_. 解析 由题图可知,当x0; 当22时,f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值,在x2处取得极小值.,f(2)、f(2),解析答案,命题点2 求函数的极值,解析答案,当a0时,随着x的变化,f(x)与f(x)的变化情况如下:,解析答案,当a0时,随着x的变化,f(x)与f(x)的变化情况如下:,命题点3 已知极值求参数 例3 (1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0,则ab_.,解析 由题意得f(x)3x26axb,,经检验当a1,b3时,函数f(x)在x1处无法取得极值, 而a2,b9满足题意,故ab7.,7,解析答案,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,(1)求函数f(x)极值的步骤: 确定函数的定义域; 求导数f(x); 解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根; 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.,3,当x0;当x1时,y0. 当x1时,y取极大值3.,跟踪训练1,解析答案,(2)设f(x)ln(1x)xax2,若f(x)在x1处取得极值,则a的值为_. 解析 由题意知,f(x)的定义域为(1,),,由题意得:f(1)0,则2a2a10,,当01时,f(x)0, 所以f(1)是函数f(x)的极小值,,解析答案,返回,题型二 用导数求函数的最值,题型二 用导数求函数的最值,(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;,解析答案,即x4y4ln 240.,(2)求f(x)在区间(0,e上的最小值.,解析答案,思维升华,令f(x)0,得xa. 若a0,则f(x)0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值. 若00,函数f(x)在区间(a,e上单调递增, 所以当xa时,函数f(x)取得最小值ln a.,解析答案,思维升华,若ae,则当x(0,e时,f(x)0, 函数f(x)在区间(0,e上单调递减,,综上可知,当a0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值; 当0ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为ln a;,思维升华,思维升华,求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,解析 由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为1.,1,跟踪训练2,解析答案,返回,题型三 函数极值和最值的综合问题,题型三 函数极值和最值的综合问题,(1)求f(x)的单调区间;,解析答案,令g(x)ax2(2ab)xbc,因为ex0, 所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点, 且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0, 所以30,即f(x)0, 当x0时,g(x)0,即f(x)0, 所以f(x)的单调递增区间是(3,0),单调递减区间是(,3),(0,).,(2)若f(x)的极小值为e3,求f(x)在区间5,)上的最大值.,解析答案,思维升华,解 由(1)知,x3是f(x)的极小值点,,解得a1,b5,c5,,因为f(x)的单调递增区间是(3,0),单调递减区间是(,3),(0,),,解析答案,思维升华,所以f(0)5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间5,)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者,,所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5.,思维升华,思维升华,求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.,已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m,n1,1,则f(m)f(n)的最小值是_.,跟踪训练3,解析答案,返回,解析 对函数f(x)求导得f(x)3x22ax, 由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0, 即342a20,a3. 由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x, 易知f(x)在1,0)上单调递减,在0,1上单调递增, 当m1,1时,f(m)minf(0)4. 又f(x)3x26x的图象开口向下, 且对称轴为x1,当n1,1时,f(n)minf(1)9. 故f(m)f(n)的最小值为13. 答案 13,返回,答题模板系列,典例 (14分)已知函数f(x)ln xax (aR). (1)求函数f(x)的单调区间; 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x)0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在1,2上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论.,答题模板系列,3.利用导数求函数的最值问题,解析答案,思维点拨,规范解答,解析答案,综上可知,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,);,(2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,解析答案,返回,温馨提醒,规范解答,所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.7分,所以f(x)的最小值是f(1)a.9分,答题模板,解析答案,温馨提醒,综上可知, 当0aln 2时,函数f(x)的最小值是a; 当aln 2时,函数f(x)的最小值是ln 22a. 14分,又f(2)f(1)ln 2a,,答题模板,温馨提醒,答题模板,用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题 第一步:(求导数)求函数f(x)的导数f(x); 第二步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最 大值与最小值; 第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.,温馨提醒,(1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间1,2上的最值,属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.,温馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值. 4.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全,含参数时,要讨论参数的大小.,方法与技巧,1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.当函数yx2x取极小值时,x_. 解析 令y2xx2xln 20,,15,解析答案,2.函数yln xx在x(0,e上的最大值为_. 解析 函数yln xx的定义域为(0,).,1,当x(0,1)时,y0,函数单调递增; 当x(1,e时,y0,函数单调递减. 当x1时,函数取得最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是_. 解析 因为f(x)3x233(x1)(x1), 令f(x)0,得x1, 所以1,1为函数的极值点. 又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1, 所以在区间3,2上,f(x)max1,f(x)min19. 又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint, 从而t20,所以t的最小值是20.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则f(2)_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,f(x)x34x211x16, f(2)18. 答案 18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10, f(1)10,且f(1)0,,5.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是_. 解析 f(x)3x22ax(a6), 由已知可得f(x)0有两个不相等的实根. 4a243(a6)0, 即a23a180. a6或a3.,(,3)(6,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)x22x3,f(x)0,x0,2, 得x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.设aR,若函数yexax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是_. 解析 yexax, yexa. 函数yexax有大于零的极值点, 则方程yexa0有大于零的解, x0时,ex1, aex1.,(,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_. 解析 f(x)3x23a23(xa)(xa), 由f(x)0得xa, 当aa或x0,函数递增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.设f(x)a(x5)26ln x,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; 解 因为f(x)a(x5)26ln x,,令x1,得f(1)16a,f(1)68a, 所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1), 由点(0,6)在切线上,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0,解得x2或3. 当03时,f(x)0, 故f(x)在(0,2),(3,)上为增函数; 当2x3时,f(x)0,故f(x)在(2,3)上为减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,在x3处取得极小值f(3)26ln 3. 综上,f(x)的单调增区间为(0,2),(3,),单调减区间为(2,3),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间; 解 由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1. f(x)与f(x)随x的变化情况如下表:,所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 当k10,即k1时,f(x)在0,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k; 当0k11,即1k2时, f(x)在0,k1上单调递减,在k1,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1; 当k11,即k2时,f(x)在0,1上单调递减, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上,当k1时,f(x)在0,1上的最小值为f(0)k; 当1k2时,f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1; 当k2时,f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.函数f(x)的定义域是R,f(0)2,对任意的xR,f(x)f(x)1,则不等式exf(x)ex1的解集是_. 解析 构造函数g(x)exf(x)ex1, 求导得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1. 由已知f(x)f(x)1,可得到g(x)0, 所以g(x)为R上的增函数; 又g(0)e0f(0)e010, 所以exf(x)ex1, 即g(x)0的解集为x|x0.,x|x0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)的图象可能为_.,解析 根据f(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除、; 从适合f(x)0的点可以排除.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,13.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递减区间是(1,1). 答案 (1,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值,则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)3x230,得x1, 且x1为函数的极小值点,x1为函数的极大值点. 函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值, 则函数f(x)极小值点必在区间(a,6a2)内, 即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,不等式a33af(1)2,,即a33a20,即a313(a1)0, 即(a1)(a2a2)0, 即(a1)2(a2)0,即a2. 故实数a的取值范围是2,1). 答案 2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4c. (1)确定a,b的值; 解 对f(x)求导,得f(x)2ae2x2be2xc, 由f(x)为偶函数,知f(x)f(x)恒成立, 即2(ab)(e2xe2x)0,所以ab. 又f(0)2a2bc4c, 故a1,b1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若c3,判断f(x)的单调性; 解 当c3时,f(x)e2xe2x3x,,当且仅当2e2x2e2x,即x0时,“”成立. 故f(x)在R上为增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,解 由(1)知f(x)2e2x2e2xc,,当x0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当c0,此时f(x)无极值; 当c4时,对任意x0,f(x)2e2x2e2x40,此时f(x)无极值;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当x1x2时,f(x)0, 当x0, 从而f(x)在xx1处取得极大值,在xx2处取得极小值. 综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,- 配套讲稿:
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