2012年高考数学试题及答案(理科)(18份打包).rar
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2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。一、 选择题1、 复数=A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A1.3. ,B1,m ,ABA, 则m=A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A +=1 B +=1C +=1 D +=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ,AB=2,CC1= E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A 2 B C D 1(5)已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) (6)ABC中,AB边的高为CD,若ab=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B) (C) (D)(7)已知为第二象限角,sinsin=,则cos2=(A) (B) (C) (D)(8)已知F1、F2为双曲线C:x-y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cosF1PF2=(A) (B) (C) (D)(9)已知x=ln,y=log52,则(A)xyz (B)zxy (C)zyx (D)yzx(10) 已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AEBF。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(A)16(B)14(C)12(D)10 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 第卷注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。2.第卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。3.第卷共10小题,共90分。二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效)(13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_。(14)当函数取得最大值时,x=_。(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_。(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_。三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)cosB=1,a=2c,求c。(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.()证明:PC平面BED;()设二面角A-PB-C为90,求PD与平面PBC所成角的大小。19. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。每次发球,胜方得1分,负方得0分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。()求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;()表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)设函数f(x)=ax+cosx,x0,。()讨论f(x)的单调性;()设f(x)1+sinx,求a的取值范围。21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+()2=r2(r0)有一个公共点,且在A处两曲线的切线为同一直线l.()求r;()设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离。22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标。()证明:2 xnxn+13;()求数列xn的通项公式。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学 (理工类)本试卷分为第卷(选择题)和第(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第卷1至2页,第卷3至5页。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题,共110分。一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.开 始输入x|x|1x = 2x+1输出x结 束是否(1)i是虚数单位,复数= (A) 2 + i (B)2 i (C)-2 + i (D)-2 i(2)设则“”是“为偶函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为(A)-1 (B)1(C)3 (D)9(4)函数在区间(0,1)内的零点个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)在的二项展开式中,的系数为(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40(6)在中,内角A,B,C所对的边分别是,已知8b=5c,C=2B,则cosC=(A) (B) (C) (D)(7)已知为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,若,则=(A) (B) (C) (D)(8)设,若直线与圆相切,则m + n的取值范围是(A) (B) (C) (D)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取_所学校,中学中抽取_所学校.(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.(11)已知集合,集合且则m =_,n = _.(12)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p0,焦点为F,准线为. 过抛物线上一点M作的垂线,垂足为E. 若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p = _.(13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为_.(14)已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_.三解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数()求函数的最小正周期;()求函数在区间上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.()求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;()求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;()用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.(17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.()证明PCAD;()求二面角A-PC-D的正弦值;()设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长. (18)(本小题满分13分)已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.()求数列与的通项公式;()记,证明().(19)(本小题满分14分)设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明直线的斜率 满足(20)(本小题满分14分)已知函数的最小值为0,其中()求的值;()若对任意的有成立,求实数的最小值;()证明(). 2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3页至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式:如果事件与互斥;则如果事件与相互独立;则如果与是事件,且;则第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)复数满足:;则( ) 【解析】选(2)下列函数中,不满足:的是( ) 【解析】选与均满足:得:满足条件(3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) 【解析】选4.公比为等比数列的各项都是正数,且,则( ) 【解析】选5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选 甲的成绩的方差为,乙的成绩的方差为(6)设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且 则“”是“”的( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件【解析】选 如果;则与条件相同(7)的展开式的常数项是( ) 21世纪教育网【解析】选第一个因式取,第二个因式取 得:第一个因式取,第二个因式取得: 展开式的常数项是(8)在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量 则点的坐标是( ) 【解析】选【方法一】设则【方法二】将向量按逆时针旋转后得 则(9)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若; 则的面积为( ) 【解析】选21世纪教育网设及;则点到准线的距离为得: 又21世纪教育网的面积为(10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换 的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到份纪念品 的同学人数为( ) 或 或 或 或【解析】选设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人第II卷(非选择题 共100分)21世纪教育网考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)若满足约束条件:;则的取值范围为【解析】的取值范围为约束条件对应边际及内的区域:则(12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是【解析】表面积是该几何体是底面是直角梯形,高为的直四棱柱几何体的表面积是(13)在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是【解析】距离是 圆的圆心直线;点到直线的距离是(14)若平面向量满足:;则的最小值是【解析】的最小值是(15)设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 若;则 若;则 若;则 若;则 若;则【解析】正确的是 当时,与矛盾 取满足得: 取满足得:三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.(16)(本小题满分12分) 设函数 (I)求函数的最小正周期; (II)设函数对任意,有,且当时, ; 求函数在上的解析式。【解析】 (I)函数的最小正周期 (2)当时, 当时, 当时, 得:函数在上的解析式为(17)(本小题满分12分)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量。()求的概率;()设,求的分布列和均值(数学期望)。【解析】(I)表示两次调题均为类型试题,概率为()时,每次调用的是类型试题的概率为 随机变量可取,答:()的概率为 ()求的均值为(18)(本小题满分12分)平面图形如图4所示,其中是矩形,。现将该平面图形分别沿和折叠,使与所在平面都与平面垂直,再分别连接,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题。()证明:; ()求的长;()求二面角的余弦值。【解析】(I)取的中点为点,连接 则,面面面同理:面 得:共面又面()延长到,使 得: ,面面面面 ()是二面角的平面角 在中, 在中, 得:二面角的余弦值为。(19)(本小题满分13分) 设 (I)求在上的最小值; (II)设曲线在点的切线方程为;求的值。【解析】(I)设;则 当时,在上是增函数 得:当时,的最小值为 当时, 当且仅当时,的最小值为(II) 由题意得:(20)(本小题满分13分) 如图,分别是椭圆 的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点;(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。【解析】(I)点代入得: 又 由得: 既椭圆的方程为(II)设;则 得: 过点与椭圆相切的直线斜率 得:直线与椭圆只有一个交点。(21)(本小题满分13分) 数列满足: (I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是 (II)求的取值范围,使数列是单调递增数列。【解析】(I)必要条件 当时,数列是单调递减数列 充分条件 数列是单调递减数列 得:数列是单调递减数列的充分必要条件是 (II)由(I)得: 当时,不合题意 当时, 当时,与同号,由 当时,存在,使与异号与数列是单调递减数列矛盾得:当时,数列是单调递增数列2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分,共4页。满分150分。考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项:1.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式:锥体的体积公式:V=Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B)。第I卷(共60分)一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2 已知全集=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,,B=2,4 ,则(CuA)B为A 1,2,4 B 2,3,4C 0,2,4 D 0,2,3,4 3 设a0 a1 ,则“函数f(x)= a3在R上是减函数 ”,是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件(4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为(A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15(5)的约束条件,则目标函数z=3x-y的取值范围是(A)(B)(C)-1,6(D)(6)执行下面的程序图,如果输入a=4,那么输出的n的值为(A)2(B)3(C)4(D)5(7)若,则sin=(A)(B)(C)(D)(8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2),当-1x3时,f(x)=x。则f(1)+f(2)+f(3)+f(2012)=(A)335(B)338(C)1678(D)2012(9)函数的图像大致为(10)已知椭圆C:的离心学率为。双曲线x-y1的渐近线与径有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为(11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,延求这卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(A)232 (B)252 (C)472 (D)484(12)设函数(x)=,g(x)=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当a0时,x1+x20B. 当a0, y1+y20时,x1+x20, y1+y20时,x1+x20, y1+y20 第卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。(13)若不等式的解集为,则实数k=_。(14)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为_。(15)设a0.若曲线与直线xa,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=_。(16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为_。三、解答题:本大题共6小题,共74分。(17)(本小题满分12分)已知向量m=(sinx,1),函数f(x)=mn的最大值为6.()求A;()将函数y=f(x)的图象像左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象。求g(x)在上的值域。(18)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF。()求证:BD平面AED;()求二面角F-BD-C的余弦值。(19)(本小题满分12分) 先在甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。()求该射手恰好命中一次得的概率;()求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX(20)(本小题满分12分)在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a5=73.()求数列an的通项公式;()对任意mN,将数列an中落入区间(9n,92n)内的项的个数记为bm,求数列bn的前m项和Sn。(21)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。()求抛物线C的方程;()是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;()若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当k2时,的最小值。22(本小题满分13分)已知函数f(x) = (k为常数,c=2.71828是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。()求k的值;()求f(x)的单调区间;()设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数,证明:对任意x0,g(x)1+e-2。2012年上海高考数学(理科)试卷 一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1计算:= (i为虚数单位). 2若集合,则= . 3函数的值域是 . 4若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 5在的二项展开式中,常数项等于 . 6有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,Vn,,则 . 7已知函数(a为常数).若在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是 . 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 . 9已知是奇函数,且.若,则 .xOMlaOMxla10如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).12在平行四边形ABCD中,A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 .13已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .ABCD14如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15若是关于x的实系数方程的一个复数根,则( )(A).(B).(C).(D).16在中,若,则的形状是( )(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17设,. 随机变量取值、的概率均为0.2,随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则( )(A).(B).(C).(D)与的大小关系与、的取值有关.18设,. 在中,正数的个数是( )ABCDPE(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)20已知函数. (1)若,求的取值范围;(6分) (2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)21海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22在平面直角坐标系中,已知双曲线. (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(4分) (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OPOQ;(6分) (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)23对于数集,其中,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P. (1)若x2,且,求x的值;(4分) (2)若X具有性质P,求证:1X,且当xn1时,x1=1;(6分) (3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答 一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1计算:= 1-2i (i为虚数单位). 2若集合,则= . 3函数的值域是 . 4若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角函数值表示). 5在的二项展开式中,常数项等于 -160 . 6有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,Vn,,则 . 7已知函数(a为常数).若在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是 (-, 1 . 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 .xOMla 9已知是奇函数,且.若,则 -1 .10如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12在平行四边形ABCD中,A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 2, 5 .ABCD13已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15若是关于x的实系数方程的一个复数根,则( B )(A).(B).(C).(D).16在中,若,则的形状是( C )(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17设,. 随机变量取值、的概率均为0.2,随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则( A )(A).(B).(C).(D)与的大小关系与、的取值有关.18设,. 在中,正数的个数是( D )ABCDPE(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)解(1)因为PA底面ABCD,所以PACD,又ADCD,所以CD平面PAD, 从而CDPD. 3分ABCDPExyz 因为PD=,CD=2, 所以三角形PCD的面积为. 6分 (2)解法一如图所示,建立空间直角坐标系, 则B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1), ,. 8分 设与的夹角为q,则 ,q=.ABCDPEF 由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F,连接EF、AF,则 EFBC,从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中,由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形, 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分20已知函数. (1)若,求的取值范围;(6分) (2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)解(1)由,得. 由得. 3分 因为,所以,. 由得. 6分 (2)当x1,2时,2-x0,1,因此. 10分由单调性可得.因为,所以所求反函数是,. 14分21海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)解(1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程 中,得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=,得OAP=arctan,故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 (2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为. 由,整理得.10分 因为,当且仅当=1时等号成立, 所以,即. 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中,已知双曲线. (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(4分) (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OPOQ;(6分) (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)解(1)双曲线,左顶点,渐近线方程:. 过点A与渐近线平行的直线方程为,即. 解方程组,得. 2分 所以所求三角形的面积1为. 4分 (2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切, 故,即. 6分 由,得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则. 又2,所以 ,故OPOQ. 10分 (3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为. 由,得,所以.同理. 13分 设O到直线MN的距离为d,因为, 所以,即d=. 综上,O到直线MN的距离是定值. 16分23对于数集,其中,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P. (1)若x2,且,求x的值;(4分) (2)若X具有性质P,求证:1X,且当xn1时,x1=1;(6分) (3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)解(1)选取,Y中与垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b,从而x=4. 4分 (2)证明:取.设满足. 由得,所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,故1X. 7分假设,其中,则.选取,并设满足,即,则、异号,从而、之中恰有一个为-1.若=-1,则2,矛盾;若=-1,则,矛盾.所以x1=1. 10分 (3)解法一猜测,i=1, 2, , n. 12分 记,k=2, 3, , n. 先证明:若具有性质P,则也具有性质P. 任取,、.当、中出现-1时,显然有满足; 当且时,、1. 因为具有性质P,所以有,、,使得,从而和中有一个是-1,不妨设=-1.假设且,则.由,得,与矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , n.当n=2时,结论显然成立; 假设n=k时,有性质P,则,i=1, 2, , k; 当n=k+1时,若有性质P,则 也有性质P,所以. 取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若,则1,不可能; 所以,又,所以. 综上所述,i=1, 2, , n. 18分 解法二设,则等价于. 记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 14分注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,所以也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵 注意到,所以,从而数列的通项公式为 ,k=1, 2, , n. 18分2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1已知集合A=xR|3x+20 B=xR|(x+1)(x-3)0 则AB=A (-,-1)B (-1,-) C (-,3)D (3,+)【解析】和往年一样,依然的集合(交集)运算,本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为,利用二次不等式可得或画出数轴易得:故选D【答案】D2设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A) (B) (C) (D)【解析】题目中表示的区域如图正方形所示,而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此,故选D。【答案】D3设a,bR。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当时,如果同时等于零,此时是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到,因此想必要条件,故选B。【答案】B4执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】,循环结束,输出的s为8,故选C。【答案】5.如图. ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CECB=ADDB B. CECB=ADABC. ADAB=CD D.CEEB=CD 【解析】在中,ACB=90,CDAB于点D,所以,由切割线定理的,所以CECB=ADDB。【答案】A6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 6【解析】由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种选择),之后十位(2种选择),最后百位(2种选择),共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理:个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,一种情况),共6种,因此总共12+6=18种情况。【答案】B7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:,因此该几何体表面积,故选B。【答案】B8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )A.5 B.7 C.9 D.11【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。【答案】C第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.9直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_。 【解析】直线的普通方程,圆的普通方程为,可以直线圆相交,故有2个交点。【答案】210已知等差数列为其前n项和。若,则=_。【解析】因为,所以,。【答案】,11在ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_。【解析】在ABC中,利用余弦定理 ,化简得:,与题目条件联立,可解得【答案】412在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 【解析】由可求得焦点坐标F(1,0),因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线方程为,将直线和曲线联立,因此【答案】13已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_,的最大值为_。【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知,因此,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为,所以长度为1【答案】1,114.已知,若同时满足条件:,或;, 。则m的取值范围是_。 【解析】根据,可解得。由于题目中第一个条件的限制,或成立的限制,导致在时必须是的。当时,不能做到在时,所以舍掉。因此,作为二次函数开口只能向下,故,且此时两个根为,。为保证此条件成立,需要,和大前提取交集结果为;又由于条件2:要求,0的限制,可分析得出在时,恒负,因此就需要在这个范围内有得正数的可能,即应该比两根中小的那个大,当时,解得,交集为空,舍。当时,两个根同为,舍。当时,解得,综上所述【答案】三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15(本小题共13分)已知函数。(1)求的定义域及最小正周期;(2)求的单调递减区间。16(本小题共14分) 如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(I)求证:A1C平面BCDE;(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由解:(1),平面,又平面,又,平面。(2)如图建系,则,,设平面法向量为则 又,与平面所成角的大小。(3)设线段上存在点,设点坐标为,则则,设平面法向量为,则 。假设平面与平面垂直,则,不存在线段上存在点,使平面与平面垂直。17(本小题共13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060()试估计厨余垃圾投放正确的概率;()试估计生活垃圾投放错误额概率;()假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0,=600。当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值。(注:,其中为数据的平均数)解:(1)由题意可知:。(2)由题意可知:。(3)由题意可知:,因此有当,时,有18(本小题共13分)解:(1)由为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:(2),设则,令,解得:,;,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增若,即时,最大值为;若,即时,最大值为若时,即时,最大值为综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为19(本小题共14分)解:(1)原曲线方程可化简得:由题意可得:,解得:(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,解得:由韦达定理得:,设,方程为:,则,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将代入易知等式成立,则三点共线得证。20(本小题共13分)解:(1)由题意可知,(2)先用反证法证明:若则,同理可知,由题目所有数和为即与题目条件矛盾易知当时,存在的最大值为1(3)的最大值为.首先构造满足的:,.经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,.下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此,故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为。
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