高三数学一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式课件文.ppt
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文数 课标版,第一节 绝对值不等式,1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: (i)|ax+b|c -cax+bc . (ii)|ax+b|c ax+bc或ax+b-c . (2)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:,教材研读,解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 解法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与不等式相结 合的思想.,2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时,等号 成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)0 时,等号成立.,1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解. 综合知原不等式的解为(-,4).,2.不等式|2x-a|0, 由|2x-a|b,得 -b2x-ab,即 x . =4, a+b=8,故选C.,3.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为 . 答案 x|-3x2 解析 原不等式等价于 或 或 即 或 或 亦即-3x-2或-2x1或1x2. 原不等式的解集为 (-3,-2)-2,1(1,2)=(-3,2).,4.不等式x+|2x+3|2的解集为 . 答案 (-,-5 解析 原不等式可化为 或 解得x-5或x- . 所以原不等式的解集是 .,考点一 绝对值不等式的解法 典例1 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集; (2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围. 解析 (1)当a=-3时, f(x)= 当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1; 当2x3时, f(x)3无解; 当x3时,由f(x)3得2x-53,解得x4. 所以f(x)3的解集为x|x1或x4. (2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|.,考点突破,当x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a. 由条件得-2-a1且2-a2,即-3a0. 故满足条件的a的取值范围为-3,0. 方法技巧 解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式; (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对 值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.,1-1 (2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示.,(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, 故f(x)1的解集为x|11的解集为 .,1-2 已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3f(x)3;,(2)求不等式f(x)x2-8x+15的解集. 解析 (1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|= 当2x5时,-32x-73, 所以-3f(x)3. (2)由(1)可知,考点二 绝对值不等式的证明 典例2 已知f(x)= ,ab,求证:|f(a)-f(b)|0. 所以|f(a)-f(b)|a-b|.,方法技巧 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往 可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题,或 利用绝对值三角不等式定理;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的 不等式,往往可利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想,或利用一 元二次方程根的分布等方法来证明.,2-1 已知x,yR,且|x+y| ,|x-y| ,求证:|x+5y|1. 证明 因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|, 所以|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|3 +2 =1, 即|x+5y|1.,2-2 (2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)= + ,M为不等式 f(x)-1,-1x- ; 当- x 时, f(x)2恒成立;,当x 时,由f(x)2得2x2,解得x1, x1. 所以f(x)2的解集M=x|-1x1.,(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2 b2-1=(a2-1)(1-b2)0, 因此|a+b|1+ab|.,考点三 绝对值不等式的综合问题 典例3 已知函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2 016时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2x-f(x)恒成立时a的取值范围. 解析 (1)当a=2 016时, f(x)= 因为f(x)在2 016,+)上单调递增,所以f(x)在2 016,+)上的值域为 2 016,+), f(x)在(-,2 016)上的值域为2 016,所以f(x)的值域为 2 016,+). (2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min2. 而|x+1|+|x-a|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|2,解得a1或aa恒成立f(x)mina.,3-1 (2016河北保定模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(aR). (1)当a=4时,求不等式f(x)5的解集; (2)若f(x)4对xR恒成立,求a的取值范围. 解析 (1)当a=4时,不等式即为|x-1|+|x-4|5,等价于 或 或 解得x0或x5,故不等式f(x)5的解集为x|x0或x5. (2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|(x-1)-(x-a)|=|a-1|, 所以f(x)min=|a-1|, 故|a-1|4,解得a-3或a5.,3-2 (2016河南开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a0. (1)证明:f(x)+f 2; (2)若不等式f(x)+f(2x) 的解集非空,求a的取值范围. 解析 (1)证明: f(x)=|x-a|,a0, 则f(x)+f =|x-a|+ =|x-a|+ = =|x|+ 2 =2(当且仅当|x| =1时取等号). (2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a0. 当xa时, f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x,则f(x)+f(2x)-a;,当a- ,解得a-1,由于a0, 则a的取值范围是(-1,0).,- 配套讲稿:
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- 数学 一轮 复习 不等式 第一节 绝对值 课件
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