二项分布及泊松分布.ppt
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二项分布,例1设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p,令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,一、,我们来求X的概率分布.,X的概率函数是:,男,女,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为p.,X可取值0,1,2,3,4.,例2将一枚均匀骰子抛掷10次,令X表示3次中出现“4”点的次数,X的概率函数是:,不难求得,,掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”,一般地,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果:A或,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.,新生儿:“是男孩”,“是女孩”,抽验产品:“是正品”,“是次品”,这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验,简称贝努利试验或贝努利概型.,再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同),,每次试验成功的概率都是p,失败的概率都是q=1-p.,用X表示n重贝努利试验中事件A(成功)出现的次数,则,(2),不难验证:,(1),称r.vX服从参数为n和p的二项分布,记作,XB(n,p),当n=1时,P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布,例3已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解:因为这是有放回地取3次,因此这3次试验的条件完全相同且独立,它是贝努利试验.,依题意,每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数,,于是,所求概率为:,注:若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,不是贝努里概型,此时,只能用古典概型求解.,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.,可以简单地说,,例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.,XB(3,0.8),,把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验“成功”的概率为0.8,P(X1)=P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值;,(x表示不超过x的最大整数),对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.,想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化,请看演示,二项分布,例5为保证设备正常工作,需要配备适量的维修工人.设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?(2)若配备两名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?,(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01,至少应配备多少工人?,我们先对题目进行分析:,300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.,设X为300台设备同时发生故障的台数,,300台设备,独立工作,每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努利概型.,XB(n,p),n=300,p=0.01,可见,,“若只配备一名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于1,其中的X-1台设备就会得不到及时维修。即所求为,问(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?,同理,“若只配备两名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为,300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问(3)需配备多少工人,若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数,,XB(n,p),n=300,p=0.01,设需配备N个工人,,所求的是满足,的最小的N.,P(XN)N),通过计算可知,,则要使设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01,只需配备8名工人,平均每人负责38台。,若将该例改为:(1)若由一人负责20台设备,求这20台设备发生故障而不能及时维修的概率;,解:(1)设随机变量X表示20台设备在同一时刻发生故障的台数,则,(2)若由3人共同负责维修80台设备,求这80台设备发生故障而不能及时维修的概率。,解:设随机变量X表示80台设备在同一时刻发生故障的台数,则,由(1)(2)结果,可看出后者的管理经济效益要好得多。,例6某人去一服务单位办事,排队等候的时间(分钟)为一随机变量,设其概率密度为:,若此人等候时间超过15分钟则愤然离去。假设此人一个月要到该服务单位办事10次,则(1)此人恰好有2次愤然离去的概率;(2)此人至少有2次愤然离去的概率;(3)此人多数会愤然离去的概率。,解:,设随机变量Y表示“此人来服务单位办事10次中愤然离去的次数”,则,(1)此人恰好有2次愤然离去的概率;,(2)此人至少有2次愤然离去的概率;,(3)此人多数会愤然离去的概率。,二、二项分布的泊松近似,我们先来介绍二项分布的泊松近似,下一讲中,我们将介绍二项分布的正态近似.,或诸如此类的计算问题,必须寻求近似方法.,当试验次数n很大时,计算二项概率变得很麻烦,若要计算,定理的条件意味着当n很大时,p必定很小.因此,泊松定理表明,当n很大,p很小时有以下近似式:,其中,(证明见下一页).,证明:,n100,np10时近似效果就很好,请看演示,二项分布的泊松近似,实际计算中,,其中,例5为保证设备正常工作,需要配备适量的维修工人.设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?(2)若配备两名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?,解:设X为300台设备同时发生故障的台数,,XB(n,p),n=30010,p=0.010.1,(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01,至少应配备多少工人?,查表可得:,要使P(XN),即求使表中的那一列中前N项之和大于0.99的那个N。,经查表得N=8。,这样就大大简化了计算过程。,当p不是很小,而是很大(接近于1),可将问题略为转换一下,仍然可以应用泊松近似.,当n很大时,p不是很小,而是很大(接近于1)时,能否应用二项分布的泊松近似?,- 配套讲稿:
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- 二项分布 分布
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