高中数学 3.2.1-3.2.2两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数课件 北师大版必修4.ppt
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2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数,两角和与差的正弦、余弦函数,sin cos -cos sin ,cos cos +sin sin ,sin cos +cos sin ,cos cos -sin sin ,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)两角和与差的正弦,余弦公式中角,是任意的.( ) (2)存在实数,,使cos(+)=cos -cos 成立.( ) (3)cos(-)=cos cos -sin sin .( ) (4)sin(+)=sin +sin 一定不成立.( ),【解析】(1)正确.对于任意的,公式都成立. (2)正确.当= 时成立. (3)错误.cos(-)=cos cos +sin sin . (4)错误.当=0,R,或者R,=0时成立. 答案:(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)cos 65cos 35+sin 65sin 35=_. (2)sin 56cos 34+cos 56sin 34=_. (3) =_. (4) =_.,【解析】(1)原式=cos(65-35)=cos 30= 答案: (2)原式=sin(56+34)=sin 90=1. 答案:1,(3)原式= = = = 答案: (4)原式= 答案:0,【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式 1.公式的记忆 (1)对于两角和与差的余弦公式C可以简记为:“余余正正,和差相反”. (2)对于两角和与差的正弦公式S可以简记为:“正余余正,和差相同”.,2.公式的适用条件 公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团 体”,如 中的“ ”相当于公式中的角 “”,“ ”相当于公式中的角“”.因此对公式的 理解要注意结构形式,而不要局限于具体的角.,3.公式的作用 (1)正用:把sin(),cos()从左向右展开. (2)逆用:公式的右边化简成左边的形式.当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变用;二是角的变用,也称为角的拆分变换,如=(+)-,2=(+)+(-).,【知识拓展】辅助角公式及其运用 公式asin +bcos = sin(+)(或asin + bcos = cos(-)将形如asin +bcos (a,b不 同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式,这 样做有利于三角函数式的化简,更是研究三角函数性质的常用 工具. 化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形 后角的系数为正,更有利于函数的性质的研究.,【微思考】 (1)两角和与差的正弦、余弦公式与诱导公式有什么关系? 提示:和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式 的特例.如sin (2-)=sin 2cos -cos 2sin =0 cos -1sin =-sin .当或中有一个角是 的整数 倍时,通常使用诱导公式较为方便. (2)逆用公式的关键是什么? 提示:关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.,【即时练】 1. =( ) 2.计算:cos 165=_. 3.计算:(1)sin(+30)cos +cos (+30)sin (-). (2)sin 347cos 148+sin 77cos 58.,【解析】1.选B. = = = 2.cos 165=cos(45+120)= cos 45cos 120-sin 45sin 120 = 答案:,3.(1)sin(+30)cos +cos (+30)sin(-) =sin(+30)cos(-)+cos (+30)sin (-) =sin(+30-)=sin 30= (2)原式=sin(360-13)cos(180-32)+ sin(90-13)cos(90-32) =sin 13cos 32+cos 13sin 32 =sin(13+32)=sin 45=,【题型示范】 类型一 给值(式)求值 【典例1】 (1)(2014天津高一检测)若是锐角, 则cos 的值等于( ) (2)(2014西安高一检测)已知, sin(+) = 求 的值.,【解题探究】1.题(1)中如何用- 表示? 2.题(2)中角+ 与已知+,- 两角有什么关系? 【探究提示】1.= 2.,【自主解答】(1)选A.因为为锐角,即0 所以 又因为 所以 所以 = =,(2)因为, 所以 +2, 又因为 所以cos(+)= 所以 =,【延伸探究】若题(2)的条件不变,如何求cos 的值? 【解析】由题(2)解析知 又 所以 所以 =,【方法技巧】给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已 知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已 知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”. 如已知角 -的相关三角函数值,那么要求角 +的三角 函数值,就可以利用 变换得到.,(3)角的拆分方法不唯一. 如=(+)-,=-(-),=(2-)-(-), = (+)+(-),= (+)-(-)等. 至于运用哪种拆分方法,要根据题目合理选择.,【变式训练】(2014广东高考)已知函数f(x)= 且 (1)求A的值. (2)若 【解题指南】第(1)问属于给角求值问题,第(2)问则可利用两 角和与差的正弦公式、诱导公式及同角三角函数的关系求解.,【解析】(1)由 可得 (2)f()+f()= 则 因为 所以 =,【补偿训练】(2013亳州高一检测)若sin -sin = cos -cos = 则cos(-)的值是( ) 【解析】选B.因为sin -sin = cos -cos 所以(sin -sin )2+(cos -cos )2= 所以2-2(cos cos +sin sin )=2- 所以cos cos +sin sin = 即cos (-)=,类型二 知值求角 【典例2】 (1)(2014汉中高一检测)已知,均为锐角,sin = cos = 则-的值为_. (2)已知cos(-)= cos(+)= 且- + 求cos 2,cos 2及角的值.,【解题探究】1.题(1)中求-的值的思路是什么? 2.题(2)中,如何用已知角表示待求角? 【探究提示】 1.先求出sin(-)或cos(-),再由条件确定-的范围,从而求得-. 2.2=(-)+(+), 2=(+)-(-).,【自主解答】(1)因为,均为锐角, 所以 因为sin sin ,所以, 所以- -0, 所以sin(-)=sin cos -cos sin = 所以-= - . 答案:-,(2)由- 且cos(-)= 得sin(-)= 由+ 且cos(+)= 得sin(+)= 所以cos 2=cos(+)+(-) =cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-),cos 2=cos (+)-(-) =cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-) 又因为 所以2=,则= .,【方法技巧】 1.知值求角的步骤 (1)首先考虑界定角的范围.根据条件确定所求角的范围.有时 需要根据已知条件把角度的范围缩小. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范 围内单调的三角函数.如角的范围是0,时取余弦更方便 些;而角的范围是 时,则取正弦更方便. (3)求角.结合三角函数值及角的范围求角.,2.知值求角的注意点 一是要结合角的范围选择合适的三角函数. 二是要注意尽量用已知角表示待求角.,【变式训练】若sin = cos(+)= 且,是 锐角,则=_ . 【解题】指南】利用同角三角函数的基本关系,求出cos = sin(+ )= 由cos =cos(+)- =cos(+)cos +sin (+)sin ,进而求出结果.,【解析】由sin = cos(+)= 且,是锐 角,求得cos = sin(+ )= 所以cos =cos(+)-=cos(+)cos + sin (+)sin = ,所以= . 答案:,【补偿训练】已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0 ,且ab= ,求证:= +. 【证明】ab=cos cos +sin sin =cos(-)= , 又0 ,所以0- , 所以-= ,即= +.,类型三 辅助角公式的应用 【典例3】 (1) 的值是( ) (2)(2014济南高一检测)函数f(x)=(1+ tan x)cos x的 最小正周期为( ),【解题探究】1.如何将asin +bcos 转变为一个角的三角 函数式? 2.求f(x)的最小正周期的关键是什么? 【解题提示】1.方法是提取 ,增设辅助角,逆用 S与C公式,特别注意角的范围对三角函数值的影响, 如acos +bsin = sin(+),其中tan = 2.关键是利用三角变换公式将f(x)化成Asin(x+)的形式.,【自主解答】(1)选A. = (2)选A.f(x)= = = 所以最小正周期T= =2.,【延伸探究】若题(2)中函数f(x)变为“f(x)= ”,则最小正周期如何? 【解析】f(x)= = = 所以最小正周期,【方法技巧】asin x+bcos x的化简步骤 (1)提常数,即把asin x+bcos x提出 得到 (2)定角度,由 我们不妨设cos = 则得到 (cos sin x+ sin cos x). (3)化简,逆用两角和的正弦公式可得asin x+bcos x= sin(x+).,【变式训练】化简:(tan 10 ) _. 【解题指南】把 化成tan 60,同时化切为弦.,【解析】(tan 10 ) (tan 10tan 60) 答案:-2,【补偿训练】(2013蚌埠高一检测)已知函数f(x)= +1- (xR). (1)求函数f(x)的最小正周期. (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.,【解析】(1)由f(x)= = = 所以最小正周期T= =.,(2)当f(x)取最大值时, 有2x- =2k+ ,即 x=k+ (kZ). 故当函数f(x)取得最大值时x的集合为 x|x=k+ (kZ).,【易错误区】求角过程中因选择三角函数不当或用错公式而致 误 【典例】(2014西安高一检测)设,为钝角,且sin = 则+的值为( ),【解析】选C.由,为钝角,即, 且 得 所以 cos(+)=cos cos -sin sin = 又, 所以+(,2), 因此+=,【常见误区】,【防范措施】 1.准确选择三角函数 求角的题目往往先求角的一个三角函数值,选择求哪个三角函 数值非常重要,要先根据已知条件确定角的范围,选择不当会 产生增根,如本例如果选择正弦就会出现增根 2.正确利用公式准确进行运算 确定好三角函数后,要正确利用公式进行化简和计算,如本例 要正确利用两角和的余弦公式求得cos(+)的值.,【类题试解】(2013新余高一检测)已知0 ,sin = cos(-)= 则的值为_. 【解析】因为0 ,sin = 所以cos = 因为cos(-)= 又 ,所以- , -(-,0), 所以sin(-)= 所以cos =cos-(-)=cos cos(-)+ sin sin(-)= 所以 答案:,- 配套讲稿:
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- 高中数学 3.2.1-3.2.2两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数课件 北师大版必修4 3.2 两角差 余弦 函数 正弦 课件 北师大 必修
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