高三一轮复习《函数基本性质》教案精品.doc
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_精品家教个性化教学辅导教案学员姓名:_ 任课教师:_ 所授科目:_数学_学员年级:高三_ 上课时间: 2011 年 月 2日 1点半 至 三点半 共 2_ 课时教学标题函数的基本性质 教学目标梳理知识点 介绍典型解题技巧教学重难点抽象函数的合理赋值上次作业检查要点八 段函数和抽象函数【例8】2010天津理(8)已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式,因为其覆盖面较大,而备受命题人的青睐. 本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识,考查分类讨论的数学思想。【标准解析】由已知,函数在整个定义遇上单调递增的。故 ,等价于,解得【误区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段,或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算,解题时要层次分明,思路清晰.【变式训练】2010年天津文(8)若函数=,若 ,则实数a的取值范围是(A)(-1,0)(0,1) (B)(-,-1)(1,+)(C)(-1,0)(1,+) (D)(-,-1)(0,1)【标准解析】当时,由f(a)f(-a)得:,即,即,解得;当时,由得:,即,即,解得,故选C。【技巧点拨】分段函数问题的解题方法是“分段解决”,各段解决完后,再综合.【例9】2010年重庆理(15) 已知函数满足:, ,则_【命题立意】抽象函数和分段函数一样也是当前高考考查的热点,由于抽象函数只给一些函数的性质,而不知函数的具体解析式,因而是函数的一个难点.选择本题旨在抛砖引玉,寻找一般的解题思路.【标准解析】取x=1 y=0得法一:通过计算,寻得周期为6故=f(0)= 法二:取x=n y=1,有=+,同理=+联立得= 所以T=6 故=f(0)= .【误区警示】找不到已知函数值和未知函数值的联系,不会利用所给函数性质进行合理地赋值,是思路受阻的主要原因.【变式训练】2009年四川文12、已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有 ,则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【标准解析】若0,则有,取,则有: (是偶函数,则 )由此得于是,【技巧点拨】解决抽象函数问题,要全面地应用其所具有的性质展开解题思路.通常的方法是赋值法.要善于根据题目条件寻找符合条件的函数原型,帮助探求结论,找到解决问题的思路和方法.练习归纳了常见的函数原型,最好记住.第3讲函数的性质【知识精讲】1.根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数 在其区间上的单调性,其步骤是(1)设x1、x2是该区间上的任意两个值,且x1x2; (2)作差f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定f(x1)-f(x2)的符号;(4)根据定义作出结论. 2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性 对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.4.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.5.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: =0 =1(0). 6.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.【基础梳理】1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2 当x1x2时,都有 f(x1)f(x2) ,那么就说函数在区间D上是增函数 当x1f(x2) ,那么就说函数在区间D上是减函数 图象描述自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的 _ (2)单调区间的定义 若函数在区间D上是_增函数_或_减函数 _,则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性,_区间D_叫做的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x,都有_ f(-x)=f(x)_,那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x,都有_ f(-x)=-f(x)_,那么函数就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴 对称.3.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于_原点 _对称;(2)考查表达式是否等于或-: 若=_- _,则为奇函数; 若=_,则为偶函数; 若=_-_且=_,则既是奇函数又是偶函数; 若)-且,则既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 4.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_相同_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相反_(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_奇函数_,两个奇函数的积是偶函数; 两个偶函数的和、积是_偶函数_; 一个奇函数,一个偶函数的积是_奇函数_. 要点十函数的单调性【例10】定义在R上的函数满足:对任意实数,总有,且当时,(1)试求的值;(2)判断的单调性并证明你的结论;(3)设,若,试确定的取值范围【命题立意】函数单调性是函数的重要性质,是每年必考内容.判断方法主要有定义法、导数法、图象法.解答题常用导数法,本题就用到这种方法.【标准解析】判断函数的单调性可以用导数法和定义法.【误区警示】利用定义法判断,变形不到位,不能判断出差的正负;利用导数判断,求错导数的不再少数.【变式训练】已知在其定义域R上为增函数,=1, = )+.解不等式+ 3【标准解析】【技巧点拨】单调性的应用:比较大小;解抽象不等式;求值域等 要点十一函数的奇偶性【例11】判断下列函数的奇偶性(1)=x (nN, x0)(2)=log2(x+), xR(3)=lgx2+lg (x0) (4)=()tanx(5)=【命题立意】函数的奇偶性是函数的重要性质,是高考的热点.【标准解析】判断函数的奇偶性,首先要求出函数的定义域,看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断,寻找和的关系. (1) nN, 2n是偶函数,2n+1是奇数,=(-x)=x= 是偶函数。(2)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-, 是奇函数。(3)=lgx2+lg=0,则=且=-,既是奇函数,又是偶函数。(4)的定义域是x|xR且x kZ关于原点对称,又=()tan(-x)=-()tanx=()tanx=为偶函数(5)对于三角形1+sinx+cosx,当x=时,其值为2,当x=-时,其值为零,由此1可知原函数=的定义域中包含x=,但是不包含x=-,所以定义域不关于原点对称,所以是非奇偶的函数。【误区警示】判断函数奇偶性是时,学生往往忽略求函数的定义域,导致错误;再者,不会合理变形,导致判断错误.【变式训练】判断下列函数的奇偶性.(1);(2)(3)已知函数对任意都有.【标准解析】具体函数先求函数定义域,分段函数分段讨论奇偶性,抽象函数要合理取值,寻找和的关系.【技巧点拨】 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较和,有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.如果不好判断,可以利用奇偶性定义等价形式进行判断.若证明函数不具有奇偶性,举组反例即可.【答案】1)奇函数(2)函数的定义域为且.图象关于原点对称,又关于y轴对称,所以既是奇函数又是偶函数.函数的定义域为.当时,当时,综上,对任意,是奇函数.【题型透视】判断函数奇偶性的主要方法有:定义法、图象法.做选择题或填空题时还可以用一些常用的结论如:两个偶函数的和或差构成的函数还是偶函数等;分段函数的奇偶性要分开段讨论.要点十二函数的最值或值域【例12】求下列函数的值域:(1); (2); (3);(4); (5); (6);(7); (8); (9)【命题立意】求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这类问题的出现率很高,应用很广因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了【标准解析】一次函数和二次函数的值域利用函数的单调性来解决;是一个复合函数,内部函数是一个二次函数,可用配方法,然后整体换元.含有多个绝对值的函数通过讨论去掉绝对值符号,写成分段函数的形式,然后分段求,再综合.分式型的函数如果分子和分母中变量的最高次数一直,用分离常数法,如小题,不一致者用均值不等式法.【误区警示】知识贮备少,不能针对题目的特点选择相应的方法.【答案】(1)(配方法),的值域为(2)求复合函数的值域:设(),则原函数可化为又,故, 的值域为(3)分离变量法:,函数的值域为(4)换元法(代数换元法):设,则,原函数可化为,原函数值域为(5)三角换元法:,设,则,原函数的值域为(6)数形结合法:, ,函数值域为(7)判别式法:恒成立,函数的定义域为由得: 当即时,即,当即时,时方程恒有实根,且,原函数的值域为(8),当且仅当时,即时等号成立,原函数的值域为(9)方程法:原函数可化为:,(其中),原函数的值域为【变式训练】求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 【标准解析】中函数是一个一次函数,利用函数单调性求即可;函数较为简单,直接观察即可;分离常数后,可借助反比例函数的单调性解决;中函数利用均值不等式即可,但注意均值不等式使用的条件.【技巧点拨】 求函数值域的一般方法是:观察法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合等,含有根式的函数有时代数换元,有时三角换元,有时借助函数的单调性,一定要把握其本质。对于结构比较特殊,具有明显几何意义的函数,可以利用数形结合法.【答案】-1x1,-33x3,-13x+25,即-1y5,值域是-1,5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1(此法亦称分离常数法)当x0,=,当x0时,=值域是2,+)(此法也称为配方法)函数的图像为:值域是2,+)【题型透视】求函数值域(最值)的题目多,方法相对也比较固定,所以掌握一些常见的题型和一般方法是很有必要的,下面归纳常见的方法及其对应的类型:1如果函数是基本初等函数,利用基本初等函数的性质求值域;2配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数(形如的函数)3不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如型函数)4函数的单调性:特别关注的图象及性质5判别式法:形如的分式函数6换元法:形如:型值域的无理函数,用换元法.7导数法:高次函数8数形结合法9. 分离常数法要点十三函数的周期性【例13】设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数,若,则的取值范围是 ( )(A)(B)且 (C)或 (D)【命题立意】抽象函数是高考的一个热点,抽象函数的周期是高考常考考点,恰当地值或变量代换选取是一个难点.【标准解析】以3为周期,所以,又是R上的奇函数,则,再由,可得,即 ,解之得,故选D【误区警示】不会恰当地赋值和变量变换是本题做不出或用时较长的主要原因.【变式训练】函数对于任意实数满足条件,若,则 【标准解析】函数对于任意实数满足条件,即的周期为4,【技巧点拨】对于抽象函数的求值问题,待求的函数值要和已知的函数值产生联系,要有联系,要用函数的周期调整,奇偶性变换.【题型透视】抽象函数的周期没有固定的模式,掌握常见的抽象函数的周期的一些规律,对解题大有裨益:型:周期为;型:周期为;型:周期为.且,则的周期T=4a;要点十四函数的图像【例14】2009年山东6. 函数的图像大致为( ). w1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 【命题立意】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.【标准解析】函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. w【误区警示】没有考虑到函数的奇偶性或对复合函数的单调性不熟,导致入手较慢,甚至不会做.【变式训练】已知图1中的图像对应的函数为,则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中,只可能是 ( )A B C D【标准解析】由图2知函数为偶函数,可以排除掉B,图2中保留了y轴左侧函数图象,可以排除掉A和D,故选C.本题亦可以一一画出函数图象,再判断.【技巧点拨】 由函数解析式确定函数图象,或由函数图象确定函数解析式的问题,主要解题思路是:充分利用函数的性质或特殊点(特别是与坐标轴的交点)进行排除.【答案】C【题型透视】函数图象主要涉及三个方面的题型:识图、画图、用图,三者要求的层次逐渐增加.这类问题主要考查图象的几种变换,有时也考查函数的奇偶性,解决的关键是熟练掌握并会灵活应用三种常见变换的规律特点和函数的性质.要点十五函数的对称性【例15】对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和 【命题立意】本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 【标准解析】设函数图象上任意一点A(x0,y0),只要证明点A关于直线x=a对称的点B也在函数图象上即可.【误区警示】找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化 【答案】(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),=a,点(x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a对称,又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称 (2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4x0也是f(x)=0的根,若x1是f(x)=0的根,则4x1也是f(x)=0的根,x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和为8 【变式训练】已知函数为偶函数,则函数图像关于直线 对称,函数图像关于直线 对称.【标准解析】设由可得函数关于对称,关于对称.【技巧点拨】函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展,要学会从函数变换角度去理解图像对称性,以及用函数代换特征去处理函数对称性.【题型透视】函数的图象的对称本质还是点的对称,所以证明图象对称问题常常转化到点的对称问题.需要记住的一些结论:对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与 的图象关于直线对称.【答案】图像关于直线 对称,函数图像关于直线 对称.【原创题探讨】【原创精典1】已知函数若互不相等,且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【解析】不妨设,取特例,如取,则易得,从而,选C另解:不妨设,则由,再根据图像易得,故选C【原创精典2】已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 点评 本题主要考查函数的周期性、奇偶性.利用数形结合的方法可迅速解决问题.【原创精典3】重庆理10已知以为周期的函数,其中。若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( ) ABCD【解析】的图象为椭圆上半部分,的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象,由方程恰有5个实数解,则有两解 即 有两解,所以解得; 无解即无解,所以解得。故【新动向前瞻】1.在新情景下考查集合的意义,这类新定义型的试题是近几年高考的热点题型.解题的关键是吃透题目所给的信息.2.抽象函数只给出函数性质,没有具体的函数解析式,难度较大,可以较好地考查学生分析问题、解决问题的能力,题目设置函数模型不再单纯地是常规函数(如指数函数、对数函数等).3.函数图象的函数背景转向以基本的函数为基础,然后在此基础上进行加工.【样题1】定义在R上的函数满足= ,则的值为A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以,故选C【样题2】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。()试写出关于的函数关系式;()当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?解:()设需新建个桥墩,则,所以()由()知, 令,得,所以=64. 当064时,0. 在区间(64,640)内为增函数.所以在=64处取得最小值,此时故需新建9个桥墩才能使最小。【样题3】设为实数,函数.(1)若,求的取值范围;(2)求的最小值;(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】二次函数的最值利用配方法,恒成立问题通常转化为函数的最值来解决.【答案】(1)若,则【样题4】(2010福建文数)7函数的零点个数为 ( )A3 B2 C1 D0【解析】首先要求出函数的的解析式,然后代入自变量的值求解.【答案】 【样题5】2010天津文(10)设函数,则的值域是(A) (B) (C)(D)【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于难题。依题意知,章节小结1.本章包含两大部分内容:集合与函数,集合的关系和运算、函数的性质是重点.2.解决集合问题常用的数形结合工具:数轴、Venn图、函数图象.3.函数问题定义域优先.不论是求函数的最值还是判断函数的性质,首先要求出函数的定义域.4.解有关集合问题,一定要理解集合中元素的特征,互异性容易忽略,求解时要小心.空集是一个特殊的集合,有些情况下也容易忽略.5.函数的单调性是函数的局部性质,函数的奇偶性刻画的整个函数的性质.THANKS !致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载,资料仅供参考-可编辑修改-- 配套讲稿:
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